Wellenfunktion

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Die Wellenfunktion $\psi ({\vec {x}},t)$ beziehungsweise ${\tilde {\psi }}({\vec {p}},t)$ beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im Orts- oder im Impulsraum. Grundlage der Beschreibung ist hierbei die Wellenmechanik von Erwin Schrödinger. Ihr Betragsquadrat bestimmt die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort beziehungsweise den Impuls des Teilchens. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen einer Entität oder eines ganzen Systems.

Eine Wellenfunktion ist die Funktion, die die quantenmechanische Bewegungsgleichung, also die Schrödinger-, Klein-Gordon- oder Dirac-Gleichung, im Ortsraum oder im Impulsraum löst. Lösungen dieser Wellengleichungen können sowohl gebundene Teilchen (wie Elektronen in den Schalen eines Atoms) oder freie Teilchen (z. B. ein α- oder β-Teilchen als Wellenpaket) beschreiben. Die Wellenfunktion ist in der Regel eine komplexe Funktion.

Wird ein System mit inneren Freiheitsgraden, zum Beispiel dem Spin, durch eine Wellenfunktion beschrieben, ist die Wellenfunktion vektorwertig. Die nichtrelativistische Wellenfunktion zur Beschreibung eines Elektrons hat daher zwei Komponenten; eine für die Konfiguration „Spin up“ und eine für „Spin down“.

Bei Teilchensystemen (z. B. mit mehreren ununterscheidbaren Teilchen) bezeichnet man eine solche Lösung als Vielteilchen-Wellenfunktion. Wegen der Wechselwirkung der Teilchen untereinander lassen sich diese Lösungen jedoch meist nicht mehr ohne die modernere Methodik der Quantenfeldtheorie berechnen.

Quantenteilchen als Welle

Da die Bewegungsgleichungen im komplexen Raum definiert sind, benötigen sie zur allgemeinen Lösung eine Funktion, deren Funktionswerte ebenfalls im komplexen Raum liegen. Daher ist die Wellenfunktion nicht reell, sondern komplexwertig. Dies spiegelt sich u. a. darin wider, dass $\psi ({\vec {r}},t)$ nicht unbedingt eine reale physikalische Bedeutung zukommt. Sie ist in der Regel nicht messbar, sondern dient nur der mathematischen Beschreibung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems. Aus ihr lässt sich jedoch das zu erwartende Ergebnis einer Messung durch komplexe Konjugation berechnen.

Zum Vergleich: Auch die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}({\vec {r}},t)$ einer Radiowelle ist die Lösung einer (klassischen) elektrodynamischen Wellengleichung. Die elektrische Feldstärke ist jedoch z. B. durch eine Antenne und einen Radioempfänger messbar.

Teilchen mit inneren Eigenschaften (wie zum Beispiel dem Spin eines gebundenen Elektrons oder dem Drehimpuls eines Photons) werden durch Wellenfunktionen mit mehreren Komponenten beschrieben. Je nach dem Transformationsverhalten der Wellenfunktionen bei Lorentztransformationen unterscheidet man in der relativistischen Quantenfeldtheorie skalare, tensorielle und spinorielle Wellenfunktionen bzw. Felder.

Definition

Entwicklungskoeffizienten des Zustandsvektors

Formal betrachtet sind die Wellenfunktionen die Entwicklungskoeffizienten des quantenmechanischen Zustandsvektors im Orts- beziehungsweise Impulsraum. Es ist in Dirac-Notation

{\begin{aligned}\psi ({\vec {x}},t)&=\langle x|\psi (t)\rangle \\{\tilde {\psi }}({\vec {p}},t)&=\langle p|\psi (t)\rangle \end{aligned}}

mit

dem Zustandsvektor $|\psi \rangle$
den Ortseigenkozuständen $\langle x|$
den Impulseigenkozuständen $\langle p|$

sodass gilt:

|\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,|x\rangle \langle x|\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,|x\rangle \psi ({\vec {x}})

|\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,|p\rangle {\tilde {\psi }}({\vec {p}})

