Zernike-Polynom

Zernike-Polynome bis zur 4. Ordnung und ein Beispiel 6. Ordnung

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome und spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

$ Z_{n}^{m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\phi ) $

und die ungeraden durch

$ Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\phi ), $

wobei $ m $ und $ n $ nichtnegative ganze Zahlen sind, für die gilt: $ n\geq m $. $ \phi $ ist der azimutale Winkel und $ \rho $ ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome $ R_{n}^{m} $ sind definiert gemäß

$ R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k} $,

wenn $ n-m $ gerade ist und $ R_{n}^{m}(\rho )=0 $, wenn $ n-m $ ungerade ist.

Häufig werden sie zu $ R_{n}^{m}(1)=1 $ normiert.

Eigenschaften

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils $ R_{n}^{m} $ und eines winkelabhängigen Teils $ G^{m} $:

$ Z_{n}^{\pm m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\cdot G^{m}(\phi )\!. $

[Für Puristen sei darauf hingewiesen, daß in der Physik und Optik diese Funktionen zweier Argumente als Polynome bezeichnet werden, aber je nach Anwendung auch nur der Radialanteil, also die sinus-cosinus-förmigen Azimuth-Funktionen als zu trivial angesehen werden, um eine Namenserweiterung wie zum Beispiel auf Zernike-Funktionen zu bewirken.]

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel $ \alpha =2\pi /m $ ändert den Wert des Polynoms nicht:

$ G^{m}(\phi +\alpha )=G^{m}(\phi )\!. $

Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über $ \rho $ vom Grad $ n $, welches keine Potenz kleiner $ m $ enthält. $ R_{n}^{m} $ ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn $ m $ gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome $ P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z) $ dar.

$ R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2}) $

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

$ R_{0}^{0}(\rho )=1 $

$ R_{1}^{1}(\rho )=\rho $

$ R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1 $

$ R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2} $

$ R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho $

$ R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3} $

$ R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1 $

$ R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2} $

$ R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4} $

$ R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho $

$ R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3} $

$ R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5} $

$ R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1 $

Allgemein ist $ R_{n}^{n}(\rho )=\rho ^{n}. $

Anwendungen

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler optischer Systeme beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Literatur

Commons: Zernike-Polynom – Sammlung von Bildern

• Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Zernike Polynomial. In: MathWorld (englisch).