Quelltext der Seite Split-Operator-Methode

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Die '''Split-Operator-Methode''' (SOP) ist ein numerisches Verfahren mit dem die zeitabhängige [[Schrödingergleichung]] gelöst werden kann. Bei der Methode wird der [[Hamiltonoperator]] <math>\hat{H}</math> in einen kinetischen Teil <math>\hat{T}</math> (Impulsteil) und in einen Potentialteil <math>\hat{V}</math> gespalten und einzeln angewendet. Dabei wird von der [[Schnelle Fourier-Transformation|schnellen Fourier-Transformation]] (FFT) Gebrauch gemacht, um zwischen Impulsraum und Ortsraum zu unterscheiden.

== Die Schrödingergleichung ==
[[Datei:Ortsraum.png|miniatur|Die Wellenfunktion <math>\psi(x)</math> auf einem äquidistanten Gitter dargestellt (Ortsraum)]]
[[Datei:Impulsraum.png|miniatur|Die Wellenfunktion <math>\psi(k)</math> auf einem äquidistanten Gitter dargestellt (Impulsraum)]]

Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist definiert als
:<math>i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}(t)\psi(x,t),</math>
wobei <math>\textstyle \hat{H}(t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(t)</math> der Hamiltonoperator ist.

Die Wellenfunktion <math>\psi(x,t)</math> wird im Ortsraum auf einem äquidistanten Gitter dargestellt. Als Startwerte werden die Werte von <math>\psi(x,t_0)</math> zur Zeit <math>t_0</math> an den Gitterpunkten vorgegeben. Durch das Verfahren wird die Wellenfunktion zu einem späteren Zeitpunkt <math>t=t_0+\Delta t</math> berechnet.

Die Wirkung des Hamiltonoperators <math>\textstyle \hat{H}(t)=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+\hat{V}(t)</math> auf eine Wellenfunktion <math>\hat{H}\psi=\hat{T}\psi+\hat{V}\psi</math> wird mit der schnellen Fourier-Transformation berechnet. Dazu wird neben dem Gitter im Ortsraum auch ein Gitter im Impulsraum benötigt. Die Auflösung im Impulsraum <math>\Delta k=\tfrac{2\pi}{L}</math> ist durch die Länge <math>L</math> des Gitters im Ortsraum festgelegt. Es gilt <math>\Delta k\Delta x =\tfrac{2\pi}{N}</math>, wobei <math>N</math> die Anzahl der Gitterpunkte ist.

== Anwendung der diskreten Fourier-Transformation ==
Der Potentialoperator <math>\hat{V}</math> besitzt im Ortsraum eine diagonale Matrixdarstellung und wirkt daher lokal auf jeden Gitterpunkt <math>x_i</math>:
:<math>\left(\hat{V}(t)\psi\right)(x_i)=V(x_i,t)\cdot\psi(x_i).</math>

Genauso wird der kinetische Operator <math>\hat{T}</math> mit seiner diagonalen Darstellung im Impulsraum berechnet. Für jeden Gitterpunkt <math>k_i</math> gilt:
:<math>\left(\hat{T}\tilde{\psi}\right)(k_i))=\frac{\hbar^2}{2m}{k_i}^2\tilde{\psi}(k_i).</math>

Dabei ist die diskrete Darstellung der Wellenfunktion <math>\tilde{\psi}(k_i)</math> im Impulsraum durch die diskrete Fourier-Transformation <math>\hat{Z}^\dagger</math> gegeben:
:<math>\tilde{\psi}(k_i)=\langle k_i|\psi\rangle=\sum_{x_j}\langle k_i|x_j\rangle\langle x_j|\psi\rangle =\frac{\Delta x}{\sqrt{2\pi}}\sum_{x_j}e^{-ik_ix_j}\psi(x_j)</math>

