Quelltext der Seite Reiner und gemischter Zustand

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Die Begriffe '''reiner''' und '''gemischter Zustand''' (besser: '''Zustandsgemisch''') bezeichnen in der [[Quantenstatistik]], dem Teilgebiet der [[Quantenmechanik]] für [[Vielteilchensystem]]e, bestimmte [[Zustand (Quantenmechanik)|quantenmechanische Zustände]].

== Reiner Zustand ==
Ein reiner Zustand liegt vor, wenn das betrachtete System in einem fest definierten Zustand ist, der durch einen Zustandsvektor <math>|\psi\rangle</math> aus dem [[Hilbertraum]] beschrieben wird. Dann findet man es mit der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>p=1</math> in diesem Zustand <math>|\psi\rangle</math>. Somit ist der [[Dichteoperator]]

:<math>\rho_\psi = P_\psi  = |\psi\rangle\langle\psi|</math>

gerade die [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] auf den Zustand <math>|\psi\rangle</math>. Diese ist [[Idempotenz|idempotent]], d.&nbsp;h., es gilt <math>\rho_\psi ^2=\rho_\psi</math>.

Eine alternative Definition eines reinen Zustandes lässt sich auch auf den allgemeineren [[Zustand (Mathematik)|Zustandsbegriff]] für [[C*-Algebra|C*-Algebren]] von Operatoren erweitern. Ein Zustand auf einer C*-Algebra <math>A</math> ist ein positives lineares Funktional mit Norm 1, also eine Abbildung <math>\varphi \colon A \to \mathbb K</math> mit <math>\varphi(A_+)\subseteq \mathbb R_+</math> und <math>\|\varphi \|=1</math>. Die Menge der Zustände <math>S(A)</math> bildet eine konvexe Menge. Ein reiner Zustand ist ein Zustand, der [[Extremalpunkt|extremal]] in <math>S(A)</math> ist. D.&nbsp;h., ein reiner Zustand lässt sich nicht als [[Konvexkombination]] (eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten, deren Summe 1 ergibt) zweier anderer Zustände beschreiben.

== Zustandsgemische ==
Das Gegenstück zu einem reinen Zustand ist ein '''Zustandsgemisch'''. Dieses wird manchmal auch als '''gemischter Zustand''' bezeichnet, was semantisch etwas unpräzise ist, weil zwischen [[ Kohärenz (Physik)|kohärenter]] und inkohärenter Mischung zu unterscheiden ist. Bei kohärenter Überlagerung werden Wellenfunktionen linear superponiert, <math>|\psi\rangle =a_1|\psi_1\rangle +a_2|\psi_2\rangle +... ,</math> (im Allgemeinen mit komplexen Faktoren <math>a_i</math>). Bei inkohärenter Überlagerung werden ihre Projektionsoperatoren linear superponiert, <math>\hat \rho = p_1|\psi_1\rangle\langle\psi_1| + p_2|\psi_2\rangle\langle\psi_2| +... </math> (im Allgemeinen mit reellen Faktoren <math>p_i</math> und <math>\textstyle \sum_i p_i = 1</math>). Ein analoger Unterschied besteht in der Optik zwischen der kohärenten Addition von Amplituden ([[Wellenoptik]]) und der inkohärenten Addition von Intensitäten ([[Strahlenoptik]]). Bei der kohärenten Überlagerung hängt das Resultat von den relativen Phasen der superponierten Zustände ab, und das System befindet sich mit Wahrscheinlichkeit&nbsp;1 im Zustand  <math>|\psi\rangle</math>. Bei der inkohärenten  Überlagerung hängt das Zustandsgemisch nicht von den Phasen ab, und es gibt keinen einzelnen reinen Zustand, in dem sich das System mit Wahrscheinlichkeit&nbsp;1 befindet (ausgenommen der triviale Fall, wo bis auf einen alle Faktoren <math>p_i=0</math>). Diese Situation entsteht häufig, z.&nbsp;B. wenn man das System wiederholte Male präpariert und dabei nur mit relativen Häufigkeiten <math>p_i</math> einen der reinen Zustände <math>|\psi_i\rangle</math> erzeugt. Die Zustände <math>|\psi_i\rangle</math> müssen dabei nicht orthogonal zueinander sein. Sind sie orthogonal, dann sind sie auch die Eigenzustände des Dichteoperators mit den Eigenwerten <math>p_i</math>.

Der [[Dichteoperator]] ist also
:<math>\hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle\psi_i|</math>
Der Erwartungswert eines beliebigen Operators <math> \hat O </math> (mit Eigenwerten <math>\lambda_i</math> und Eigenzuständen <math>|\lambda_i\rangle</math>) ist dann die mit den <math>p_i</math> gewichtete Summe der Erwartungswerte von <math> \hat O </math> in jedem der einzelnen Zustände <math>|\psi_i\rangle</math> („inkohärente Überlagerung“):
:<math> \langle \hat O \rangle_{\hat \rho} = \mathrm{Sp}(\hat \rho \cdot \hat O) =\sum_i p_i \mathrm{Sp} \left( |\psi_i\rangle \langle\psi_i| \cdot \hat O \right ) = \sum_i p_i \sum_j \langle \lambda_j| |\psi_i\rangle \langle\psi_i| \cdot \hat O |\lambda _j \rangle </math><math>= \sum_i p_i \langle \psi_i| \underbrace{\sum_j \lambda_j |\lambda_j\rangle \langle \lambda_j|}_{\text{Spektraldarstellung von } \hat{O}} |\psi_i \rangle =\sum_i p_i\; \langle \psi_i|\hat O | \psi_i\rangle</math>
Sind die reinen Zustände <math>|\psi_i\rangle</math> orthogonal zueinander, dann gibt das Gewicht <math>p_i</math> die Wahrscheinlichkeit dafür an, das System im reinen Zustand <math>|\psi_i\rangle</math> zu finden. Sind sie nicht orthogonal, gilt das nicht. Vielmehr gilt für die Wahrscheinlichkeit, das Gemisch in einem bestimmten Zustand <math>|\psi_m \rangle</math> zu finden:
:<math> \mathrm{Sp}(\hat \rho \cdot \hat \rho_m) = \mathrm{Sp} \left( \left\{ \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle\psi_i| \right\} \cdot |\psi_m\rangle \langle\psi_m| \right ) = \sum_i p_i\; |\langle \psi_m|\psi_i\rangle|^2 \neq p_m</math>

