Die Vergrößerungsfunktion gibt im eingeschwungenen Zustand eines von außen angeregten Schwingungssystems den Zusammenhang zwischen der Eingangs- und Ausgangsamplitude in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz an. Der Begriff Vergrößerungsfunktion wird in der Maschinendynamik verwendet. In der Elektrotechnik und Physik wird der Begriff Resonanzkurve verwendet. Die Vergrößerungsfunktion wird auch als Amplituden-Frequenzgang des Systems bezeichnet.[1] Der Amplitudengang und die dimensionslose Vergrößerungsfunktion können sich durch einen Normierungsfaktor unterscheiden. Um die Vergrößerungsfunktion unabhängig von einem speziellen Schwingungssystem auszudrücken, wird auch die Erregerfrequenz auf die ungedämpfte Eigenfrequenz bezogen. Der Vergrößerungsfaktor oder Verstärkungsfaktor ist der Wert der Vergrößerungsfunktion bei einer bestimmten Frequenz.[2]
Ein lineares gedämpftes Schwingungssystem, wie beispielsweise das nebenstehend abgebildete Masse-Feder-Dämpfer-System, kann durch eine periodische Kraft, die auf die Masse wirkt, zu Schwingungen mit konstanter Ausgangsamplitude
Dabei bezeichnet:
Bei kleinen Erregerfrequenzen
Bei sehr geringer Dämpfung
Für
Bei geringer Dämpfung
Bei verschwindender Dämpfung treten im Resonanzfall theoretisch unendlich große Amplituden auf. Ausgehend von der Ruhelage baut sich während des Einschwingvorgangs die Amplitude aber nur linear mit der Zeit auf, bei Kraftamplitude
Bei
Ist die Kraftamplitude von der Erregerfrequenz unabhängig, gibt die Vergrößerungsfunktion bis auf einen konstanten Faktor direkt den Amplitudengang wieder. Bei Fliehkraftanregung, z. B. durch Unwucht, ist die anregende Kraft quadratisch von der Frequenz abhängig. So ergibt sich die Vergrößerungsfunktion
Statt einer Kraftanregung auf die Masse kann das Schwingungssystem auch über das Feder/Dämpferelement angeregt werden. Diese Art der Anregung wird auch als Fußpunktanregung oder Weganregung bezeichnet. Dabei ergibt sich die Vergrößerungsfunktion
Beispiele für die Vergrößerungsfunktionen bei verschiedenen Anregungsarten finden sich in:[5][6]
Die Herleitung der Vergrößerungsfunktion bei Kraftanregung erfolgt aus der Differentialgleichung für eine erzwungene Schwingung. Gesucht sei die Amplitude x. Mit Masse
Durch Division mit c:
erhält man die Differentialgleichung:
Durch Anwendung der Laplace-Transformation erhält man die Übertragungsfunktion:
Mit
Den Amplitudenfrequenzgang erhält man als Betrag des komplexen Frequenzgangs:
Als Vergrößerungsfunktion wird der Ausdruck
Bei gegebener Kraftamplitude erhält man die Wegamplitude somit zu:
Der Schwinger wird über das Feder/Dämpferelement mit z(t) angeregt. Diese Form der Anregung wird als Fußpunktanregung bezeichnet. Gesucht sei die Amplitude x. Die Differentialgleichung lautet:
Durch Division mit c:
erhält man die Differentialgleichung:
Durch Anwendung der Laplace-Transformation erhält man die Übertragungsfunktion:
Mit
Die Vergrößerungsfunktion ergibt sich hier direkt als Betrag des komplexen Frequenzgangs:
Eine isolierende Wirkung bezüglich der Anregung ist erst ab einem Frequenzverhältnis von
Häufig ist nicht die Amplitude des Schwingers von Interesse, sondern dessen Beschleunigung. Mit
erhält man den Amplitudengang:
Der Ausdruck: