Pseudoholomorphe Kurven (PHK) bezeichnen in der symplektischen Topologie eine glatte Abbildung von einer Riemannfläche in eine fast-komplexe Mannigfaltigkeit, die die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllt. Sie wurden 1985 durch Mikhail Gromow eingeführt und haben seitdem das Studium symplektischer Mannigfaltigkeiten revolutioniert, wo sie insbesondere für die Definition und das Studium von Gromov-Witten-Invarianten und der Floer-Homologie wichtig sind. Sie spielen auch eine Rolle in der Stringtheorie.
Sei $ X $ eine Mannigfaltigkeit mit fastkomplexer Struktur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C eine glatte Riemannfläche (entsprechend einer komplexen algebraischen Kurve) mit komplexer Struktur $ j $. Eine pseudoholomorphe Kurve in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X ist eine Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f \colon C \to X , die die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
erfüllt. Wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J^2 = -1 ist dies äquivalent zu
Geometrisch bedeutet dies, dass das Differential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): df komplex-linear ist, das heißt, $ J $ bildet jeden Tangentenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_xf(C)\subset T_xX auf sich ab. Aus technischen Gründen wird häufig ein inhomogener Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu eingeführt und es werden dann die gestörten Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen
studiert. Die zugehörigen Kurven heißen dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (j, J, \nu) -holomorphe Kurven. Manchmal nimmt man an, dass die Störung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \nu durch eine Hamiltonfunktion erzeugt wird (speziell in der Floertheorie), das muss aber nicht sein.
Nach ihrer Definition sind PHK immer parametrisiert, in der Praxis ist man aber auch an nicht-parametrisierten Kurven interessiert, das heißt eingebettete 2-Untermannigfaltigkeiten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X , und „integriert“ über die die Struktur erhaltenden Reparametrisierungsfreiheitsgrade des Gebietes. Im Fall der Gromov-Witten-Invarianten beispielsweise betrachtet man nur geschlossene Gebiete Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C mit festem Geschlecht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g und führt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n markierte Punkte (oder Punkturen, das heißt entfernte Punkte) auf $ C $ ein. Sobald die punktierte Euler-Charakteristik $ 2-2g-n $ negativ ist, gibt es nur endlich viele holomorphe Reparametrisierungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C , die die markierten Punkte erhalten. Die Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C ist ein Element des Deligne-Mumford-Modulraums der Kurven.
Im klassischen Fall sind sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): X wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C gleich der komplexen Zahlenebene. In reellen Koordinaten ist
und
wobei $ f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) $. Multipliziert man diese Matrizen in den beiden möglichen Reihenfolgen sieht man sofort, dass die obige Gleichung
äquivalent zu den klassischen Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen ist:
Obwohl sie für jede fast komplexe Mannigfaltigkeit definiert werden können, sind PHK besonders interessant, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J mit einer symplektischen Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega verbunden ist. Eine fast komplexe Struktur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega -zahm ($ \omega $-tame) dann und nur dann, falls
für alle von Null verschiedenen Tangentenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v . „Zahmheit“ (tameness) hat zur Folge, dass
eine Riemannsche Metrik auf $ X $ definiert. Michail Gromow zeigte, dass für ein gegebenes $ \omega $ der Raum der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega -zahmen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J nicht leer und zusammenziehbar ist. Er bewies damit sein „nonsqueezing theorem“ über die symplektische Einbettung von Sphären in Zylinder.
Gromov zeigte weiter, dass gewisse Modulräme von PHK (mit gewissen Zusatzbedingungen) kompakt sind und beschrieb, wie PHK entarten können wenn nur endliche Energie zur Verfügung steht. Dieses „Kompaktheitstheorem von Gromov“ – später stark verallgemeinert durch Verwendung stabiler Abbildungen – macht die Definition von Gromov-Witten-Invarianten möglich, die PHK in symplektischen Mannigfaltigkeiten abzählen.
Kompakte Modulräume von PHK werden auch zur Konstruktion der Floer-Homologie genutzt, die Andreas Floer zum Beweis der berühmten Arnold-Vermutung benutzte.
In der Typ II-Superstringtheorie betrachtet man „World Sheet“- Flächen von Strings, die sich auf 3-dimensionalen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten bewegen. In der Pfadintegral-Formulierung der Quantenfeldtheorie möchte man über den Raum („Modulraum“) all dieser Flächen integrieren. Dieser Raum hat aber unendlich viele Dimensionen und ist im Allgemeinen mathematisch nicht zugänglich, man kann aber im sogenannten A-twist ableiten, dass diese Flächen durch PHK parametrisiert werden, so dass man es mit einer Integration im endlich dimensionalen Modulraum der PHK zu tun hat. In der II A-Stringtheorie sind diese Integrale gerade die Gromov-Witten-Invarianten.