Vergrößerungsfunktion

Die Vergrößerungsfunktion gibt im eingeschwungenen Zustand eines von außen angeregten Schwingungssystems den Zusammenhang zwischen der Eingangs- und Ausgangsamplitude in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz an. Der Begriff Vergrößerungsfunktion wird in der Maschinendynamik verwendet. In der Elektrotechnik und Physik wird der Begriff Resonanzkurve verwendet. Die Vergrößerungsfunktion wird auch als Amplituden-Frequenzgang des Systems bezeichnet.^[1] Der Amplitudengang und die dimensionslose Vergrößerungsfunktion können sich durch einen Normierungsfaktor unterscheiden. Um die Vergrößerungsfunktion unabhängig von einem speziellen Schwingungssystem auszudrücken, wird auch die Erregerfrequenz auf die ungedämpfte Eigenfrequenz bezogen. Der Vergrößerungsfaktor oder Verstärkungsfaktor ist der Wert der Vergrößerungsfunktion bei einer bestimmten Frequenz.^[2]

Überblick

Beispiel Kraftanregung

Datei:Mass spring damper.svg

Masse-, Feder-, Dämpfer-System

Vergrößerungsfunktion in Abhängigkeit vom Frequenzverhältnis und der Lehrschen Dämpfung

Ein lineares gedämpftes Schwingungssystem, wie beispielsweise das nebenstehend abgebildete Masse-Feder-Dämpfer-System, kann durch eine periodische Kraft, die auf die Masse wirkt, zu Schwingungen mit konstanter Ausgangsamplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x angeregt werden. Die Amplitude der periodisch wirkenden Kraft stellt in diesem Fall die Eingangsgröße dar, die Schwingungsamplitude der Masse ist die Ausgangsgröße. Das frequenzabhängige Verhältnis der Ausgangsgröße zu der Eingangsgröße multipliziert mit einem konstanten Faktor ist die Vergrößerungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_1 (siehe Herleitung Kraftanregung):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_1 = \frac{1}{\sqrt{(1-\eta^2)^2 + (2\,D\eta)^2}}

Dabei bezeichnet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta das Frequenzverhältnis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega / \omega_0 ,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D die Lehrsche Dämpfung,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega die Erregerkreisfrequenz,
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_0 die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz des Schwingungssystems, auch Kennkreisfrequenz genannt.

Bei kleinen Erregerfrequenzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta \rightarrow 0 strebt die Vergrößerungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_1 \rightarrow 1 , bei sehr hohen Frequenzen $\eta \gg 1$ strebt die Vergrößerungsfunktion gegen Null wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_1 \approx \eta^{-2} . (Siehe Abb.)

Bei sehr geringer Dämpfung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D \rightarrow 0 konvergiert die Vergrößerungsfunktion gegen die Einhüllende:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_{1,max} = \frac{1}{\left|(1-\eta^2)\right|}

Resonanz

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D < \sqrt{1/2} hat die Vergrößerungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_1 bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta=\sqrt{1-2\,D^2} ein Maximum (Amplitudenresonanz) mit dem Wert

\alpha _{1,{\text{max}}}={\frac {1}{2D{\sqrt {1-D^{2}}}}}

.

Bei geringer Dämpfung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D \ll 1 ist die Resonanzamplitude umgekehrt proportional und die Breite der Resonanz direkt proportional zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D . Bei starker Dämpfung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D \ge \sqrt{1/2} liegt das Amplitudenmaximum mit dem Wert 1 fest bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta =0 .

Bei verschwindender Dämpfung treten im Resonanzfall theoretisch unendlich große Amplituden auf. Ausgehend von der Ruhelage baut sich während des Einschwingvorgangs die Amplitude aber nur linear mit der Zeit auf, bei Kraftamplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat F und Masse $$ m $$ des Schwingungssystems gemäß^[3]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat x=\frac {\hat F} {2\,m\,\omega_0}\cdot t .

Bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega = \omega_0 eilt die eingeschwungene Schwingung der erregenden Kraft um genau 1/4 Periode hinterher (Phasengang −90°, auch als Phasenresonanz bezeichnet). Daher ist der Energiefluss stets in das Schwingungssystem hinein gerichtet, während er sonst zweimal pro Periode sein Vorzeichen wechselt, weil die Phasendifferenz bei geringerer Frequenz kleiner als 90° und bei höherer Frequenz größer als 90° (und bis 180°) ist. Der Energieinhalt der Schwingung erreicht bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega = \omega_0 sein Maximum.

Anregungen

Ist die Kraftamplitude von der Erregerfrequenz unabhängig, gibt die Vergrößerungsfunktion bis auf einen konstanten Faktor direkt den Amplitudengang wieder. Bei Fliehkraftanregung, z. B. durch Unwucht, ist die anregende Kraft quadratisch von der Frequenz abhängig. So ergibt sich die Vergrößerungsfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_3=\eta^2 \alpha_1

Statt einer Kraftanregung auf die Masse kann das Schwingungssystem auch über das Feder/Dämpferelement angeregt werden. Diese Art der Anregung wird auch als Fußpunktanregung oder Weganregung bezeichnet. Dabei ergibt sich die Vergrößerungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_4 (siehe Schwingungsisolation, bzw. Herleitung Weganregung). Beispiel ist das Viertelfahrzeug als einfachstes Modell für das Schwingungsverhalten eines Pkw.^[4]

Beispiele für die Vergrößerungsfunktionen bei verschiedenen Anregungsarten finden sich in:^[5]^[6]

Herleitung

Kraftanregung

Die Herleitung der Vergrößerungsfunktion bei Kraftanregung erfolgt aus der Differentialgleichung für eine erzwungene Schwingung. Gesucht sei die Amplitude x. Mit Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m , Federkonstante $$ c $$ und Dämpfungskonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): d folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m\;\ddot x + d\;\dot x + c\; x = F(t) .

Durch Division mit c:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac m c\;\ddot x + \frac d c\;\dot x + x = \frac 1 c\;F(t) .

erhält man die Differentialgleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac 1 {\omega_0^2}\;\ddot x + \frac {2D} {\omega_0}\;\dot x + x = \frac 1 c\;F(t) .

Durch Anwendung der Laplace-Transformation erhält man die Übertragungsfunktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {x(s)} {F(s)}=G(s)=\frac 1 c\;\frac 1 {1+\frac {2D}{\omega_0}\;s+\frac 1 {\omega_0^2}\;s^2}

Mit $s=j\omega \,$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta=\omega/\omega_0\, erhält man den Frequenzgang:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): G(\omega)=\frac 1 c\;\frac 1 {1-\eta^2+j\cdot2D\eta}

Den Amplitudenfrequenzgang erhält man als Betrag des komplexen Frequenzgangs:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left|G(\omega)\right|= \frac 1 c\;\frac 1 {\sqrt{\left (1-\eta^2\right )^2+\left(2D\eta\right )^2}}=\frac 1 c\;\alpha_1(\eta)

Als Vergrößerungsfunktion wird der Ausdruck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_1(\eta) bezeichnet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_1=\frac 1 {\sqrt{\left (1-\eta^2\right )^2+\left(2D\eta\right )^2}}

Bei gegebener Kraftamplitude erhält man die Wegamplitude somit zu:

{\hat {x}}(\eta )={\frac {\hat {F}}{c}}\;\alpha _{1}(\eta )

Weganregung

Datei:Alpha 4.jpg

Vergrößerungsfunktion bei Weganregung für verschiedene Dämpfungswerte

Der Schwinger wird über das Feder/Dämpferelement mit z(t) angeregt. Diese Form der Anregung wird als Fußpunktanregung bezeichnet. Gesucht sei die Amplitude x. Die Differentialgleichung lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m\;\ddot x + d\;\dot x + c\; x = d\;\dot z + c\; z .

