Eine Kontinuitätsgleichung ist eine bestimmte partielle Differentialgleichung, die zu einer Erhaltungsgröße (s. u.) gehört. Sie verknüpft die zeitliche Änderung
Zur mathematischen Definition von
Die Kontinuitätsgleichung tritt in allen Feldtheorien der Physik auf. Die erhaltenen Größen können sein:
Die Verallgemeinerung der Kontinuitätsgleichung auf physikalische Größen, die keine Erhaltungsgrößen sind, ist die Bilanzgleichung. In ihr tritt auf der rechten Seite der Gleichung ein zusätzlicher Quellterm auf.
Die in einem Volumen V enthaltene „Ladung“ (das Volumenintegral über die Dichte) kann sich aufgrund der Kontinuitätsgleichung nur dadurch ändern, dass unausgeglichene Ströme aus der Oberfläche des Volumens hinausfließen. Demnach ändert sich die Gesamtladung für
Denn die zeitliche Änderung der Ladung
in einem zeitlich unveränderlichen Volumen
gleich dem Flächenintegral über die Randfläche
Verändert sich in der Hydrodynamik die Massendichte
und die Kontinuitätsgleichung lautet
Für die zeitliche Änderung der Dichte bei einem Teilchen, das die Bahn
Entlang einer Trajektorie ändert sich also die Dichte mit der Divergenz der Strömung
Die Strömung ist inkompressibel, wenn die Dichte entlang einer Trajektorie konstant bleibt:
Daraus folgt, dass in diesem Fall die Divergenz der Strömung Null ist:
In der Elektrodynamik ergibt sich die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladungsdichte
d. h., es folgt mit der anderen inhomogenen Maxwell-Gleichung[1]
In Halbleitern beschreibt die Verletzung der Kontinuitätsgleichung
die Änderung der Raumladungsdichte
Aus den Maxwellgleichungen der Elektrodynamik folgt (in CGS-Einheiten) für die Energiedichte
und die Energiestromdichte (auch Poynting-Vektor)
nahezu eine Kontinuitätsgleichung:
Die Kontinuitätsgleichung für die Energie im elektromagnetischen Feld ist dort erfüllt, wo die elektrische Stromdichte
Die Kontinuitätsgleichung für die elektromagnetische Feldenergie ist der Satz von Poynting.
In der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik mit Minkowski-Vektoren fasst man cρ und j zu einem Vierervektor zusammen
In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird der Zustand eines Teilchens, etwa eines einzelnen Elektrons, durch eine Wellenfunktion
Das Betragsquadrat
gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, ein Teilchen zur Zeit
gilt ohne äußeres Magnetfeld als Folge der Schrödingergleichung die Kontinuitätsgleichung
Ist ein äußeres Magnetfeld vorhanden, muss auf die Pauli-Gleichung zurückgegriffen werden und es ergibt sich
wobei
Im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik gehorchen Teilchen der Klein-Gordon-Gleichung (für Skalarbosonen) beziehungsweise der Dirac-Gleichung (für Fermionen). Da die Gleichungen der Speziellen Relativitätstheorie gehorchen, können die Kontinuitätsgleichungen für diese Fälle in manifest kovarianter Form
geschrieben werden und es ergibt sich
wobei
Im Rahmen der Klein-Gordon-Kontinuitätsgleichung kann – im Gegensatz zum nichtrelativistischen oder fermionen Fall – die Größe
Man erkennt an der Analogie zum „elektrischen“ Fall, dass Kontinuitätsgleichungen immer dann gelten müssen, wenn eine ladungsartige Größe und eine stromartige Größe wie oben angegeben zusammenhängen. Als weiteres konkretes Beispiel könnte man etwa den in der Thermodynamik wichtigen Wärmestrom angeben. Die „Ladungsdichte“ muss bei Integration über den Gesamtraum eine Erhaltungsgröße ergeben, z. B. die elektrische Gesamtladung, bzw. – im Falle der Quantenmechanik – die Gesamtwahrscheinlichkeit, 1, oder im dritten Fall, die gesamte zugeführte Wärme, bei Systemen, deren Wärmeinhalt als „erhalten“ angesehen werden kann (z. B. Wärmediffusion).
In der Strömungsmechanik folgt aus der Kontinuitätsgleichung das Kontinuitätsgesetz für (inkompressible) Fluide.