Variationsmethode

Die Variationsmethode ist in der Quantenmechanik ein Näherungsverfahren, um eine obere Schranke für Eigenwerte einer quantenmechanischen Observablen mit diskretem Spektrum zu finden. Eine Verallgemeinerung der Methode führt auf das Min-Max-Prinzip.

Verfahren

Grundzustand

Das Verfahren basiert darauf, dass der Eigenwert des Grundzustands eine untere Schranke für den Erwartungswert der Messung der Observablen ist: Ist $g_{i}$ die Entartung eines Eigenwertes $$ i $$ , so lässt sich ein beliebiger Zustand als

|\psi \rangle =\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}c_{i,j}|\psi _{i,j}\rangle

schreiben, wobei die $|\psi _{i,j}\rangle$ ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Für den Erwartungswert des Zustands bei Messung einer Observablen $$ H $$ mit Eigenwerten $E_{i}$ gilt dann

\langle \psi |H|\psi \rangle =\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}E_{i}|c_{i,j}|^{2}\geq E_{0}\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}|c_{i,j}|^{2}=E_{0}\langle \psi |\psi \rangle

.

Es lässt sich demnach eine obere Schranke für $E_{0}$ finden, wenn man für eine Schar von Zuständen $|\psi _{\alpha }\rangle$ den Erwartungswert berechnet und das Infimum sucht:

E_{0}\leq \inf _{\alpha }{\frac {\langle \psi _{\alpha }|H|\psi _{\alpha }\rangle }{\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle }}

.

Angeregte Zustände

Ist $|\psi _{0}\rangle$ die Eigenfunktion zu einem (nicht entarteten) Grundzustand mit Eigenwert $E_{0}$ , so lässt sich für einen beliebigen Zustand $|\psi \rangle$ schreiben

H|\psi \rangle =c_{0}E_{0}|\psi _{0}\rangle +\varepsilon |\varphi \rangle

,

wo $|\varphi \rangle \perp |\psi _{0}\rangle$ . Zerlegt man $|\varphi \rangle$ wie oben in Eigenzustände, erhält man unter der Nebenbedingung $\langle \varphi |\psi _{0}\rangle =0$

E_{1}\leq \inf _{\alpha }{\frac {\langle \varphi _{\alpha }|H|\varphi _{\alpha }\rangle }{\langle \varphi _{\alpha }|\varphi _{\alpha }\rangle }}

,

da in der Summe der Wert $$ i=0 $$ fehlt.

Die Suche nach weiteren Eigenzuständen erfolgt analog, wobei dann unter Orthogonalität zu mehreren Teilräumen, die die niedrigeren Eigenwerte aufspannen, zu minimieren ist.

Literatur

Alberto Galindo, Pedro Pascual: Quantum Mechanics II. Kapitel 10.9; Springer, 1991
Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. Kapitel 44; Spektrum, 2008