Split-Operator-Methode

Die Split-Operator-Methode (SOP) ist ein numerisches Verfahren mit dem die zeitabhängige Schrödingergleichung gelöst werden kann. Bei der Methode wird der Hamiltonoperator $\hat{H}$ in einen kinetischen Teil $\hat{T}$ (Impulsteil) und in einen Potentialteil $\hat{V}$ gespalten und einzeln angewendet. Dabei wird von der schnellen Fourier-Transformation (FFT) Gebrauch gemacht, um zwischen Impulsraum und Ortsraum zu unterscheiden.

Die Schrödingergleichung

Die Wellenfunktion $\psi (x)$ auf einem äquidistanten Gitter dargestellt (Ortsraum)

Die Wellenfunktion $\psi (k)$ auf einem äquidistanten Gitter dargestellt (Impulsraum)

Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist definiert als

$i\hslash \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}=\hat{H}(t)\psi (x,t),$

wobei $\hat{H}(t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(t)$ der Hamiltonoperator ist.

Die Wellenfunktion $\psi (x,t)$ wird im Ortsraum auf einem äquidistanten Gitter dargestellt. Als Startwerte werden die Werte von $\psi (x,t_0)$ zur Zeit $t_0$ an den Gitterpunkten vorgegeben. Durch das Verfahren wird die Wellenfunktion zu einem späteren Zeitpunkt $t=t_0+\mathrm{\Delta }t$ berechnet.

Die Wirkung des Hamiltonoperators $\hat{H}(t)=\frac{{\hat{\mathbf{p}}}^2}{2m}+\hat{V}(t)$ auf eine Wellenfunktion $\hat{H}\psi =\hat{T}\psi +\hat{V}\psi$ wird mit der schnellen Fourier-Transformation berechnet. Dazu wird neben dem Gitter im Ortsraum auch ein Gitter im Impulsraum benötigt. Die Auflösung im Impulsraum $\mathrm{\Delta }k=\frac{2\pi }{L}$ ist durch die Länge $L$ des Gitters im Ortsraum festgelegt. Es gilt $\mathrm{\Delta }k\mathrm{\Delta }x=\frac{2\pi }{N}$, wobei $N$ die Anzahl der Gitterpunkte ist.

Anwendung der diskreten Fourier-Transformation

Der Potentialoperator $\hat{V}$ besitzt im Ortsraum eine diagonale Matrixdarstellung und wirkt daher lokal auf jeden Gitterpunkt $x_i$:

$(\hat{V}(t)\psi )(x_i)=V(x_i,t)\cdot \psi (x_i).$

Genauso wird der kinetische Operator $\hat{T}$ mit seiner diagonalen Darstellung im Impulsraum berechnet. Für jeden Gitterpunkt $k_i$ gilt:

$\left(\hat{T}\tilde{\psi }\right)(k_i))=\frac{{\hslash }^2}{2m}{k_i}^2\tilde{\psi }(k_i).$

Dabei ist die diskrete Darstellung der Wellenfunktion $\tilde{\psi }(k_i)$ im Impulsraum durch die diskrete Fourier-Transformation ${\hat{Z}}^{†}$ gegeben:

$\tilde{\psi }(k_i)=⟨k_i|\psi ⟩=\sum _{x_j}⟨k_i|x_j⟩⟨x_j|\psi ⟩=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\sqrt{2\pi }}\sum _{x_j}{e}^{-i{k}_i{x}_j}\psi (x_j)$

In Vektorschreibweise lautet diese Gleichung

$\overrightarrow{\tilde{\psi }}=c^{-1}{\hat{Z}}^{†}\overrightarrow{\psi }$

mit

$\overrightarrow{\tilde{\psi }}:=(\tilde{\psi }(k_0),\cdots ,\tilde{\psi }(k_{N-1}){)}^T$

$\overrightarrow{\psi }:=(\psi (x_0),\cdots ,\psi (x_{N-1}){)}^T$

$Z_{ij}:=N^{-\frac{1}{2}}{e}^{+i{k}_i{x}_j}$

$c:=\frac{\sqrt{2\pi N}}{L}.$

Entsprechend erhält man für die Rücktransformation in den Ortsraum

$\psi (x_j)=\frac{\mathrm{\Delta }k}{\sqrt{2\pi }}\sum _{k_i}{e}^{+i{k}_i{x}_j}\tilde{\psi }(k_i)$

beziehungsweise

$\overrightarrow{\psi }=c\hat{Z}\overrightarrow{\tilde{\psi }}$

mit den Gitterschrittweiten $\mathrm{\Delta }x=\frac{L}{N}$ bzw. $\mathrm{\Delta }k=\frac{2\pi }{L}$. Hierbei ist $L$ die Länge des Gitters im Ortsraum und $N$ die Zahl der Punkte im Orts- und Impulsraum. Die Konstante $c$ wird nur benötigt, wenn die richtige Normierung der Funktion $\tilde{\psi }$ gewünscht wird. Die Fourier-Transformation erhält die Norm der Vektoren $\overrightarrow{\tilde{\psi }}$ und $\overrightarrow{\psi }$.

Split-Operator-Methode

Die Berechnung der $e$-Funktion eines Operators wird in der Diagonaldarstellung des Operators besonders einfach. Die Split-Operator-Methode verwendet eine Zerlegung des Hamiltonoperators in die Operatoren für kinetische Energie $\hat{T}$ und für potentielle Energie $\hat{V}$, welche im Impuls- bzw. Ortsraum Diagonalform annehmen.