Durch Division mit c:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac m c\;\ddot x + \frac d c\;\dot x + x = \frac d c\;\dot z+z .

erhält man die Differentialgleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac 1 {\omega_0^2}\;\ddot x + \frac {2D} {\omega_0}\;\dot x + x = \frac {2D} {\omega_0}\;\dot z+z .

Durch Anwendung der Laplace-Transformation erhält man die Übertragungsfunktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {x(s)} {z(s)}=G(s)=\frac {1+\frac {2D}{\omega_0}\;s} {1+\frac {2D}{\omega_0}\;s+\frac 1 {\omega_0^2}\;s^2}

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s=j\omega\, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta=\omega/\omega_0\, erhält man den Frequenzgang:

G(\omega )={\frac {1+j\cdot 2D\eta }{1-\eta ^{2}+j\cdot 2D\eta }}

Die Vergrößerungsfunktion ergibt sich hier direkt als Betrag des komplexen Frequenzgangs:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_4 = \sqrt{\frac {1+\left(2D\eta\right )^2} {\left (1-\eta^2\right )^2+\left(2D\eta\right )^2}}

Eine isolierende Wirkung bezüglich der Anregung ist erst ab einem Frequenzverhältnis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta > \sqrt 2 gegeben. Bei verschwindender Dämpfung streben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_4 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha_1 gegen die gleiche Einhüllende.

Häufig ist nicht die Amplitude des Schwingers von Interesse, sondern dessen Beschleunigung. Mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac {\hat{\ddot x}} {\hat z}=\omega^2\;\frac {\hat x}{\hat z}\;

erhält man den Amplitudengang:

{\frac {\hat {\ddot {x}}}{\hat {z}}}=\omega _{0}^{2}\;\eta ^{2}\;{\sqrt {\frac {1+\left(2D\eta \right)^{2}}{\left(1-\eta ^{2}\right)^{2}+\left(2D\eta \right)^{2}}}}=\omega _{0}^{2}\;\eta ^{2}\;\alpha _{4}

Der Ausdruck: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \eta^2\alpha_4 ist die dimensionslose Vergrößerungsfunktion zwischen Weganregung am Fußpunkt und der Beschleunigung.

Siehe auch

Literatur

Hans Dresig, Franz Holzweißig: Maschinendynamik. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-16009-7, S. 554 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise

↑ Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 3: Kinetik. Springer, ISBN 978-3-642-11264-5.
↑ Manfred Mitschke: Dynamik der Kraftfahrzeuge. Band B. Schwingungen. 3. Auflage. Springer-Verlag, 1997, ISBN 3-540-56162-5.
↑ K. Magnus, H. H. Müller: Grundlagen der technischen Mechanik. Teubner 1982, ISBN 3-519-02371-7.
↑ F. Svaricek: Regelungstechnik. Vorlesungsunterlagen S. 9–12. (online) (Memento vom 28. Dezember 2016 im Internet Archive) (PDF; 548 kB).
↑ Uwe Hollburg: Maschinendynamik. 2. Auflage. ISBN 978-3-486-57898-0. (online).
↑ Wandinger: Elastodynamik 2. Vorlesungsunterlagen. (online) (PDF; 230 kB).

[TM3-1] Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 3: Kinetik. Springer, ISBN 978-3-642-11264-5.

[2] Manfred Mitschke: Dynamik der Kraftfahrzeuge. Band B. Schwingungen. 3. Auflage. Springer-Verlag, 1997, ISBN 3-540-56162-5.

[Magnus-3] K. Magnus, H. H. Müller: Grundlagen der technischen Mechanik. Teubner 1982, ISBN 3-519-02371-7.

[Svaricek-4] F. Svaricek: Regelungstechnik. Vorlesungsunterlagen S. 9–12. (online) (Memento vom 28. Dezember 2016 im Internet Archive) (PDF; 548 kB).

[Hollburg-5] Uwe Hollburg: Maschinendynamik. 2. Auflage. ISBN 978-3-486-57898-0. (online).

[Wandinger-6] Wandinger: Elastodynamik 2. Vorlesungsunterlagen. (online) (PDF; 230 kB).

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