In Vektorschreibweise lautet diese Gleichung
:<math>\vec{\tilde{\psi}}=c^{-1}\hat{Z}^\dagger\vec{\psi}</math>
mit
:<math>\vec{\tilde{\psi}}:=(\tilde{\psi}(k_0),\dotsm ,\tilde{\psi}(k_{N-1}))^T</math>
:<math>\vec{\psi} := (\psi(x_0),\dotsm ,\psi(x_{N-1}))^T</math>
:<math>Z_{ij}:=N^{-\frac{1}{2}}e^{+ik_ix_j}</math>
:<math>c:=\tfrac{\sqrt{2\pi N}}{L}.</math>

Entsprechend erhält man für die Rücktransformation in den Ortsraum
:<math>\psi(x_j)=\frac{\Delta k}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k_i}e^{+ik_ix_j}\tilde{\psi}(k_i)</math> 
beziehungsweise 
:<math>\vec{\psi}=c\hat{Z}\vec{\tilde{\psi}}</math>
mit den Gitterschrittweiten <math>\Delta x=\tfrac{L}{N}</math> bzw. <math>\Delta k=\tfrac{2\pi}{L}</math>. Hierbei ist <math>L</math> die Länge des Gitters im Ortsraum und <math>N</math> die Zahl der Punkte im Orts- und Impulsraum. Die Konstante <math>c</math> wird nur benötigt, wenn die richtige [[Normierung]] der Funktion <math>\tilde{\psi}</math> gewünscht wird. Die Fourier-Transformation erhält die Norm der Vektoren <math>\vec{\tilde{\psi}}</math> und <math>\vec{\psi}</math>.

== Split-Operator-Methode ==

Die Berechnung der <math>e</math>-Funktion eines Operators wird in der Diagonaldarstellung des Operators besonders einfach. Die Split-Operator-Methode verwendet eine Zerlegung des Hamiltonoperators in die Operatoren für kinetische [[Energie]] <math>\hat{T}</math> und für potentielle Energie <math>\hat{V}</math>, welche im Impuls- bzw. Ortsraum Diagonalform annehmen.

Der durch die Nicht-Vertauschbarkeit von <math>\hat{T}</math> und <math>\hat{V}</math> entstehende Fehler kann durch die symmetrische Aufspaltung 
:<math>e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t}\approx e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{V}\Delta t}\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}</math>

auf Terme der Größenordnung <math>{\Delta t}^3</math> reduziert werden: Mit <math> \hat{X}:= -\tfrac{i}{\hbar}\hat{T}\Delta t</math> und <math>\hat{Y}:= -\tfrac{i}{\hbar}\hat{V}\Delta t</math> erhält man für die rechte Seite

:<math>\exp\left(\frac{\hat{X}}{2}\right)\exp\left(\hat{Y}\right)\exp\left(\frac{\hat{X}}{2}\right)=\exp\left(\frac{\hat{X}}{2}+\hat{Y}+\frac{\hat{X}}{2}+\underbrace{\frac{1}{2}\left[\frac{\hat{X}}{2},\hat{Y}\right]+\frac{1}{2}\left[\hat{Y},\frac{\hat{X}}{2}\right]}_{0}+\frac{1}{12}\left[\left[\frac{\hat{X}}{2},\hat{Y}\right],\hat{X}+2\hat{Y}\right]+\dotsm\right).</math>

Der führende Fehlerterm ist somit [[proportional]] zu <math>{\Delta t}^3\left[\left[\hat{T},\hat{V}\right],\hat{T}+2\hat{V}\right]</math>.

== Diagonalform ==
Eine [[Koordinatentransformation]] <math>\hat{Z}^\dagger</math> vom Orts- in den Impulsraum ermöglicht eine einfache Berechnung von
:<math> e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\psi=\hat{Z}e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\hat{Z}^\dagger\psi .</math>

Mit der diagonalen Darstellung des Operators der kinetischen Energie

:<math>\hat{T}=\hat{Z}^\dagger\hat{T}\hat{Z}=\begin{pmatrix}
\frac{\hbar^2}{2m}{k_0}^2 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \ddots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \frac{\hbar^2}{2m}k^2_{N-1}\\
\end{pmatrix}</math>

erhält man

:<math>e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}=\begin{pmatrix}
\ddots & 0 & \cdots & 0\\
0 & e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\Delta t}{2}\frac{\hbar^2}{2m}k^2_i} & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \ddots\\
\end{pmatrix} .</math>