Der durch die Nicht-Vertauschbarkeit von $\hat{T}$ und $\hat{V}$ entstehende Fehler kann durch die symmetrische Aufspaltung

$e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\mathrm{\Delta }t}\approx e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{\hat{T}}{2}\mathrm{\Delta }t}\cdot e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{V}\mathrm{\Delta }t}\cdot e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{\hat{T}}{2}\mathrm{\Delta }t}$

auf Terme der Größenordnung ${\mathrm{\Delta }t}^3$ reduziert werden: Mit $\hat{X}:=-\frac{i}{\hslash }\hat{T}\mathrm{\Delta }t$ und $\hat{Y}:=-\frac{i}{\hslash }\hat{V}\mathrm{\Delta }t$ erhält man für die rechte Seite

$\exp \left(\frac{\hat{X}}{2}\right)\exp \left(\hat{Y}\right)\exp \left(\frac{\hat{X}}{2}\right)=\exp (\frac{\hat{X}}{2}+\hat{Y}+\frac{\hat{X}}{2}+\underset{0}{\underbrace{\frac{1}{2}[\frac{\hat{X}}{2},\hat{Y}]+\frac{1}{2}[\hat{Y},\frac{\hat{X}}{2}]}}+\frac{1}{12}[[\frac{\hat{X}}{2},\hat{Y}],\hat{X}+2\hat{Y}]+\cdots ).$

Der führende Fehlerterm ist somit proportional zu ${\mathrm{\Delta }t}^3[[\hat{T},\hat{V}],\hat{T}+2\hat{V}]$.

Diagonalform

Eine Koordinatentransformation ${\hat{Z}}^{†}$ vom Orts- in den Impulsraum ermöglicht eine einfache Berechnung von

$e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{\hat{T}}{2}\mathrm{\Delta }t}\psi =\hat{Z}{e}^{-\frac{i}{\hslash }\frac{\hat{T}}{2}\mathrm{\Delta }t}{\hat{Z}}^{†}\psi .$

Mit der diagonalen Darstellung des Operators der kinetischen Energie

$\hat{T}={\hat{Z}}^{†}\hat{T}\hat{Z}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{{\hslash }^2}{2m}{k_0}^2& 0& \cdots & 0\\ 0& \ddots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \frac{{\hslash }^2}{2m}{k}_{N-1}^2\end{array}\right)$

erhält man

$e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{\hat{T}}{2}\mathrm{\Delta }t}=\left(\begin{array}{cccc}\ddots & 0& \cdots & 0\\ 0& e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}\frac{{\hslash }^2}{2m}{k}_i^2}& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \ddots \end{array}\right).$

Die Koordinatentransformation erfolgt auf dem $N$-Punkt-Gitter $x_0,\cdots ,x_{N-1}$ mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation:

$\tilde{\psi }(k_i)=N^{-\frac{1}{2}}\sum _{j=0}^{N-1}\psi (x_j)e^{-i{k}_i{x}_j}$     für   $i=0,\cdots ,N-1$

oder $\overrightarrow{\tilde{\psi }}={\hat{Z}}^{†}\overrightarrow{\psi }$.

Numerischer Algorithmus

Durch Zusammenfassen der aufeinanderfolgenden Terme $\hat{Z}{e}^{-\frac{i}{\hslash }\frac{\hat{T}}{2}\mathrm{\Delta }t}{\hat{Z}}^{†}$ zweier Zeitschritte lässt sich die Zahl der Fourier-Transformationen, d. h. der numerische Aufwand, reduzieren: ${\hat{Z}}^{†}\hat{Z}=1$, und die beiden $e$-Funktionen mit $\frac{\hat{T}}{2}$ ergeben $e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{T}\mathrm{\Delta }t}$.

Die Wellenfunktion nach $n$ Zeitschritten erhält man also durch:

• Fourier-Transformation von ${\psi }_0$
• Multiplikation mit den Diagonalelementen $e^{-\frac{i}{\hslash }\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}\frac{{\hslash }^2}{2m}{k}_i^2}$ (halber Zeitschritt)
• Rücktransformation
• Multiplikation mit den Diagonalelementen $e^{-\frac{i}{\hslash }{V}_i\mathrm{\Delta }t}$
• Fourier-Transformation
• Multiplikation mit den Diagonalelementen $e^{-\frac{i}{\hslash }\mathrm{\Delta }t\frac{{\hslash }^2}{2m}{k}_i^2}$ (ganzer Zeitschritt)
• usw., bis beim letzten Schritt noch einmal eine Multiplikation mit halben Zeitschritt wie in der zweiten Zeile notwendig wird.

Literatur

• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Muehlig: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch Harri GmbH, 2008.
• T. Fließbach: Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 2008, ISBN 978-3-8274-2020-6.
• Herbert Sager: Fourier-Transformation. vdf Hochschulverlag, Zürich 2012, ISBN 978-3-7281-3393-9.
• A. Askar, A. S. Cakmak: Explicit integration method for the time‐dependent Schrodinger equation for collision problems. In: Journal of Chemical Physics. Band 68, Nr. 6, 1978, S. 2794–2798, doi:10.1063/1.436072. 
• J. B. Delos: Theory of Electronic Transitions in Slow Atomic Collisions. In: Physical Review. Band 176, Nr. 1, 1968, S. 141–150, doi:10.1103/PhysRev.176.141. 
• Juha Javanainen, Janne Ruostekoski: Symbolic calculation in development of algorithms: split-step methods for the Gross–Pitaevskii equation. In: Journal of Physics A. Band 39, 2006, S. L179–L184, doi:10.1088/0305-4470/39/12/L0. 
• Michael Hintenender: Propagation von Wellenpaketen. In: MPQ-Berichte. MPQ163. Garching 1992 (online).