Quelltext der Seite Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel

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Die '''Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel'''<ref>{{cite book |author=Jeremiah A. Cronin, David F. Greenberg, Valentine L. Telegdi |title=University of Chicago Graduate Problems in Physics with Solutions |publisher=University Of Chicago Press |year=1979 |isbn=978-0226121093}}</ref> (nach [[Willy Thomas]], [[Fritz Reiche]] und [[Werner Kuhn (Physikochemiker)|Werner Kuhn]]) ist ein mathematisches Hilfsmittel in der [[Quantenmechanik]].

Sie besagt, dass für die Strahlungs[[Energieniveau #Übergänge zwischen Energieniveaus|übergänge]] eines [[Teilchen]]s der Masse <math>m_0</math> zwischen einem bestimmten [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]] <math>|m\rangle</math> und allen anderen Zuständen <math>|n\rangle</math> gilt:

<blockquote><math>\sum_n (E_n - E_m) \left| \left\langle n | \hat x | m \right\rangle \right|^2 = \frac{\hbar^2}{2m_0}</math><br />
<math>\hbar</math> … das [[Plancksches Wirkungsquantum #Werte|reduzierte plancksche Wirkungsquantum]]<br />
<math>E_n</math> … die Energie des Zustands <math>|n\rangle</math><br />
<math>\left\langle n | \hat x | m \right\rangle = x_{nm}</math> … das [[Matrixelement (Physik)|Matrixelement]] des [[Ortsoperator]]s, das direkt mit dem [[Elektrisches Dipolmoment|elektrischen Dipolmoment]] des Überganges verknüpft ist</blockquote>

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel gilt nur für ausschließlich ortsabhängige [[Potential (Physik)|Potentiale]] und kann somit in den meisten Fällen angewandt werden.

== Beweis ==
:<math>\sum_n (E_n-E_m)\left|\left\langle n | \hat x | m \right\rangle\right|^2 = \sum_n (E_n-E_m) \left\langle m\right |\hat x\left | n\right\rangle\left\langle n \right| \hat{x}\left | m\right\rangle</math>

:<math>=\frac{1}{2}\sum_n\left(\left\langle m\right | \hat{x}\hat{H}-\hat{H}\hat{x}\left |n\right\rangle\left\langle n \right | \hat{x}\left | m\right\rangle + \left\langle m \right | \hat{x}\left | n\right\rangle\left\langle n\right | \hat{H}\hat{x}-\hat{x}\hat{H}\left |m\right\rangle \right)</math>

:<math>=\frac{1}{2}\sum_n \left(\left\langle m\right | \hat{x}\left |n \right\rangle\left\langle n\right | [\hat{H},\hat{x}]\left|m\right\rangle-\left\langle m \right | [\hat{H},\hat{x}]\left | n \right\rangle\left\langle n\right|\hat{x}\left| m \right\rangle \right )=\frac{1}{2}\left( \left\langle m\right | \hat{x}[\hat{H},\hat{x}]\left | m \right\rangle -\left\langle m\right | [\hat{H},\hat{x}]\hat{x}\left |m\right\rangle \right) </math>

:<math>=\frac{1}{2} \left( \left\langle m \right | [\hat{x},[\hat{H},\hat{x}]] \left | m \right\rangle \right) = -\frac{i\hbar}{2m_0}\left\langle m\right| [\hat{x},\hat{p}]\left| m \right\rangle = \frac{\hbar^2}{2m_0}</math>

Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet:

:<math>[\hat{H},\hat{x}]=-\frac{i\hbar}{m_0}\hat{p}</math>

:<math>[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar</math>

== Literatur ==
<references />

[[Kategorie:Quantenphysik]]

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