Die Begriffe reiner und gemischter Zustand (besser: Zustandsgemisch) bezeichnen in der Quantenstatistik, dem Teilgebiet der Quantenmechanik für Vielteilchensysteme, bestimmte quantenmechanische Zustände.
Ein reiner Zustand liegt vor, wenn das betrachtete System in einem fest definierten Zustand ist, der durch einen Zustandsvektor $ |\psi \rangle $ aus dem Hilbertraum beschrieben wird. Dann findet man es mit der Wahrscheinlichkeit $ p=1 $ in diesem Zustand $ |\psi \rangle $. Somit ist der Dichteoperator
gerade die Projektion auf den Zustand $ |\psi \rangle $. Diese ist idempotent, d. h., es gilt $ \rho _{\psi }^{2}=\rho _{\psi } $.
Eine alternative Definition eines reinen Zustandes lässt sich auch auf den allgemeineren Zustandsbegriff für C*-Algebren von Operatoren erweitern. Ein Zustand auf einer C*-Algebra $ A $ ist ein positives lineares Funktional mit Norm 1, also eine Abbildung $ \varphi \colon A\to \mathbb {K} $ mit $ \varphi (A_{+})\subseteq \mathbb {R} _{+} $ und $ \|\varphi \|=1 $. Die Menge der Zustände $ S(A) $ bildet eine konvexe Menge. Ein reiner Zustand ist ein Zustand, der extremal in $ S(A) $ ist. D. h., ein reiner Zustand lässt sich nicht als Konvexkombination (eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten, deren Summe 1 ergibt) zweier anderer Zustände beschreiben.
Das Gegenstück zu einem reinen Zustand ist ein Zustandsgemisch. Dieses wird manchmal auch als gemischter Zustand bezeichnet, was aber unpassend ist, weil dann zwischen kohärenter und inkohärenter Mischung zu unterscheiden ist, und die kohärente Mischung gerade nicht zu einem Zustandsgemisch sondern zu einem reinen Zustand führt. Gewöhnlich wird die „kohärente Mischung“ als Überlagerung bezeichnet. Dabei werden Wellenfunktionen linear superponiert, $ |\psi \rangle =a_{1}|\psi _{1}\rangle +a_{2}|\psi _{2}\rangle +..., $ mit komplexen Faktoren $ a_{i} $, die unter anderem Phaseninformation ausdrücken. ‚Inkohärente Mischung‘ beschreibt zunächst Ensemble, in denen Objekte in reinen Zuständen $ |\psi _{i}\rangle $ statistisch mit Wahrscheinlichkeiten $ p_{i}>0 $, $ \textstyle \sum _{i}p_{i}=1 $, gemischt sind. Dabei spielen die Phasen der $ |\psi _{i}\rangle $ keine Rolle. Ein solcher ‚Zustand‘ wird dann auch den einzelnen Objekten des Ensembles zugeschrieben. Es ist aber zu beachten, dass das Objekt bei einer Messung die Zustände $ |\psi _{i}\rangle $ im Allgemeinen nicht mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit zeigen wird. Dies geschieht nur, wenn die zusammengemischten Zustände orthogonal sind.
Ein analoger Unterschied besteht in der Optik zwischen der kohärenten Addition von Amplituden (Wellenoptik) und der inkohärenten Addition von Intensitäten (Strahlenoptik). Bei inkohärenter Überlagerung, also bei einem Zustandsgemisch, tritt an die Stelle des Projektionsoperators der Dichteoperator, den man als Linearkombination der einzelnen Projektionsoperatoren bildet:
Zustandsgemische verschiedener Zusammensetzung lassen sich nur dann durch Messungen (von geeigneten Observablen) unterscheiden, wenn ihre Dichteoperatoren sich unterscheiden. Ein reiner Zustand ist der Spezialfall eines Gemischs mit nur einer Komponente.
Sind die gemischten reinen Zustände orthogonal, so sind sie die Eigenzustände des Dichteoperators und die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_i sind die zugehörigen Eigenwerte.
