Rollersatzmasse

Die Rollersatzmasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_{RE} ist eine Rechengröße, die der realen physikalischen Masse eines rotationssymmetrischen starren Körpers hinzuzufügen ist, um seine Rotationsenergie rechnerisch durch zusätzliche translatorische kinetische Energie zu ersetzen.

Die kinetische Energie eines Körpers, der eine Translation und eine Rotation ausführt (z. B. Entlangrollen eines Rades auf einer Oberfläche), entspricht der kinetischen Energie eines Körpers mit größerer Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_2 > m_1 , der nur die Translation ausführt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{alignat}{2} E_\text{kin1} & && = E_\text{kin2}\\ \Leftrightarrow E_\text{trans1} & + E_\text{rot} && = E_\text{trans2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v^2 & + \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2 && = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v^2 \end{alignat}

Mit bekanntem Trägheitsmoment Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): J und indem man die Winkelgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega = \frac{v}{r} ersetzt (da die äußere Bahngeschwindigkeit beim Rollen genau der Translationsgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v entspricht), erhält man die Rollersatzmasse:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_\text{rot} = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot m_{RE} \cdot v^2

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_{RE} = \frac{J}{r^2}

Daraus folgt für die kinetische Energie:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot m_{RE} \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v^2

bzw. für die rechnerische Gesamtmasse:

$ \Rightarrow m_{1}+m_{RE}=m_{2} $

Beispiel

Am Beispiel einer Kugel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left( J = \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2 \right) sieht das wie folgt aus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} E_\text{rot} & = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2\\ & = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2 \right) \cdot \left( \frac{v}{r} \right)^2\\ & = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot m \right) \cdot v^2 \end{align}

also ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow m_\text{Ersatz} = \frac{2}{5} \cdot m

Die kinetische Energie der Kugel ist somit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \Rightarrow E_\text{kin} & = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot m \right) \cdot v^2\\ & = \frac{1}{2} \cdot \left( m + \frac{2}{5} \cdot m \right) \cdot v^2\\ & = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{7}{5} \cdot m \right) \cdot v^2\\ & = \frac{7}{10} \cdot m \cdot v^2 \end{align}