Kontinuitätsgleichung

Eine Kontinuitätsgleichung ist eine bestimmte partielle Differentialgleichung, die zu einer Erhaltungsgröße (s. u.) gehört. Sie verknüpft die zeitliche Änderung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial}{\partial t} der räumlichen Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho , mit der diese Erhaltungsgröße an einem Punkt vorliegt, mit der räumlichen Änderung ihrer Stromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{j} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0

Zur mathematischen Definition von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \nabla \cdot siehe Divergenz eines Vektorfeldes.

Die Kontinuitätsgleichung tritt in allen Feldtheorien der Physik auf. Die erhaltenen Größen können sein:

• die Masse,
• die elektrische Ladung,
• die Energie,
• die Wahrscheinlichkeit und
• einige Teilchenzahlen (Leptonenzahl, Baryonenzahl).

Die Verallgemeinerung der Kontinuitätsgleichung auf physikalische Größen, die keine Erhaltungsgrößen sind, ist die Bilanzgleichung. In ihr tritt auf der rechten Seite der Gleichung ein zusätzlicher Quellterm auf.

Zusammenhang mit einer Erhaltungsgröße

Die in einem Volumen V enthaltene „Ladung“ (das Volumenintegral über die Dichte) kann sich aufgrund der Kontinuitätsgleichung nur dadurch ändern, dass unausgeglichene Ströme aus der Oberfläche des Volumens hinausfließen. Demnach ändert sich die Gesamtladung für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V\to\infty zeitlich nicht und ist eine Erhaltungsgröße, wenn keine (Netto-)Ströme durch die Oberfläche des betrachteten Volumens fließen.

Denn die zeitliche Änderung der Ladung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q_V , gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Q_V=\iiint_V \mathrm{d}^3x\, \rho(t,\vec{x})

in einem zeitlich unveränderlichen Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V , ist wegen der Kontinuitätsgleichung nach dem Integralsatz von Gauß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm{d}Q_V}{\mathrm{d}t}=\iiint_V \mathrm{d}^3x \,\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\iiint_V\! \mathrm{d}^3x\,\vec \nabla \cdot \vec{j}=-\oint_{\partial V} \, \vec j\;\cdot\vec n\,\mathrm{d}S\,,

gleich dem Flächenintegral über die Randfläche $ \partial V $ des Volumens über den Anteil der Stromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{j} , der in Richtung der Flächennormalen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec {n} nach außen fließt. Die Ladung im Volumen ändert sich nur, sofern unausgeglichene Ströme in der angegebenen Weise durch die Randfläche fließen.

Spezielle Kontinuitätsgleichungen

Hydrodynamik

Verändert sich in der Hydrodynamik die Massendichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(t,\vec{x}) , weil die Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u} = \tfrac{\mathrm d \vec x}{\mathrm d t} längs der Bahnkurven Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec x(t) strömt, so ist die zugehörige Stromdichte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{j} = \rho \, \vec{u}

und die Kontinuitätsgleichung lautet

$ {\begin{alignedat}{2}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {u}})&&=0\\\Leftrightarrow &{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\rho \cdot {\vec {u}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}&&=0\end{alignedat}} $ (Begründung: Produktregel)

Für die zeitliche Änderung der Dichte bei einem Teilchen, das die Bahn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec x(t) durchläuft, besagt dies:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{alignat}{2} & \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \rho \cdot \frac{\mathrm d \vec x}{\mathrm d t} && = - \rho \cdot \vec \nabla \cdot \vec{u}\\ \Leftrightarrow & \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \rho(t,\vec x(t)) && = - \rho \cdot \vec \nabla \cdot \, \vec{u} \end{alignat} (Begründung: totales Differential).

Entlang einer Trajektorie ändert sich also die Dichte mit der Divergenz der Strömung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec u.

Die Strömung ist inkompressibel, wenn die Dichte entlang einer Trajektorie konstant bleibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \rho(t,\vec x(t)) = 0

Daraus folgt, dass in diesem Fall die Divergenz der Strömung Null ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \vec \nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0

Elektrodynamik

In der Elektrodynamik ergibt sich die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladungsdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho und die elektrische Stromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{j} mithilfe der Identität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec \nabla \cdot \vec \nabla \times \dots =0 und den beiden inhomogenen Maxwellgleichungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 0\ \ \stackrel{\operatorname{div}\ \operatorname{rot}\ =\ 0}{=}\ \ \vec \nabla \cdot \left(\vec \nabla \times \vec H\right)\ \ \stackrel{\text{Maxwell}}{=}\ \ \vec \nabla \cdot \left( \frac{\partial}{\partial t} \vec D + \vec j \right) = \frac{\partial}{\partial t} \vec \nabla \cdot \vec D + \vec \nabla \cdot \vec j = \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \vec \nabla \cdot \vec j\ ,

d. h., es folgt mit der anderen inhomogenen Maxwell-Gleichung^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0\ .

In Halbleitern beschreibt die Verletzung der Kontinuitätsgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec{j} = -r + g

die Änderung der Raumladungsdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho durch die Rekombinationsrate pro Volumen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r , und die Generationsrate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): g .

