Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel^[1] (nach Willy Thomas, Fritz Reiche und Werner Kuhn) ist ein mathematisches Hilfsmittel in der Quantenmechanik.

Sie besagt, dass für die Strahlungsübergänge eines Teilchens der Masse $ m_{0} $ zwischen einem bestimmten Zustand $ |m\rangle $ und allen anderen Zuständen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |n\rangle gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sum_n (E_n - E_m) \left| \left\langle n | \hat x | m \right\rangle \right|^2 = \frac{\hbar^2}{2m_0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hbar … das reduzierte plancksche Wirkungsquantum
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_n … die Energie des Zustands Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |n\rangle

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\langle n | \hat x | m \right\rangle = x_{nm} … das Matrixelement des Ortsoperators, das direkt mit dem elektrischen Dipolmoment des Überganges verknüpft ist

Die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel gilt nur für ausschließlich ortsabhängige Potentiale und kann somit in den meisten Fällen angewandt werden.

Beweis

$ {\begin{aligned}\sum _{n}(E_{n}-E_{m})\left|\left\langle n|{\hat {x}}|m\right\rangle \right|^{2}&=\sum _{n}(E_{n}-E_{m})\left\langle m\right|{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {x}}\left|m\right\rangle \\&={\frac {1}{2}}\sum _{n}\left(\left\langle m\right|{\hat {x}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {x}}\left|m\right\rangle +\left\langle m\right|{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {H}}{\hat {x}}-{\hat {x}}{\hat {H}}\left|m\right\rangle \right)\\&={\frac {1}{2}}\sum _{n}\left(\left\langle m\right|{\hat {x}}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|[{\hat {H}},{\hat {x}}]\left|m\right\rangle -\left\langle m\right|[{\hat {H}},{\hat {x}}]\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{\hat {x}}\left|m\right\rangle \right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\left\langle m\right|{\hat {x}}[{\hat {H}},{\hat {x}}]\left|m\right\rangle -\left\langle m\right|[{\hat {H}},{\hat {x}}]{\hat {x}}\left|m\right\rangle \right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\left\langle m\right|[{\hat {x}},[{\hat {H}},{\hat {x}}]]\left|m\right\rangle \right)\\&=-{\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left\langle m\right|[{\hat {x}},{\hat {p}}]\left|m\right\rangle \\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\end{aligned}} $

Dabei wurden folgende Beziehungen verwendet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\hat{H},\hat{x}]=-\frac{i\hbar}{m_0}\hat{p}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\hat{x},\hat{p}]=i\hbar

Literatur