Raketengrundgleichung

Die Raketengrundgleichung der Raumfahrtphysik beschreibt eine grundlegende Gesetzmäßigkeit des Raketenantriebs durch kontinuierlichen Ausstoß von Stützmasse. Die Gleichung wurde erstmals 1903 von Konstantin Ziolkowski und unabhängig von ihm später auch von Hermann Oberth und Robert Goddard aufgestellt.

Gleichung

Das Grundprinzip des Antriebes einer Rakete besteht darin, eine bestimmte Menge an Treibstoff (Stützmasse) mit einer vorgegebenen Austrittsgeschwindigkeit auszustoßen und gemäß dem 3. Newtonschen Axiom (Actio = Reactio) den Impuls und damit die Geschwindigkeit der Rakete in die entgegengesetzte Richtung zu erhöhen. Dabei kann die Rakete sowohl beschleunigt als auch abgebremst als auch in seitliche Richtung abgelenkt werden, je nachdem in welche Richtung die Stützmasse ausgestoßen wird.

Betrachtet wird eine einstufige Rakete mit Anfangsmasse $ \,m_{0} $ und Anfangsgeschwindigkeit Null. Das Triebwerk stoße die Stützmasse in infinitesimal kleinen Portionen und mit konstanter Geschwindigkeit $ \,v_{\mathrm {g} } $ aus. Diese Annahme sowie die Einschränkung auf nichtrelativistische Geschwindigkeiten ist für chemische Antriebe gerechtfertigt, siehe spezifischer Impuls. Andere Kräfte, wie Gravitation oder Reibung, werden nicht berücksichtigt. Unter diesen Voraussetzungen gilt die Raketengrundgleichung für die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Restmasse $ \,m $ (der um den verbrauchten Treibstoff verkleinerten Anfangsmasse):

$ v(m)=v_{\mathrm {g} }\cdot \ln {\frac {m_{0}}{m}} $

Herleitung

Beispiel

Als Verständnisbeispiel dient eine Rakete mit einer Gesamtmasse von 100 Kilogramm. Aufgeteilt soll die Gesamtmasse in 10 Kilogramm Nutzlast und 90 Kilogramm Treibstoff sein.

Zur vereinfachten Darstellung wird der Treibstoff in neun Portionen zu je zehn Kilogramm mit einer Geschwindigkeit von zehn Meter pro Sekunde ausgestoßen. Die Rakete befindet sich zu Anfang in Ruhe.

In der folgenden Tabelle sind die einzelnen Schritte dargestellt:

Bemerkung: Nimmt man 90 Schritte zu je 1 kg kommt man auf eine Endgeschwindigkeit von 23,48 m/s. Die Raketengrundgleichung setzt voraus, dass die Stützmasse in unendlich vielen Teilschritten in infinitesimal kleinen Portionen ausgestoßen wird. Nach ihr errechnet sich die Endgeschwindigkeit der Nutzlast, nach vollständiger Ausstoßung des Treibstoffes, zu 23,03 m/s.

Mathematische Herleitung über Impulserhaltung

Die Masse der Rakete habe bereits auf $ m $ abgenommen und ändere sich nun um $ \mathrm {d} m<0 $ als kleine Betrachtungseinheit. Die Stützmasse $ \mathrm {d} m $ wird im Bezugssystem der Rakete mit der Geschwindigkeit $ -v_{\mathrm {g} } $, im System des Beobachters also mit $ v-v_{\mathrm {g} } $ ausgestoßen und trägt folglich den Impuls $ -\mathrm {d} m(v-v_{\mathrm {g} }) $. Da keine äußeren Kräfte wirken, ist der Gesamtimpuls von Rakete und Stützmasse erhalten:

$ \mathrm {d} p=\underbrace {\mathrm {d} (mv)} _{\text{Rakete}}+\underbrace {(-\mathrm {d} m)(v-v_{\mathrm {g} })} _{\text{Stützmasse}}=\mathrm {d} m\cdot v+m\cdot \mathrm {d} v-\mathrm {d} m\cdot v+\mathrm {d} m\cdot v_{\mathrm {g} }=m\cdot \mathrm {d} v+\mathrm {d} m\cdot v_{\mathrm {g} }=0 $

und damit

$ \mathrm {d} v=-v_{\mathrm {g} }{\frac {\mathrm {d} m}{m}} $.

Diese Differentialgleichung wird nun von $ m_{0} $ nach $ m $ integriert. Integration der linken Seite ergibt $ \,v $ (eine Stammfunktion von $ \,f(v)=1 $). Auf der rechten Seite muss nur über $ -{\frac {\mathrm {d} m}{m}} $ integriert werden, da $ \,v_{\mathrm {g} } $ als konstant vorausgesetzt wurde:

$ v=-v_{\mathrm {g} }\int _{m_{0}}^{m}{\frac {\mathrm {d} m}{m}}=-v_{\mathrm {g} }{\biggl (}\ln(m)-\ln(m_{0}){\biggl )}=v_{\mathrm {g} }{\biggl (}\ln(m_{0})-\ln(m){\biggl )} $

Durch Anwendung der Logarithmengesetze erhalten wir:

$ v(m)=v_{\mathrm {g} }\ln {\biggl (}{\frac {m_{0}}{m}}{\biggl )} $

Konsequenz

Die Endgeschwindigkeit, wenn die gesamte Treibstoffmasse $ \,m_{\mathrm {T} } $ ausgestoßen ist, beträgt

$ v_{\mathrm {End} }=v(m_{\mathrm {End} })=v_{\mathrm {g} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{\mathrm {End} }}} $,

ist also umso größer, je größer die Austrittsgeschwindigkeit $ \,v_{\mathrm {g} } $ ist und je kleiner die Restmasse $ \,m_{\mathrm {End} } $, die aus der Nutzlast, dem Triebwerk und Strukturmaterial besteht.