Aus den Maxwellgleichungen der Elektrodynamik folgt (in CGS-Einheiten) für die Energiedichte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u = \frac{1}{8 \pi} \left( \vec{E}^2 + \vec{B}^2 \right)

und die Energiestromdichte (auch Poynting-Vektor)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{S} = \frac{c}{4 \pi} \left( \vec{E} \times \vec{H} \right)

nahezu eine Kontinuitätsgleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial u}{\partial t} +\vec \nabla \cdot \vec{S}= -\vec{j} \cdot \vec{E}\,.

Die Kontinuitätsgleichung für die Energie im elektromagnetischen Feld ist dort erfüllt, wo die elektrische Stromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{j} verschwindet, beispielsweise im Vakuum. Dort kann sich Energiedichte nur durch Energieströme ändern. Wo die elektrische Stromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{j} nicht verschwindet, leistet das elektrische Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{E} Arbeit und tauscht Energie mit den Ladungsträgern aus.

Die Kontinuitätsgleichung für die elektromagnetische Feldenergie ist der Satz von Poynting.

In der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik mit Minkowski-Vektoren fasst man cρ und j zu einem Vierervektor zusammen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (j^{\alpha}) =(c\rho ,j_x, j_y, j_z)\,, . Wie oben, folgt aus den Maxwellgleichungen, dass dessen Viererdivergenz verschwindet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_{\alpha} j^{\alpha}=\frac{c \partial \rho}{c \partial t}+\frac{\partial j_x}{\partial x}+\frac{\partial j_y}{\partial y}+\frac{\partial j_z}{\partial z} = 0\, . ^[2] Diese Formulierung ist unabhängig von der gewählten Minkowski-Signatur, äquivalent zur Kontinuitätsgleichung und kann auf relativistische Feldtheorien verallgemeinert werden.

Quantenmechanik

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird der Zustand eines Teilchens, etwa eines einzelnen Elektrons, durch eine Wellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Psi(\vec x,t) beschrieben.

Das Betragsquadrat

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(\vec x,t)=|\Psi(\vec x,t)|^2

gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, ein Teilchen zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec x vorzufinden. Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsstromdichte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec j = -\frac{i \hbar}{2m}(\Psi^*\vec \nabla \Psi - \Psi\vec \nabla \Psi^*)

gilt ohne äußeres Magnetfeld als Folge der Schrödingergleichung die Kontinuitätsgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{\partial}{\partial t}\rho + \vec \nabla \cdot \vec j = 0\, .

Ist ein äußeres Magnetfeld vorhanden, muss auf die Pauli-Gleichung zurückgegriffen werden und es ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec j = -\frac{i \hbar}{2m}(\Psi^\dagger \vec \nabla \Psi - (\vec \nabla \Psi^\dagger)\Psi) - \frac{q}{m} \vec A \Psi^\dagger \Psi + \frac{\hbar}{2m} \vec \nabla \times (\Psi^\dagger \vec \sigma \Psi)

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma für die Pauli-Matrizen stehen. Der letzte Term verschwindet zwar bei der Divergenzbildung und ist nicht direkt aus der Pauli-Gleichung ableitbar, ergibt sich aber aus dem nichtrelativistischen Grenzfall der Dirac-Gleichung.

Im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik gehorchen Teilchen der Klein-Gordon-Gleichung (für Skalarbosonen) beziehungsweise der Dirac-Gleichung (für Fermionen). Da die Gleichungen der Speziellen Relativitätstheorie gehorchen, können die Kontinuitätsgleichungen für diese Fälle in manifest kovarianter Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \partial_\mu j^\mu =\partial_t \rho + \vec \nabla \cdot \vec j = 0

geschrieben werden und es ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j^\mu_\text{KG} = \mathrm i \left(\phi^* \partial^\mu \phi - \phi \partial^\mu \phi^* \right)

$ j_{\text{Dirac}}^{\mu }=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\psi $

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi beziehungsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi für die skalare bosonische/vektorwertige fermionische Wellenfunktion stehen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma die Dirac-Matrizen sind.

Im Rahmen der Klein-Gordon-Kontinuitätsgleichung kann – im Gegensatz zum nichtrelativistischen oder fermionen Fall – die Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): j^0 = \frac{1}{c} \mathrm i \left(\phi^* \partial_t \phi - \phi \partial_t \phi^* \right) nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet werden, da diese Größe nicht positiv semidefinit ist.

Weitere Anwendungen: Allgemeine Erhaltungsgrößen

Man erkennt an der Analogie zum „elektrischen“ Fall, dass Kontinuitätsgleichungen immer dann gelten müssen, wenn eine ladungsartige Größe und eine stromartige Größe wie oben angegeben zusammenhängen. Als weiteres konkretes Beispiel könnte man etwa den in der Thermodynamik wichtigen Wärmestrom angeben. Die „Ladungsdichte“ muss bei Integration über den Gesamtraum eine Erhaltungsgröße ergeben, z. B. die elektrische Gesamtladung, bzw. – im Falle der Quantenmechanik – die Gesamtwahrscheinlichkeit, 1, oder im dritten Fall, die gesamte zugeführte Wärme, bei Systemen, deren Wärmeinhalt als „erhalten“ angesehen werden kann (z. B. Wärmediffusion).

In der Strömungsmechanik folgt aus der Kontinuitätsgleichung das Kontinuitätsgesetz für (inkompressible) Fluide.

Literatur

• Batchelor, G.K.: An introduction to fluid dynamics, Cambridge university press, 2000, ISBN 0-521-66396-2

Weblinks

• Video: Kontinuitätsgleichung. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 2004, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-14818.

Einzelnachweise und Fußnoten