Symmetriegruppe

Ein Tetraeder kann durch Rotation auf 12 verschiedene Weisen dargestellt werden

In der mathematischen Gruppentheorie ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objektes die Gruppe, die aus der Menge aller Kongruenzabbildungen besteht, die das Objekt auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Verkettung von Abbildungen als Gruppenoperation.

Begriffsklärung

Die nachfolgenden Begriffe beschreiben mögliche Eigenschaften eines Objekts, anhand derer festgestellt werden kann, welcher Symmetriegruppe das Objekt angehört.

Diskretheit

Eine Symmetriegruppe weist dann eine diskrete Topologie auf, wenn es so etwas wie „kleinste Schritte“ gibt. Beispielsweise ist eine Gruppe von Drehungen um einen Punkt genau dann diskret, wenn alle möglichen Drehwinkel Vielfache eines kleinsten Winkels sind. Sind hingegen auch beliebig kleine Drehwinkel in der Gruppe enthalten, so ist diese Gruppe nicht diskret. Allgemein hat jede Gruppe mit endlich vielen Elementen eine diskrete Topologie. Eine diskrete Gruppe lässt sich aus endlich vielen Symmetrieoperationen durch Komposition erzeugen. Der Umkehrschluss gilt jeweils nicht.

Praktisch gesehen ist eine Symmetriegruppe genau dann diskret, wenn es eine untere Schranke gibt, sowohl für die Längen aller (von Null verschiedenen) Verschiebungen als auch für die Drehwinkel aller Drehsymmetrien.

Periodizität

Man betrachtet die Menge aller in der Gruppe enthaltenen (von Null verschiedenen) Verschiebungen (Translationen) und bestimmt, wie viele dieser Vektoren linear unabhängig voneinander sind, man bestimmt also die Dimension der linearen Hülle dieser Verschiebungsvektoren.

Enthält die Gruppe überhaupt keine Verschiebungen, so gibt es mindestens einen Punkt, der Fixpunkt aller Abbildungen ist. Man spricht in diesem Fall von einer Punktgruppe. Punktgruppen sind genau dann endlich, wenn sie diskret sind.

Sobald die Gruppe mindestens eine Verschiebung enthält, enthält sie zumindest in euklidischer Geometrie automatisch unendlich viele Elemente.

Entspricht die Zahl der linear unabhängigen Verschiebungsvektoren der Dimension des Raumes, in den das Objekt eingebettet ist, so gibt es einen beschränkten Teil des Objekts (eine Zelle), deren Bilder den gesamten Raum ausfüllen. Ist die Gruppe zusätzlich auch noch diskret, so spricht man von einer Raumgruppe und nennt das Muster periodisch. In diesem Fall gibt es einen beschränkten Fundamentalbereich von gleicher Dimension wie der Raum, also beispielsweise in der Ebene eine entsprechende von Null verschiedene Fläche.

Zweidimensionale euklidische Geometrie

Die Symmetriegruppen in der euklidischen Ebene lassen sich wie folgt klassifizieren:

• Diskret
  • Ohne Verschiebungen
    • Ohne Achsenspiegelungen

      Familie der endlichen zyklischen Gruppen $ C_{n} $ (für $ n=1,2,\ldots $), das sind alle Drehungen um einen Punkt um Vielfache von $ {\tfrac {360^{\circ }}{n}} $

      $ C_{1} $: Symmetriegruppe eines komplett unsymmetrischen Objektes, mit der Identität als einzigem Element

      $ C_{2} $: Symmetriegruppe einer Punktspiegelung

      $ C_{3} $: Symmetriegruppe einer Triskele

      $ C_{4} $: Symmetriegruppe einer Swastika

    • Mit Achsenspiegelungen

      Familie der Diedergruppen $ D_{n} $ (für $ n=1,2,\ldots $), das sind Drehungen wie $ C_{n} $ zusammen mit $ n $ Spiegelachsen durch den Mittelpunkt

      $ D_{1} $: Einzelne Achsenspiegelung

      $ D_{2} $: Symmetriegruppe eines nicht quadratischen Rechtecks

      $ D_{n} $: Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks

  • Mit Verschiebungen, die alle kollinear sind (Span der Translationen hat Rang 1)

    7 Friesgruppen

  • Mit mindestens zwei linear unabhängigen Verschiebungen

    17 ebene kristallographische Gruppen

• Nicht diskret
  • Ohne Verschiebungen

    Orthogonale Gruppe $ O(2) $, das sind alle Symmetrien eines Kreises, also alle Drehungen und alle Spiegelungen an Achsen, die durch den Mittelpunkt gehen

  • Mit Verschiebungen

    Dieser Fall muss noch weiter aufgeschlüsselt werden.

Andere Dimensionen

• Dreidimensionale Punktgruppen werden in einem eigenen Artikel ausführlich klassifiziert.
• Der Artikel über Raumgruppen geht auch auf verschiedene Dimensionen ein.

Literatur

• M. S. Dresselhaus: Group Theory - Application to the Physics of Condensated Matter. Springer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-54032-897-1
• Michael Tinkham : Group Theory and Quantum Mechanics. Dover Pubn Inc – 1. Januar 2004, ISBN 978-0-48643-247-2

Siehe auch

• Symmetrie (Geometrie)
• Symmetrische Gruppe aller Permutationen mit $ n $ Elementen
• Kristallographie
• Symmetrie (Physik)

Weblinks

Commons: Symmetrie – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien