Thomsonsche Schwingungsgleichung

Thomsonsche Schwingungsgleichung

Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz f0 eines Schwingkreises (Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreis) mit der Kapazität C und der Induktivität L berechnen. Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson erstmals formuliert und lautet:

f0=12πLC

Oder umgeformt für die Periodendauer (Schwingungszeit):

T=1f0=2πLC

Herleitung

Allgemein

Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Serienwiderstand. Der kapazitive Widerstand des Kondensators und der induktive Widerstand der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null:

XL+XC=0ω0L1ω0C=0
ω0L=1ω0C
2πf0L=12πf0C, da gilt ω=2πf
f02=14π2LC
f0=12πLC, üblich ist auch die Form: ω0=1LC

Nach dem Energieerhaltungssatz

Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant.

Emag(t)+Eel(t)=EGesamt
Emag: magnetische Feldenergie der Spule
Eel: elektrische Feldenergie des Kondensators
EGesamt: Gesamtenergie des Systems (konstant)

Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:

12LI2(t)+12CQ2(t)=EGesamt

Aus

I(t)=dQ(t)dt=Q˙(t)

folgt:

12LQ˙2(t)+12CQ2(t)=EGesamt

Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:

LQ˙Q¨(t)+1CQQ˙(t)=0
I(t)(LQ¨+1CQ(t))=0
LQ¨+1CQ(t)=0, da im Schwingkreis gilt: I(t)0.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen Q(t) und Q¨(t) herstellen. Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Lösungsansatz, da sie sich auf Grund ihrer Periodizität gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet.

Q(t)=Q^sin(ωt+φ)
Q˙(t)=ωQ^cos(ωt+φ)
Q¨(t)=ω2Q^sin(ωt+φ)=ω2Q(t)
Q^: maximale Ladung (Amplitude)
ω: Kreisfrequenz
φ: Phasenverschiebung

Durch Einsetzen ergibt sich:

1CQ(t)ω2LQ(t)=0
Q(t)(1Cω2L)=0
1Cω2L=0, da im Schwingkreis gilt: Q(t)0

Daraus folgt mit ω=2πf:

1C4π2f02L=0
f02=14π2LC
f0=12πLC

Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur für Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien muss, ausgehend von XL=XC, die Frequenz abgeleitet werden.

Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet – die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist. Bei nicht zu großer Dämpfung kann die beim Parallelschwingkreis veränderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand RL von L berechnet werden:

ωD=ω01RL2CL

Literatur

  • Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 12. Auflage. Band 1. Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4.

Weblinks