Die Orts- und Impulseigenzustände sind die Eigenzustände des Ortsoperators ${\hat {x}}$ beziehungsweise Impulsoperators ${\hat {p}}$ , für die ${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$ und ${\hat {p}}|p\rangle =p|p\rangle$ gilt. Aus der Definition wird offensichtlich, dass die Wellenfunktion im Orts- sowie im Impulsraum einer Normierungsbedingung folgen, da der Zustandsvektor bereits normiert ist:

1=\langle \psi |\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\psi ^{\dagger }({\vec {x}})\psi ({\vec {x}})=\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {p}}\,{\tilde {\psi }}^{\dagger }({\vec {p}}){\tilde {\psi }}({\vec {p}})

Lösung der Bewegungsgleichung

Von praktischerer Bedeutung sind die Wellenfunktionen als Lösung der Bewegungsgleichungen im Orts- oder Impulsraum. Dabei macht man sich zunutze, dass der Ortsoperator in der Ortsbasis ein Multiplikationsoperator und der Impulsoperator in der Ortsbasis ein Differentialoperator ist. In der Impulsbasis sind die Rollen vertauscht, dort ist der Ortsoperator ein Differentialoperator und der Impulsoperator ein Multiplikationsoperator.

Alle Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik sind Wellengleichungen. Die Schrödinger-Gleichung lautet in der basisunabhängigen Dirac-Notation

\mathrm {i} \hbar \partial _{t}|\psi \rangle ={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}|\psi \rangle +V({\hat {x}})|\psi \rangle

und im Ortsraum

\mathrm {i} \hbar \partial _{t}\psi ({\vec {x}},t)={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi ({\vec {x}},t)+V({\vec {x}})\psi ({\vec {x}},t)

mit

dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum $\hbar$ ,
dem Laplace-Operator $\Delta$ ,
der Masse des Teilchens $$ m $$ und
einem ortsabhängigen Potential $$ V(x) $$ ;

alle (im Rahmen dieses Artikels behandelten) Eigenschaften der Wellenfunktion, die die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung löst, lassen sich auf den relativistischen Fall der Klein-Gordon- oder der Dirac-Gleichung verallgemeinern.

Obgleich die Schrödinger-Gleichung im Gegensatz zu ihren relativistischen Äquivalenten keine Wellengleichung im mathematisch strengen Sinn darstellt, ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung im Ortsraum bei verschwindendem Potential eine ebene Welle, dargestellt durch die Funktion

\psi ({\vec {x}},t)=\exp(\mathrm {i} (\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}))

.

Ihre Dispersionsrelation lautet:

\omega ({\vec {k}})={\frac {\hbar {\vec {k}}^{2}}{2m}}

mit

der Kreisfrequenz $\omega$ und
dem Wellenvektor ${\vec {k}}$

gegeben ist.

Da die Bewegungsgleichungen linear sind, ist jede Superposition von Lösungen wieder eine Lösung.

Wellenfunktion im Impulsraum

Die Wellenfunktion im Impulsraum ${\tilde {\psi }}({\vec {p}})$ ist mit der Wellenfunktion im Ortsraum $\psi ({\vec {x}})$ über eine Fourier-Transformation verknüpft. Es gilt

{\tilde {\psi }}({\vec {p}},t)=\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\psi ({\vec {x}},t)e^{-\mathrm {i} {\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}

nebst der Ersetzung ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$ . Aufgrund des Satzes von Plancherel ist die Fouriertransformation mit der Normierung verträglich, sodass die Wellenfunktion im Impulsraum ebenso normiert ist wie die Wellenfunktion im Ortsraum.

Beispiel: Freies Teilchen

Die Wellenfunktion $\psi ({\vec {x}},t)$ eines freien Teilchens kann als Fourierreihe über ebene Wellen dargestellt werden:

\psi ({\vec {x}},t)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}A({\vec {k}})e^{\mathrm {i} (\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}})}

mit

dem Ortsvektor ${\vec {x}}$
dem Wellenvektor ${\vec {k}}$ , der Richtung und Wellenlänge der Welle festlegt
den vom Wellenvektor abhängigen komplexwertigen Amplituden $A({\vec {k}})$
der Kreisfrequenz $\omega ({\vec {k}})$ , die die Schwingungsperiode der Welle beschreibt und mit dem Wellenvektor über eine Dispersionsrelation verknüpft ist.