Zustandsgemische entstehen häufig, z. B. wenn beim Präparieren des Systems unterschiedliche reine Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_i\rangle mit relativen Häufigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_i erzeugt werden. Der Erwartungswert eines beliebigen Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat O (mit Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_i und Eigenzuständen $ |\lambda _{i}\rangle $) ist die mit den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_i gewichtete Summe der Erwartungswerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat O in jedem der inkohärent gemischten Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_i\rangle :
Sind die reinen Zustände $ |\psi _{i}\rangle $ orthogonal zueinander, dann gibt das Gewicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_i die Wahrscheinlichkeit dafür an, das System im reinen Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_i\rangle zu finden. Sind sie nicht orthogonal, gilt das nicht. Vielmehr gilt für die Wahrscheinlichkeit, das Gemisch in einem bestimmten Zustand $ |\psi _{m}\rangle $ zu finden:
Unterschiedliche Zusammensetzungen können die gleiche Dichtematrix erzeugen:
Hierbei sind die Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |z\pm\rangle und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |x\pm\rangle die Eigenzustände des Spin-1/2-Systems zur z- bzw. x-Achse. Die beiden Formeln mit unterschiedlichen Projektionsoperatoren scheinen einmal die z-Achse, das andere Mal die x-Achse auszuzeichnen. Sie sind jedoch identisch, wie man erkennt, wenn man die üblichen Identifikationen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |z-\rangle\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow \rangle\ - |\downarrow\rangle ) = \ \frac {1}{\sqrt{2}}(\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}-...) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |x+\rangle \, =\,\frac{1}{\sqrt{2}}(|\rightarrow\rangle +|\leftarrow\rangle ) \ =\frac {1}{\sqrt{2}}(\, \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}+ ... ) benutzt (siehe z. B. Bell-Zustand).
Den Dichteoperator eines inkohärenten Zustandsgemischs (aus mindestens zwei Zuständen) erkennt man daran, dass für ihn gilt: $ \rho ^{2}<\rho , $ während bei kohärenter Mischung immer das Gleichheitszeichen gilt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho ^2 = \rho .
Das prominenteste Beispiel für inkohärente Superposition gibt die Thermodynamik bzw. Statistische Physik (Quantenstatistik). Hier ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho = \frac{\exp (-\beta \hat H )}{Z(T)} . Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta die reziproke Fermi-Temperatur T, genauer: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta =1/(k_\mathrm B\cdot T), mit der Boltzmann-Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_\mathrm B; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H ist der Hamiltonoperator (Energieoperator) des Systems; es ist also $ p_{i}={\frac {\exp(-\beta E_{i})}{Z(T)}}; $ Z(T) schließlich ist die sogenannte Zustandssumme, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z(T)=\sum_{i} \, \exp( -\beta E_i), was Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_i p_i=1 entspricht. Für die thermodynamische Entropie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(T) des Systems gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S(T)=k_\mathrm BS_N \equiv -k_\mathrm BT\cdot \ln Z(T), mit der im Artikel Bell-Zustand statistisch definierten Von-Neumann-Entropie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S_N=\sum_i -p_i\ln p_i \ (= - \ \mathrm{Sp} \, \rho\cdot\ln\rho ). Beide Entropien sind also im Wesentlichen identisch.
Das prominenteste Beispiel für kohärente Superpositionen gibt die Laserstrahlung. Hier strahlen die Laseratome gleichphasig, also im Takt. Es werden Übergänge zwischen unterschiedlichen „reinen“ Energiezuständen des bestrahlten Systems induziert, wobei die Übergangrate, das ist die Zahl der Übergänge dividiert durch die Zeit, nicht wie bei inkohärenter Strahlung konstant ist, sondern z. B. über eine gewisse Zeitspanne sehr rasch anwächst. Die erzeugte Strahlungsintensität (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \propto |\vec E|^2 ) ist sehr viel größer als bei inkohärenter Anregung ($ \propto N^{2}, $ verglichen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \propto N bei inkohärentem Licht. Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N , die Zahl der beteiligten Atome, extrem groß, sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N^2 um viele Zehnerpotenzen größer ist als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N. )
Bei inkohärenter Anregung erfolgen die Energieübergänge nicht im Takt, sondern z. B. mit Zufallsphasen. Für die mittlere Übergangsrate gilt jetzt eine sog. „Goldene Regel“ von E. Fermi.