Änderungsrate

Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße $$ G $$ beschreibt das Ausmaß der Veränderung von $$ G $$ in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums. Anschaulich gesprochen ist sie ein Maß dafür, wie schnell sich die Größe $$ G $$ ändert.

Man unterscheidet

die „mittlere Änderungsrate“, hier ist der Bezugszeitraum die Zeit zwischen zwei Messungen, und
die „momentane Änderungsrate“ oder „lokale Änderungsrate“, hier ist der Bezugszeitraum vernachlässigbar kurz („unendlich klein“).

Änderungsraten unterscheiden sich von Veränderungsangaben dadurch, dass sie immer ein Verhältnis der Form „Größe pro Zeit“ mit entsprechender Maßeinheit sind.

Berechnung und Verwendung

Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer zeitabhängigen Messgröße $$ G $$ zwischen zwei Zeitpunkten $t_{1}$ und $t_{2}$ , also im Zeitraum $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ . Berechnet wird sie als Quotient aus der Differenz der beiden Werte zu diesen Zeitpunkten $\Delta G=G(t_{2})-G(t_{1})$ und der Dauer $\Delta t$ des Zeitraums: ${\tfrac {\Delta G}{\Delta t}}$

Im Zeit-Größen-Diagramm (Funktionsgraph, Schaubild) von $$ G(t) $$ ist die mittlere Änderungsrate zwischen $t_{1}$ und $t_{2}$ die Steigung der Sekante durch die Punkte $(t_{1}|G(t_{1}))$ und $(t_{2}|G(t_{2}))$ auf dem Diagramm.

Momentane Änderungsrate

Die momentane Änderungsrate ist die auf einen „Moment“ (sehr kurzen Zeitraum) bezogene Veränderung einer Messgröße $$ G $$ . Sie kann mathematisch als Ergebnis des Grenzprozesses

{\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta G}{\Delta t}}

als Ableitung $$ G'(t) $$ ihrer Zeit- $$ G $$ -Funktion $$ G(t) $$ dargestellt werden.

Änderungsraten in weiterem Sinn

Werden die Begriffe im übertragenen Sinn für Größen $$ G(q) $$ verwendet, die von einem anderen Parameter $$ q $$ als der Zeit abhängen, so ist die „mittlere Änderungsrate“ gleichbedeutend mit dem Differenzenquotienten ${\tfrac {\Delta G}{\Delta q}}$ , die „momentane Änderungsrate“ gleichbedeutend mit dem Differentialquotienten ${\tfrac {dG}{dq}}$ und die „momentane relative Änderungsrate“ gleichbedeutend mit dem Quotienten ${\tfrac {dG}{dq\cdot G}}$ der „momentanen Änderungsrate“ und des dazugehörigen Funktionswerts der reellen Funktion $$ G(q) $$ .^[1] Ist der Parameter $$ q $$ eine vektorielle Größe, so wird statt des Begriffs „Rate“ auch der Begriff „Gradient“ verwendet, etwa Temperaturgradient oder Luftdruckgradient.

Beispiele

Bei einer geradlinigen Bewegung ist die Geschwindigkeit $$ v(t) $$ die momentane Änderungsrate der Zeit-Weg-Funktion $$ x(t) $$ . Der Artikel Geschwindigkeit macht im Abschnitt Definition der Geschwindigkeit den Unterschied von mittlerer und momentaner Änderungsrate deutlich.^[2]

Die Steigleistung eines Luftfahrzeuges gibt an, wie viel Höhe in einer bestimmten Zeit gewonnen werden kann.

Siehe auch

Wachstumsrate

Literatur

Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2
Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel: Physik: ein Lehrbuch zum Gebrauch neben Vorlesungen. 16. Auflage. Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-51196-2

Anmerkungen

↑ Lohöfer; Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten. Tabelle der üblichen Änderungsbegriffe für Variable und Funktionen; Universität Marburg 2006, zuletzt abgerufen 20. Juni 2016.
↑ Der Quotient ${\tfrac {\Delta x}{\Delta t}}$ aus der Veränderung $\Delta x$ des Messwerts Weg in einer Zeitspanne $\Delta t$ und dieser Zeitspanne ist die „mittlere Änderungsrate des Weges“ oder „Durchschnittsgeschwindigkeit“ in diesem Zeitraum. Durch experimentellen Grenzübergang – indem man immer kleinere Zeiträume betrachtet und die sich entwickelnde Tendenz feststellt – kommt man zu einer Annäherung an die momentane Änderungsrate der Zeit-Weg-Funktion, d. h. zur Momentangeschwindigkeit. Auch ein Radar-Geschwindigkeitsmessgerät misst die Momentangeschwindigkeit eines Fahrzeugs lediglich als mittlere Geschwindigkeit in einem allerdings sehr kleinen Zeitraum. Zu Unterschieden zwischen der experimentellen Änderungsrate und der mathematischen Ableitung deutlich siehe Gerthsen (1992), S. 9 f.

[1] Lohöfer; Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten. Tabelle der üblichen Änderungsbegriffe für Variable und Funktionen; Universität Marburg 2006, zuletzt abgerufen 20. Juni 2016.

[2] Der Quotient ${\tfrac {\Delta x}{\Delta t}}$ aus der Veränderung $\Delta x$ des Messwerts Weg in einer Zeitspanne $\Delta t$ und dieser Zeitspanne ist die „mittlere Änderungsrate des Weges“ oder „Durchschnittsgeschwindigkeit“ in diesem Zeitraum. Durch experimentellen Grenzübergang – indem man immer kleinere Zeiträume betrachtet und die sich entwickelnde Tendenz feststellt – kommt man zu einer Annäherung an die momentane Änderungsrate der Zeit-Weg-Funktion, d. h. zur Momentangeschwindigkeit. Auch ein Radar-Geschwindigkeitsmessgerät misst die Momentangeschwindigkeit eines Fahrzeugs lediglich als mittlere Geschwindigkeit in einem allerdings sehr kleinen Zeitraum. Zu Unterschieden zwischen der experimentellen Änderungsrate und der mathematischen Ableitung deutlich siehe Gerthsen (1992), S. 9 f.

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