Lichtkegel
In der relativistischen Physik bezeichnet der Lichtkegel eines Ereignisses $ E $ die Menge aller Ereignisse $ E' $, die sich mit Lichtgeschwindigkeit $ c $ auf $ E $ auswirken oder von $ E $ mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.
Der Beobachter eines Ereignisses $ E $ befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Lichtkegel (Gegenwart).
Der Lichtkegel ist ein Doppelkegel im vierdimensionalen Minkowski-Raum. Er besteht aus
- dem Rückwärts-Lichtkegel, der genau die Ereignisse $ E' $ enthält, die vor $ E $ stattgefunden haben (Vergangenheit, $ t'<t $) und $ E $ mit Lichtgeschwindigkeit bewirkt haben können (siehe Lokalität und Kausalität), und
- dem Vorwärts-Lichtkegel, das sind die Ereignisse $ E', $ die später als $ E $ stattfinden (Zukunft, $ t'>t $) und von $ E $ mit Lichtgeschwindigkeit verursacht worden sein können.
Definition
Seien
- $ (t,x,y,z) $ die Orts- und Zeitkoordinaten von $ E $,
- $ (t',x',y',z') $ die Koordinaten von $ E' $,
- $ (t'-t,x'-x,y'-y,z'-z) $ die Komponenten des Differenzvektors $ E'-E $,
- $ \mathrm {d} s^{2}:=c^{2}\cdot \mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2} $ das Quadrat des differentiellen Abstands in der flachen Raumzeit, der für alle Beobachter identisch ist. Die hier verwendete Signatur ist $ (+,-,-,-) $. Für eine Signatur $ (-,+,+,+) $ gelten für $ \mathrm {d} s^{2} $ analoge Definitionen mit umgekehrtem Vorzeichen.
Lichtartiger Differenzvektor
Wenn der Differenzvektor lichtartig ist:
- $ {\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&=0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&=0\\\Leftrightarrow &&\left({\frac {x'-x}{t'-t}}\right)^{2}+\left({\frac {y'-y}{t'-t}}\right)^{2}+\left({\frac {z'-z}{t'-t}}\right)^{2}&=c^{2}\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&=c^{2},\end{aligned}} $
dann liegt $ E' $ in der speziellen Relativitätstheorie auf dem Lichtkegel von $ E. $ Genau die Ereignisse auf dem Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegel sind aktuell für einen Beobachter sichtbar, der sich in $ E $ aufhält (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).
Zeitartiger Differenzvektor
Ist der Differenzvektor zeitartig:
- $ {\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&>0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&>0\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&<c^{2},\end{aligned}} $
so liegt $ E' $ im Inneren des Rückwärts- oder Vorwärts-Lichtkegels von $ E $, je nachdem, ob es vor oder nach $ E $ stattgefunden hat. Dann kann es sich bei $ E' $ um die Ursache oder um die Auswirkung von $ E $ handeln, die sich langsamer als Licht auswirkt. Ereignisse innerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels waren früher für einen Beobachter sichtbar, der sich an derselben Stelle im Raum aufhielt wie $ E $ (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).
Raumartiger Differenzvektor
Ist der Differenzvektor raumartig:
- $ {\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&<0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&<0\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&>c^{2},\end{aligned}} $
so liegt $ E' $ außerhalb des Rückwärts- oder Vorwärts-Lichtkegels. Bei den Ereignissen kann es sich nicht um Ursache und Wirkung handeln, denn dann müsste sich eine Ursache mit Überlichtgeschwindigkeit auswirken. Ereignisse außerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels von $ E $ und vor $ E $ sind für einen Beobachter, der sich in $ E $ aufhält, (noch) nicht sichtbar (d. h. sie liegen hinter dem Ereignishorizont, ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).
Folgen für die Lösung relativistischer Differentialgleichungen
Die Lösung der inhomogenen Klein-Gordon-Gleichung, gültig für Bosonen, hängt für das Ereignis $ E $ nur ab von den früheren Anfangsbedingungen sowie der Inhomogenität auf dem Rückwärts-Lichtkegel von $ E $ und in seinem Inneren.
Die Lösung der homogenen Klein-Gordon-Gleichung (verschwindende Masse, entspricht der Wellengleichung) hängt nur ab von den Anfangsbedingungen und der Inhomogenität auf dem Rückwärts-Lichtkegel von $ E $, aber nicht mehr von der Inhomogenität in seinem Inneren. Anfangsbedingungen und Inhomogenität wirken sich in diesem Fall nur mit Lichtgeschwindigkeit aus.
Die Folgen für die Lösung anderer grundlegender relativistischer Gleichungen (z. B. der Dirac-Gleichung, gültig für Fermionen) sind entsprechend.
Siehe auch
Literatur
- Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 2. Zweite Auflage. Springer Verlag, Berlin 1968 (Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN 0073-1684).
Weblinks
- Norbert Dragon: Geometrie der Relativitätstheorie. (PDF; 2,4 MB).