Bemerkenswert ist, dass Endgeschwindigkeiten größer als $ \,v_{\mathrm {g} } $ erreichbar sind. Um jedoch Geschwindigkeiten weit jenseits $ \,v_{\mathrm {g} } $ zu erreichen, werden unterwegs Teile der Struktur (leere Tanks) oder auch des Triebwerks (Booster) zurückgelassen, siehe Mehrstufenrakete. Übersichtlich ist der Fall aufeinandergesetzter Stufen, wobei die oberen Stufen die Nutzlast der unteren Stufen darstellen.

Beispiel

Es sei eine zweistufige Rakete angenommen, deren Stufen eine Masse von 100 bzw. 20 haben (in willkürlichen Einheiten) und zu jeweils 90 % aus Treibstoff bestehen, also Strukturmassen von 10 bzw. 2 haben. Die Nutzlast betrage ebenfalls 2 Einheiten. Die Raketengrundgleichung wird zweimal angewendet, wobei sich die Beiträge beider Stufen addieren (das sieht man, wenn man beim Brennschluss der ersten Stufe in das Bezugssystem wechselt, in dem die zweite Stufe anfangs ruht):

$ {\frac {v_{\mathrm {End} }}{v_{\mathrm {g} }}}=\ln {\frac {100+20+2}{10+20+2}}+\ln {\frac {20+2}{2+2}}\approx 1{,}34+1{,}70=3{,}04 $.

Zum Vergleich die einstufige Rakete mit gleicher Treibstoff- und Strukturmasse:

$ {\frac {v_{\mathrm {End} }}{v_{\mathrm {g} }}}=\ln {\frac {100+20+2}{10+2+2}}\approx 2{,}16 $.

Einschränkungen

• Realer Treibstoff wird nicht in infinitesimal kleinen Paketen sondern in diskreten Portionen (Partikel) ausgestoßen. Zudem ist die Ausströmgeschwindigkeit nicht konstant sondern variiert durch verschiedene technische Faktoren im Triebwerk.
• Der Einfluss der Gravitation wird bei der Raketengrundgleichung nicht berücksichtigt.
• Auch der Einfluss des Luftwiderstandes wird nicht berücksichtigt. Der Luftwiderstand ist nicht konstant, sondern abhängig von der aktuellen Fluggeschwindigkeit und aufgrund der abnehmenden Dichte und sich ändernden Zusammensetzung der Atmosphäre auch abhängig von der Flughöhe.

Für vertikale Raketenstarts, geringe Steighöhen und unter Vernachlässigung des Luftwiderstands gilt

$ v_{\mathrm {End} }=v_{\mathrm {g} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{\mathrm {End} }}}-g\,\Delta t $

mit der Fallbeschleunigung $ \!\,g $ und der Brenndauer $ \,\Delta t $. Diese Formel ist jedoch ungeeignet, das Erreichen der Erdumlaufbahn zu optimieren, denn dabei ändert sich neben der Fallbeschleunigung auch der Schubvektor kontinuierlich.

Literatur

• Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas:Raumfahrtsysteme. Eine Einführung mit Übungen und Lösungen, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2000, ISBN 978-3-662-09675-8.
• Wolfgang Steiner, Martin Schagerl:Raumflugmechanik. Dynamik und Steuerung von Raumfahrzeugen, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20761-9
• Christian Brünner, Alexander Soucek (Hrsg.):Raumfahrt und Recht. Faszination Weltraum - Regeln zwischen Himmel und Erde, Böhlau Verlag, Wien / Köln / Graz 2007, ISBN 978-3-205-77627-7.
• Armin Dadieu, Ralf Damm, Eckart W. Schmidt:Raketentreibstoffe. Springer Verlag, Wien / New York 1968.
• Peter Henne:Seltsame Physik. 2. Auflage, epubli GmbH, Berlin 2013, ISBN 978-3-8442-4788-6.
• Friedrich U. Mathiak:Technische Mechanik 3. Kinematik und Kinetik mit Maple- und MapleSim-Anwendungen, De Gruiter Verlag, Berlin 2015, ISBN 978-3-1104-3804-8.
• H. G. Münzberg:Flugantriebe. Grundlagen - Systematik und Technik der Luft- und Raumfahrtantriebe, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 1972, ISBN 978-3-662-11758-3.
• Fritz Kurt Kneubühl:Repetitorioum der Physik. 5. Auflage, B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1884, ISBN 3-519-43012-6.
• Ingo Müller:Grundzüge der Thermodynamik. Mit historischen Anmerkungen, 3. Auflage, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg 2001, ISBN 978-3-540-42210-5.

Weblinks

• Bernd Leitenberger: Geschwindigkeitsberechnung für Raketen
• Bernd Leitenberger: Die Raketengrundgleichung
• Raketenphysik (abgerufen am 15. September 2017)
• Der Raketenantrieb und die Raketengleichung (abgerufen am 15. September 2017)
• Raumfahrtsysteme (abgerufen am 15. September 2017)