Die Amplituden müssen so gewählt werden, dass die Normierung der Wellenfunktion gewährleistet ist. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist durch

{\begin{aligned}|\psi ({\vec {x}},t)|^{2}&=\psi ^{\dagger }({\vec {x}},t)\,\psi ({\vec {x}},t)\\&=\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}'}{(2\pi )^{3}}}A^{\dagger }({\vec {k}})A({\vec {k}}')e^{\mathrm {i} ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\cdot {\vec {x}}}e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega ')t}\end{aligned}}

gegeben. Eine Integration über das gesamte Volumen ergibt mit der Darstellung der Dirac-Distribution $\textstyle \int \mathrm {d} ^{3}x\,e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}=\delta ^{(3)}({\vec {k}})$ :

\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,|\psi ({\vec {x}},t)|^{2}=\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}A^{\dagger }({\vec {k}})A({\vec {k}})=1

.

Praktisch kann dies beispielsweise durch eine gaußförmige Einhüllende

A({\vec {k}})=\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {{\vec {k}}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]^{1/2}

realisiert werden. Durch die Wahl dieser Einhüllenden wird ein Teilchen mit minimaler Orts-Impuls-Unschärfe und einem Erwartungswert des Impulses bei ${\vec {p}}_{0}=0$ beschrieben. $\sigma$ ist dabei die Breite des Wellenpakets, die gewissermaßen angibt, wie sich die Unschärfe auf den Orts- und Impulserwartungswert verteilt.

Messungen in der Wellenmechanik

Eine Aussage im quantenmechanischen Messprozess lautet, bei einer Messung kollabiert die Wellenfunktion instantan auf einen Eigenwert des zur Messung zugehörigen Operators. Dieser Eigenwert ist das Ergebnis der Messung. Die Wahrscheinlichkeit, auf einen dieser Eigenwerte zu kollabieren, ist in der Matrizenmechanik durch

P=\|\langle \phi |\psi \rangle \|^{2}

gegeben, wobei $|\phi \rangle$ der zum Eigenwert $\phi$ gehörige Eigenzustand eines Operators $\Phi$ sei. In der Wellenmechanik entspricht dies der Formulierung

P=\left\|\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\langle \phi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \right\|^{2}=\left\|\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\phi ^{\dagger }(x)\psi (x)\right\|^{2}

.

Das Skalarprodukt des Hilbertraums entspricht also einer Integration über den gesamten Raumbereich im Ortsraum. Zwei Wellenfunktionen heißen orthogonal, wenn das Integral über den gesamten Ortsraum ihres Produkts verschwindet. Die Wahrscheinlichkeit, den Messwert $\phi$ zu erhalten, wenn das System durch die Wellenfunktion $\psi (x)$ beschrieben wird und $\phi (x)$ und $\psi (x)$ orthogonal sind, ist dementsprechend Null.

Der Erwartungswert einer Messung im Zustand $|\psi \rangle$ wird in der Matrizenmechanik durch

\langle \Phi \rangle =\langle \psi |\Phi |\psi \rangle

beschrieben. Dies übersetzt sich in der Wellenmechanik zu:

\langle \Phi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}'\,\langle \psi |x\rangle \langle x|\Phi |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}'\,\psi ^{\dagger }({\vec {x}})\Phi (x,x')\psi ({\vec {x}}')

Dabei ist $\Phi (x,x')$ der Operator in Ortsdarstellung. Für lokale Operatoren gilt $\Phi ({\vec {x}},{\vec {x}}')=\Phi ({\vec {x}})\delta ^{(3)}({\vec {x}}-{\vec {x}}')$ und die doppelte Integration reduziert sich auf eine einfache:

\langle \Phi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}\,\psi ^{\dagger }({\vec {x}})\Phi ({\vec {x}})\psi ({\vec {x}})

Teilcheninterpretation

Die physikalische Interpretation einer Wellenfunktion ist kontextabhängig. Mehrere Beispiele werden unten angeführt, gefolgt von einer Interpretation der oben beschriebenen drei Fälle.

Ein Teilchen in einer Raumdimension

Die Wellenfunktion eines Teilchens im eindimensionalen Raum ist eine komplexe Funktion $\psi (x)\,$ über der Menge der reellen Zahlen. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion, $|\psi |^{2}\,$ , wird als Wahrscheinlichkeitsdichte der Teilchenposition interpretiert.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Intervall $$ [a,b] $$ zu finden, ist folglich

\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x\quad

.

