Das XY-Modell ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells der statistischen Mechanik, mit dem der Magnetismus und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall $ n=2 $ des allgemeineren n-Vektor-Modells (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit $ n=1 $ und das Heisenberg-Modell mit $ n=3 $).
Es wurde schon 1950 von Yōichirō Nambu[1] in Zusammenhang mit dem zweidimensionalen Ising-Modell betrachtet. Elliott Lieb, Daniel Mattis und T. Schultz gaben 1961 eine exakte Lösung des XY-Modell von Spin 1/2-Teilchen in einer Dimension.[2] Dabei verwendeten sie die Jordan-Wigner-Transformation.
Das XY-Modell besteht aus $ N $ Spins $ {\vec {s_{i}}} $, die durch Einheitsvektoren dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines Gitters beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung XY und der Spezialfall $ n=2 $.
Der Hamiltonian für das XY-Modell ist gegeben durch:
wobei
Der Ordnungsparameter des XY-Modells ist die Magnetisierung $ {\vec {M}}=(M_{x},M_{y}) $ und somit ein Vektor in der XY-Ebene. Ein Phasenübergang kann für zwei- und höherdimensionale Gitter auftreten. In zwei Dimensionen ist dies kein normaler kontinuierlicher Phasenübergang oder Phasenübergang erster Ordnung, sondern der durch keinen herkömmlichen lokalen Ordnungsparameter beschreibbare Kosterlitz-Thouless-Übergang. Dieser ist der Hauptgrund, warum das XY-Modell für die theoretische Physik interessant ist.