Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel^[1] (nach Willy Thomas, Fritz Reiche und Werner Kuhn) ist ein mathematisches Hilfsmittel in der Quantenmechanik.

Sie besagt, dass für die Strahlungsübergänge eines Teilchens der Masse $m_{0}$ zwischen einem bestimmten Zustand $| m ⟩$ und allen anderen Zuständen $| n ⟩$ gilt:

$\sum_{n} (E_{n} - E_{m}) {| ⟨ n | \hat{x} | m ⟩ |}^{2} = \frac{ℏ^{2}}{2 m_{0}}$

$ℏ$ … das reduzierte plancksche Wirkungsquantum
$E_{n}$ … die Energie des Zustands $| n ⟩$

$⟨ n | \hat{x} | m ⟩ = x_{n m}$ … das Matrixelement des Ortsoperators, das direkt mit dem elektrischen Dipolmoment des Überganges verknüpft ist

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel gilt nur für ausschließlich ortsabhängige Potentiale und kann somit in den meisten Fällen angewandt werden.

Beweis

\begin{aligned} \sum_{n} (E_{n} - E_{m}) {| ⟨ n | \hat{x} | m ⟩ |}^{2} & = \sum_{n} (E_{n} - E_{m}) ⟨ m | \hat{x} | n ⟩ ⟨ n | \hat{x} | m ⟩ \\ = \frac{1}{2} \sum_{n} (⟨ m | \hat{x} \hat{H} - \hat{H} \hat{x} | n ⟩ ⟨ n | \hat{x} | m ⟩ + ⟨ m | \hat{x} | n ⟩ ⟨ n | \hat{H} \hat{x} - \hat{x} \hat{H} | m ⟩) \\ = \frac{1}{2} \sum_{n} (⟨ m | \hat{x} | n ⟩ ⟨ n | [\hat{H}, \hat{x}] | m ⟩ - ⟨ m | [\hat{H}, \hat{x}] | n ⟩ ⟨ n | \hat{x} | m ⟩) \\ = \frac{1}{2} (⟨ m | \hat{x} [\hat{H}, \hat{x}] | m ⟩ - ⟨ m | [\hat{H}, \hat{x}] \hat{x} | m ⟩) \\ = \frac{1}{2} (⟨ m | [\hat{x}, [\hat{H}, \hat{x}]] | m ⟩) \\ = - \frac{i ℏ}{2 m_{0}} ⟨ m | [\hat{x}, \hat{p}] | m ⟩ \\ = \frac{ℏ^{2}}{2 m_{0}} \end{aligned}

Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet:

[\hat{H}, \hat{x}] = - \frac{i ℏ}{m_{0}} \hat{p}

[\hat{x}, \hat{p}] = i ℏ

Literatur

↑ Jeremiah A. Cronin, David F. Greenberg, Valentine L. Telegdi: University of Chicago Graduate Problems in Physics with Solutions. University Of Chicago Press, 1979, ISBN 978-0226121093.

[1] Jeremiah A. Cronin, David F. Greenberg, Valentine L. Telegdi: University of Chicago Graduate Problems in Physics with Solutions. University Of Chicago Press, 1979, ISBN 978-0226121093.

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