Torische Linse

Abb. 1: Torische Linsenoberfläche als „Käppchen“ (rechts oben) von einem Torus (hier mit R = 1,2 r).

Eine torische Linse^[1] ist eine Linse, die in zwei senkrecht zueinander stehenden Richtungen zwei unterschiedliche Brechwerte hat. Mindestens eine der Linsenoberflächen hat dabei die Form eines „Käppchens“ von einem Torus (s. Abb. 1), die andere ist meist sphärisch. Torische Linsen werden für Brillen, als Kontaktlinsen und Intraokularlinsen zur Korrektur des Astigmatismus verwendet. Weiterhin kann man damit Laserstrahlen zu elliptischen Foki bündeln.

Torus

Datei:Superficie tórica.svg

Abb. 2: Ein Torus entsteht, wenn ein Kreis mit dem Radius

$ r $

um eine in derselben Ebene liegende Achse (hier die

$ z $

-Achse) rotiert, die sich im Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R von der Kreismitte befindet.

Datei:Les trois types de tores.PNG

Abb. 3: V. l. n. r.: Spindeltorus, Horntorus und Ringtorus. Wenn der große Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R kleiner wird (hier von rechts nach links), „schließt“ sich der Torus; bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R=0 entartet er in eine Kugel.

Ein Torus entsteht, wenn ein Kreis mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r um eine Achse rotiert ( $$ z $$ -Achse in Abb. 2), die in derselben Ebene liegt wie der Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises folgt dabei einer kreisförmigen Bahn mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R um die Rotationsachse. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R > r , erhält man einen Ringtorus. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R = r , ist die Öffnung in den Mittelpunkt des Rotationskreises zusammengeschrumpft; man spricht hier von einem Horntorus. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R < r , spricht man von einem Spindeltorus; hier bleiben von der Öffnung nur zwei Vertiefungen übrig, deren Tiefe verschwindet, wenn $R\to 0$ geht. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R = 0 , ist der Torus in eine Sphäre mit dem Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r entartet. (Siehe Abb. 3.)

Beschreibung

Der größte Krümmungsradius der torischen Linsenoberfläche ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R + r (siehe Abb. 2); der entsprechende kleinste Brechwert ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S = (n - 1) / (R + r) , wenn $$ n $$ der Brechungsindex des Glases ist. Dem kleinsten Krümmungsradius, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r , entspricht der größte Brechwert, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s = (n - 1) / r . Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R + r > r ist, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S < s . Die Differenz, $$ s-S $$ , wird in der Augenheilkunde und Augenoptik die Zylinderkorrektur^[2] genannt. Das Glas verhält sich etwa wie eine Kombination einer sphärischen Linse mit dem Brechwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s und einer Zylinderlinse mit dem Brechwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s - S .

Die maximale und die minimale Krümmung sind beide kreisförmig – die Linsenoberfläche ist also keineswegs Teil eines Rotationsellipsoids wie manchmal behauptet wird.

Wirkung

Lichtstrahlen, die in der (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x, y )-Ebene des Torus (siehe Abb. 2) einfallen, werden entsprechend dem größten Krümmungsradius, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): R + r , also dem kleinsten Brechwert $$ S=(n-1)/(R+r) $$ , gebrochen.

Lichtstrahlen in einer Ebene durch die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): z -Achse des Torus (siehe Abb. 2) werden entsprechend dem kleinsten Krümmungsradius, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r , also dem größten Brechwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s = (n - 1) / r , gebrochen.

Es gibt somit zwei verschiedene Brechwerte in senkrecht zueinander stehenden Richtungen. In den Zwischenrichtungen verläuft der Brechwert fließend vom kleinsten zum größten Wert oder umgekehrt. Dies kompensiert die astigmatischen Abweichungen des Auges.

Werden parallele Lichtstrahlen (Laser, Sonne) mit solchen Sammellinsen gebündelt, entstehen je nach Entfernung elliptische Foki.

Atorische Linse

Computergesteuerte Entwurf-, Schleif- und Polierverfahren ermöglichen es heute, in einem größeren Blickfeld gute Korrekturen zu erreichen, indem man bestimmte Abweichungen von der Torusform einbringt. In diesem Fall spricht man von einer atorischen Linse.^[3]^[4]

Einzelnachweise

↑ Von der Mathematik her würde man eher den Begriff toroidale Linse erwarten. Im Bereich der Augenheilkunde und Augenoptik ist jedoch der Begriff torische Linse üblich. Vermutlich basiert das darauf, dass man im Englischen unter torus nur den Rotationskörper eines Kreises versteht und den Begriff toroid nur für Rotationskörper anderer flacher Figuren verwendet.
↑ Diese korrigiert den Astigmatismus des Auges. Der Term Zylinder basiert hier auf eine mathematische Approximation, die nur bei kleinen Korrekturwerten gültig ist.
↑ D. Meister: Principles of Atoric Lens Design. In Lens Talk, Vol. 27, No. 3, 1998 (PDF)
↑ D. Volk: Aspheric Lenses (Memento des Originals vom 12. März 2012 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.oculist.net. (chapter 50 in Duane's Ophthalmology (Lippinkott, Wilkins & Williams / Wolters-Kluwer Health, Chicago, USA))

[1] Von der Mathematik her würde man eher den Begriff toroidale Linse erwarten. Im Bereich der Augenheilkunde und Augenoptik ist jedoch der Begriff torische Linse üblich. Vermutlich basiert das darauf, dass man im Englischen unter torus nur den Rotationskörper eines Kreises versteht und den Begriff toroid nur für Rotationskörper anderer flacher Figuren verwendet.

[2] Diese korrigiert den Astigmatismus des Auges. Der Term Zylinder basiert hier auf eine mathematische Approximation, die nur bei kleinen Korrekturwerten gültig ist.

[3] D. Meister: Principles of Atoric Lens Design. In Lens Talk, Vol. 27, No. 3, 1998 (PDF)

[4] D. Volk: Aspheric Lenses (Memento des Originals vom 12. März 2012 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.oculist.net. (chapter 50 in Duane's Ophthalmology (Lippinkott, Wilkins & Williams / Wolters-Kluwer Health, Chicago, USA))

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