Dies führt zu der Normierungsbedingung

\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x\,{\stackrel {!}{=}}\,1\quad

da eine Messung der Teilchenposition eine reelle Zahl ergeben muss. Das heißt: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an irgendeinem Ort zu finden, ist gleich 1.

Ein Teilchen in drei Raumdimensionen

Der dreidimensionale Fall ist analog zum Eindimensionalen; Die Wellenfunktion ist eine komplexe Funktion $\psi (x,y,z)\,$ definiert über dem dreidimensionalen Raum, und ihr Betragsquadrat wird als dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Volumen $$ R $$ zu finden, ist deshalb

\int _{R}|\psi (x,y,z)|^{2}\,\mathrm {d} V

.

Die Normierungsbedingung ist analog zum eindimensionalen Fall

\int |\psi (x,y,z)|^{2}\,\mathrm {d} V=1

wobei das Integral sich über den gesamten Raum erstreckt.

Zwei unterscheidbare Teilchen in drei Raumdimensionen

In diesem Fall ist die Wellenfunktion eine komplexe Funktion von sechs Raumvariablen,

\psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2})\,

,

und $|\psi |^{2}\,$ ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Positionen beider Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit einer Positionsmessung beider Teilchen in den beiden jeweiligen Regionen R und S ist dann

\int _{R}\int _{S}|\psi |^{2}\,\mathrm {d} V_{2}\,\mathrm {d} V_{1}

wobei $\mathrm {d} V_{1}=\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} y_{1}\mathrm {d} z_{1}$ und ebenso für $\mathrm {d} V_{2}$ . Die Normierungsbedingung ist deshalb

\int |\psi |^{2}\,\mathrm {d} V_{2}\,\mathrm {d} V_{1}=1

,

wobei das vorgestellte Integral über den gesamten Bereich aller sechs Variablen reicht.

Dabei ist von entscheidender Bedeutung, dass im Fall von Zwei-Teilchen-Systemen nur das System, das aus beiden Teilchen besteht, eine wohldefinierte Wellenfunktion haben muss. Daraus ergibt sich, dass es unmöglich sein kann, eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Teilchen EINS zu definieren, welche nicht ausdrücklich von der Position von Teilchen ZWEI abhängt. Die Moderne Physik nennt dieses Phänomen Quantenverschränkung bzw. Quanten-Nichtlokalität.

Ein Teilchen im eindimensionalen Impulsraum

Die Wellenfunktion eines eindimensionalen Teilchens im Impulsraum ist eine komplexe Funktion $\psi (p)\,$ definiert auf der Menge der reellen Zahlen. Die Größe $|\psi |^{2}\,$ wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Impulsraum interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung einen Wert im Intervall $$ [a,b] $$ ergibt, ist folglich

\int _{a}^{b}|\psi (p)|^{2}\,\mathrm {d} p\quad

.

Dies führt zur Normierungsbedingung

\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (p)|^{2}\,\mathrm {d} p=1

,

weil eine Messung des Teilchenimpulses immer eine reelle Zahl ergibt.

Spin-1/2-Teilchen (z. B. Elektron)

Die Wellenfunktion eines Teilchens mit Spin 1/2 (ohne Berücksichtigung seiner räumlichen Freiheitsgrade) ist ein Spalten-Vektor

{\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}

.

Die Bedeutung der Komponenten des Vektors hängt von der verwendeten Basis ab, typischerweise entsprechen $c_{1}$ und $c_{2}$ den Koeffizienten für eine Ausrichtung des Spins in $$ z $$ -Richtung (spin up) und entgegen der $$ z $$ -Richtung (spin down). In der Dirac-Notation ist dies:

|\psi \rangle =c_{1}|{\mathord {\uparrow }}_{z}\rangle +c_{2}|{\mathord {\downarrow }}_{z}\rangle

Die Werte $|c_{1}|^{2}\,$ und $|c_{2}|^{2}\,$ werden dann als die Wahrscheinlichkeiten interpretiert, dass der Spin bei einer Messung in $$ z $$ -Richtung oder entgegen der $$ z $$ -Richtung orientiert ist.