Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $ \Psi $ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $ |\Psi \rangle $ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $ {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}) $, so dass

$ E({\hat {x}}_{j})={\langle {\hat {x}}_{j}\,\Psi ,\Psi \rangle }_{\mathrm {H} }\ ,\quad j=1,2,3 $

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $ \Psi $ ist.

Definition und Eigenschaften

• Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren $ {\hat {x}}_{j} $, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren $ {\hat {p}}_{k} $ die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen:

$ [{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=\mathrm {i} \,\hbar \,\delta _{jk}\ ,\quad [{\hat {x}}_{j},{\hat {x}}_{k}]=0=[{\hat {p}}_{j},{\hat {p}}_{k}]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\} $

• Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum $ \mathbb {R} ^{3} $ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum $ H=L^{2}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {C} ) $ ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums $ \mathbb {R} ^{3} $, jeder Zustand $ \Psi $ ist durch eine Ortswellenfunktion $ \psi (\mathbf {x} ) $ gegeben.

Die Ortsoperatoren $ {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}) $ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator $ {\hat {x}}_{j} $ wirkt auf Ortswellenfunktionen $ \psi (\mathbf {x} ) $ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $ x_{j} $

$ ({\hat {x}}_{j}\,\psi )(\mathbf {x} )=x_{j}\cdot \psi (\mathbf {x} ) $

Dieser Operator $ {\hat {x}}_{j} $ ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum $ D=\{\psi \in H\,|\,x\cdot \psi \in H\} $ definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

$ E({\hat {x}}_{j})={\langle {\hat {x}}_{j}\,\Psi ,\Psi \rangle }_{L^{2}}=\int _{\mathbb {R} ^{3}}x_{j}\,\psi (\mathbf {x} )\,{\overline {\psi (\mathbf {x} )}}\,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{3}}x_{j}\,|\psi (\mathbf {x} )|^{2}\mathrm {d} x $

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

$ {\bigl (}{\hat {p}}_{k}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )=-\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\psi (\mathbf {x} ) $

Eigenfunktionen

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung

$ ({\hat {x}}\,\psi _{\mathbf {x_{0}} })(\mathbf {x} )=\mathbf {x_{0}} \cdot \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} ) $

erfüllen, wobei $ \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} ) $ die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert $ \mathbf {x_{0}} $ darstellt.

Die Eigenfunktionen $ \psi (\mathbf {x_{0}} ) $ zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen: $ {\hat {\mathbf {x} }}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )=\mathbf {x_{0}} \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} ) $

mit der Identität: $ f(x)\delta (x-x_{0})=f(x_{0})\delta (x-x_{0}) $

Impulsdarstellung

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen $ {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} ) $

$ ({\hat {p}}_{k}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=p_{k}\cdot {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} ) $

und der Ortsoperator als Differentialoperator:

$ ({\hat {x}}_{j}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} ) $

Literatur

• Jochen Pade: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-25226-6, doi:10.1007/978-3-642-25227-3.