Die Klein-Gordon-Gleichung (auch Klein-Fock-Gordon-Gleichung oder Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung[1]) ist die relativistische Feldgleichung, welche die Kinematik freier skalarer Felder bzw. Teilchen (d. h. Spin 0) bestimmt. Es handelt sich dabei um eine homogene partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die relativistisch kovariant ist, d. h. forminvariant unter Lorentz-Transformation.
Nach Schrödingers Publikation im Jahre 1926 versuchten viele Physiker, darunter Oskar Klein und Walter Gordon, das relativistische Analogon zur Schrödingergleichung zu finden, um Wellenfunktionen zu charakterisieren, die in der Quantenmechanik den Zuständen eines freien Teilchens entsprechen. Unabhängig stießen auch Schrödinger selbst und Wladimir Fock auf die Klein-Gordon-Gleichung, weshalb sie manchmal zusätzlich nach ihnen benannt wird.
Zwar ergibt sich aus der Klein-Gordon-Gleichung die richtige Beziehung zwischen Energie und Impuls, nicht aber der Spin der untersuchten Teilchen. Deswegen stimmen bei geladenen Spin-1/2-Teilchen wie dem Elektron und dem Proton im Wasserstoffatom die aus der Klein-Gordon-Gleichung hergeleiteten Bindungsenergien nicht mit den beobachteten Energien überein; die richtige Bewegungsgleichung für diese Teilchen ist die Dirac-Gleichung. Stattdessen beschreibt die Klein-Gordon-Gleichung als skalare Differentialgleichung spinlose Teilchen korrekt, z. B. Pionen.
Bei der Herleitung geht man von der Energie-Impuls-Beziehung
zwischen der Energie
Damit ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung
In diesen Einheiten, mit dem D’Alembert-Operator
und mit der abkürzenden Bezeichnung
Da der Wellenoperator
Bezeichne
eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung, wenn die Kreisfrequenz
oder in den Planck-Einheiten
mit dem Wellenvektor
die Klein-Gordon-Gleichung, da diese reell ist.
Da die Klein-Gordon-Gleichung linear und homogen ist, sind Summen und komplexe Vielfache von Lösungen ebenso Lösungen. Daher löst
mit beliebigen fouriertransformierbaren Amplituden
In dieser Darstellung der Lösung ist allerdings nicht ersichtlich, dass sie im Punkt
In der Quantenfeldtheorie sind
Für ein reelles Feld
Eine Lagrangedichte für ein reelles Feld
und für ein komplexes Feld
Mit der hier gewählten Normierung der Lagrangedichten ergeben sich in der Quantenfeldtheorie für das komplexe Feld dieselben Propagatoren wie für das reelle.
Die Lagrangedichte für das komplexe Feld ist invariant unter der kontinuierlichen Schar von Transformationen
die das Feld mit einer komplexen Phase
Nach dem Noether-Theorem gehört zu dieser kontinuierlichen Symmetrie ein erhaltener Strom mit Komponenten
Die 0-Komponente ist die Dichte der erhaltenen Ladung:
Diese Dichte ist nicht positiv semidefinit und kann nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet werden. Vielmehr wird
als die elektrische Ladung und