Die Koordinatentransformation erfolgt auf dem <math>N</math>-Punkt-Gitter <math>x_0, \dotsm, x_{N-1}</math> mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation:
:<math>\tilde{\psi}(k_{i})=N^{-\frac{1}{2}}\sum_{j=0}^{N-1}\psi(x_j)e^{-ik_ix_j}</math> &nbsp; &nbsp; für &nbsp; <math>i=0, \dotsm, N-1</math>
oder <math>\vec{\tilde{\psi}}=\hat{Z}^\dagger\vec{\psi}</math>.

== Numerischer Algorithmus ==
{{Siehe auch|Algorithmus}}
Durch Zusammenfassen der aufeinanderfolgenden Terme <math>\hat{Z}e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\hat{Z}^\dagger</math> zweier Zeitschritte lässt sich die Zahl der Fourier-Transformationen, d.h. der numerische Aufwand, reduzieren: <math>\hat{Z}^\dagger\hat{Z}=1</math>, und die beiden <math>e</math>-Funktionen mit <math>\frac{\hat{T}}{2}</math> ergeben <math>e^{-\frac{i}{\hbar} \hat{T} \Delta t }</math>.

Die Wellenfunktion nach <math>n</math> Zeitschritten erhält man also durch:

*Fourier-Transformation von <math>\psi_0</math>
*Multiplikation mit den Diagonalelementen <math>e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\Delta t}{2}\frac{\hbar^2}{2m}k^2_i}</math> (halber Zeitschritt)
*Rücktransformation
*Multiplikation mit den Diagonalelementen <math>e^{-\frac{i}{\hbar}V_i\Delta t}</math>
*Fourier-Transformation
*Multiplikation mit den Diagonalelementen <math>e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta t\frac{\hbar^2}{2m}k^2_i}</math> (ganzer Zeitschritt)
*usw., bis beim letzten Schritt noch einmal eine Multiplikation mit halben Zeitschritt wie in der zweiten Zeile notwendig wird.

== Literatur ==

*I.N. Bronstein, K.A. Semendjajew, G. Musiol, and H. Muehlig. Taschenbuch der Mathematik. Deutsch Harri GmbH, 2008.
*T. Fließbach. Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. Spektrum Akademischer Verlag, 2008.
*Herbert Sager: ''Fourier-Transformation''. 1. Auflage 2012, Zürich, vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich, ISBN 978-3-7281-3393-9
*Michael Hinterender: Propagation von Wellenpaketen; Numerische Integration der zeitabhängigen Schrödingergleichung (1992)
*A. Askar, A.S. Cakmak AS: J.Chem.Phys.(1978) "Explicit integration method for the time-dependent Schrödinger equation"
*J.B. Delos: Reviews of Modern Physics (1981) "Theory of electronic transitions in slow atomic collisions"

== Weblinks ==
* {{Literatur | Autor= Juha Javanainen und Janne Ruostekoski | Titel=Symbolic calculation in development of algorithms: split-step methods for the Gross–Pitaevskii equation  | Sammelwerk=JOURNAL OF PHYSICS A | Band=39 | Jahr=2006 | Seiten= L179–L184| Sprache=en | DOI=10.1088/0305-4470/39/12/L0 | Zugriff=2012-12-03}}
* {{Literatur | Autor=Michael Hintenender | Herausgeber= | Titel=Propagation von Wellenpaketen | Sammelwerk=MPQ-Berichte | Band=MPQ163 | Ort=Garching | Jahr=1992  | Sprache=de | Online=http://www.mpq.mpg.de/cms/mpq/institute/service/library/reports/docs/mpq163.html | DOI= | arxiv= | Zugriff= | Typ= }} 

 


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