Unterschiedliche Zusammensetzungen können die gleiche [[Dichtematrix]] erzeugen:

:<math>\rho_1=\frac{1}{2}(|z+\rangle \langle z+|+|z\!-\rangle \langle z-|) = \begin{pmatrix}1/2 & 0 \\ 0 & 1/2\end{pmatrix}</math>

:<math>\rho_2=\frac{1}{2}(|x+\rangle \langle x+|+|x-\rangle \langle x-|) = \begin{pmatrix}1/2 & 0 \\ 0 & 1/2\end{pmatrix}</math>

Hierbei sind die Zustände <math>|z\pm\rangle</math> und <math>|x\pm\rangle</math> die Eigenzustände des Spin-1/2-Systems zur z- bzw. x-Achse. Die  beiden Formeln mit unterschiedlichen Projektionsoperatoren scheinen einmal die z-Achse, das andere Mal die x-Achse auszuzeichnen. Sie sind jedoch identisch, wie man erkennt,  wenn man die üblichen Identifikationen <math>|z-\rangle\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow \rangle\ - |\downarrow\rangle ) = \ \frac {1}{\sqrt{2}}(\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}-...)</math> und <math> |x+\rangle \, =\,\frac{1}{\sqrt{2}}(|\rightarrow\rangle +|\leftarrow\rangle ) \ =\frac {1}{\sqrt{2}}(\, \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}+ ... )</math> benutzt (siehe z.&nbsp;B. [[Bell-Zustand]]). 

Den Dichteoperator eines inkohärenten Zustandsgemischs (aus mindestens zwei Zuständen) erkennt man daran, dass für ihn gilt: <math>\rho ^2 < \rho ,</math> während bei kohärenter Mischung immer das Gleichheitszeichen gilt, <math>\rho ^2 = \rho .</math>

== Beispiele ==
Das prominenteste Beispiel für ''inkohärente'' Superposition gibt die [[Thermodynamik]] bzw. [[Statistische Physik]] ([[Quantenstatistik]]). Hier ist <math>\rho = \frac{\exp (-\beta \hat H )}{Z(T)}</math>. Dabei ist <math>\beta</math> die reziproke Fermi-Temperatur T, genauer: <math>\beta =1/(k_B\cdot T),</math> mit der Boltzmann-Konstante <math>k_B;</math> &nbsp;<math>\hat H</math> ist der [[Hamiltonoperator]] (Energieoperator) des Systems; es ist also <math>p_i=\frac{\exp (-\beta E_i)}{Z(T)};</math> &nbsp;Z(T) schließlich ist die sogenannte [[Zustandssumme]], <math>Z(T)=\sum_{i} \, \exp( -\beta E_i),</math> was <math>\sum_i p_i=1 </math> entspricht. Für die thermodynamische [[Entropie]] <math>S(T)</math> des Systems gilt: <math>S(T)=k_BS_N \equiv -k_BT\cdot \ln Z(T),</math> mit der im Artikel [[Bell-Zustand]] statistisch definierten von-Neumann-Entropie <math>S_N=\sum_i -p_i\ln p_i \ (= - \ \mathrm{Sp} \, \rho\cdot\ln\rho ).</math> Beide Entropien sind also im Wesentlichen identisch.

Das prominenteste Beispiel für ''kohärente'' Superpositionen gibt die [[Laser]]strahlung. Hier strahlen die Laseratome gleichphasig, also im Takt. Es werden Übergänge zwischen unterschiedlichen „reinen“ Energiezuständen des bestrahlten Systems induziert, wobei die Übergangrate, das ist die Zahl der Übergänge dividiert durch die Zeit, nicht wie bei inkohärenter Strahlung  konstant ist, sondern z.&nbsp;B.  über eine gewisse Zeitspanne sehr rasch anwächst. Die erzeugte Strahlungsintensität (<math>\propto |\vec E|^2</math>) ist sehr viel größer als bei inkohärenter Anregung (<math>\propto N^2,</math>  verglichen mit <math>\propto N</math> bei inkohärentem Licht. Dabei ist <math>N</math>, die Zahl der beteiligten Atome, extrem groß, sodass <math>N^2</math> um viele Zehnerpotenzen größer ist als <math>N.</math>)

Bei inkohärenter Anregung erfolgen die Energieübergänge  nicht im Takt, sondern z.&nbsp;B. mit Zufallsphasen. Für die mittlere Übergangsrate gilt jetzt eine sog. „[[Fermis Goldene Regel|Goldene Regel]]“ von [[Enrico Fermi|E. Fermi]].

== Quellen ==
* H. Lin, ''An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras'', World Scientific (2001)

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
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