Elektrische Stromdichte

Die elektrische Stromdichte (Formelzeichen $ {\vec {J}} $ (so in ^[1][2][3]), auch $ {\vec {\jmath }} $ oder $ {\vec {S}} $) kennzeichnet, wie dicht zusammengedrängt ein elektrischer Strom fließt. Damit kennzeichnet sie auch die Belastung eines Leiters durch den Strom.

Die Stromdichte ist definiert als das Verhältnis der Stromstärke $ I $ zu einer dem Strom zur Verfügung stehenden Querschnittsfläche $ A $, durch die der Strom senkrecht hindurchtritt.

Weiter lässt sich in nicht homogenen Strömungsfeldern mit der Stromdichte angeben, wie sich der Strom punktweise über die Querschnittsfläche verteilt. Solche Anwendungen betreffen beispielsweise Gasentladungen und Elektronenstrahlen sowie die Belastung von Elektroden und Glühkathoden.

Definition

In der klassischen Physik gilt:^[4]

$ I=\int \limits _{A}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}} $

Dabei steht der Vektor $ \mathrm {d} {\vec {A}} $ senkrecht auf dem zugehörigen Flächenelement. Ist die Stromdichte gleichmäßig über die Querschnittsfläche verteilt (z. B. wenn Gleichstrom durch einen metallischen Leiter fließt), dann vereinfacht sich die Definition zu $ I={\vec {J}}\cdot {\vec {A}} $. Das Skalarprodukt reduziert sich im Rahmen einfacher Modellrechnungen bei senkrecht durchflossener Fläche (wie im Bild) zum elementaren Produkt: $ I=J\,A $.

Strom in einem Leiter mit der Querschnittsfläche $ A $

Mit

$ V $ ein betrachtetes Volumen,

$ Q $ die gesamte elektrische Ladung in diesem Volumen,

$ n $ die Ladungsträgerdichte (Anzahl der Ladungsträger pro Volumen),

$ e $ die Ladung eines einzelnen Ladungsträgers (Elementarladung; 1,60·10⁻¹⁹ As),

$ \rho =n\,e=\mathrm {d} Q/\mathrm {d} V $ die Raumladungsdichte,

$ x $ die Ortskoordinate in Strömungsrichtung,

$ t $ die Zeit,

$ v=\mathrm {d} x/\mathrm {d} t $ die mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger,

$ I=\mathrm {d} Q/\mathrm {d} t $ die Stromstärke (Ladung pro Zeit)

ergibt sich bei einer Anordnung wie im Bild mit gleichmäßig über die Querschnittsfläche verteiltem, in x-Richtung (senkrecht zur gekennzeichneten yz-Ebene) fließendem Strom

$ J={\frac {I}{A}}={\frac {1}{A}}\;{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{A}}\;{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} V}}\;{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{A}}\;\rho \cdot {\frac {A\;\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\rho \;v $ .

Die Stromdichte ist eine vektorielle Größe, deren Richtung mit der des Geschwindigkeitsvektors $ {\vec {v}} $ positiver Ladungsträger übereinstimmt:

$ {\vec {J}}=\rho \;{\vec {v}}=n\;e\;{\vec {v}} $ .

Anwendungen

Berechnungen

Bezüglich des elektrischen Stroms wird in der praktischen Elektrotechnik bei Rechnungen vorzugsweise die Stromstärke verwendet,

beispielsweise wählt man für das ohmsche Gesetz die Schreibweise $ I=G\ U $

mit $ G=1/R $ der elektrische Leitwert, $ U $ die elektrische Spannung.

Dagegen wird in der theoretischen Elektrotechnik üblicherweise die Stromdichte verwendet,

beispielsweise wählt man für das ohmsche Gesetz die Schreibweise $ {\vec {J}}=\sigma \ {\vec {E}} $

mit $ \sigma $ die elektrische Leitfähigkeit, $ {\vec {E}} $ die elektrische Feldstärke.

So findet die vektorielle Stromdichte beispielsweise Anwendung in den Maxwell-Gleichungen und in der Kontinuitätsgleichung der Elektrodynamik.

Stromdichte in Leitungen

Die Dichte des Leiterstroms in Kupferwicklungen darf je nach Anwendung 1,2…6 A/mm² nicht übersteigen,^[5][6][7] damit unter Dauerlast keine unzulässige Erwärmung auftritt. Man spricht dazu auch von Strombelastbarkeit. Im Extremfall kann sie jedoch bis zur Schmelzstromdichte^[8] von 3060 A/mm^2 [9] ansteigen. In Schmelzsicherungen und einigen weiteren Überstromschutzeinrichtungen der Elektroinstallation wird die Erhitzung genutzt, um den Strom zu unterbrechen.

In Leitern aus Kupfer beträgt die maximal zulässige Stromstärke nach VDE 0298-4:2013-06, Tabelle 11 und Spalte 5:

12 A bei einer Querschnittsfläche von 0,75 mm²

15 A bei 1,0 mm²

26 A bei 2,5 mm²

Zu neueren Werten bei verschiedenen Verlegearten siehe^[10].

Bei einer über den Querschnitt gleichmäßig verteilten Stromdichte ist die mittlere Geschwindigkeit im Leiter gleich $ v={\frac {J}{ne}} $. Die typische Elektronendichte für Leitungselektronen in metallischen Festkörpern liegt in der Größenordnung von $ n $ = 10²⁸ m⁻³.^[11] Berücksichtigt man, dass in einer positiven Halbschwingung eines Wechselstroms die mittlere Stromstärke gegenüber ihrem Effektivwert kleiner ist um den Faktor $ 1/k_{f} $ ($ k_{f} $ = Formfaktor, bei Sinusverlauf = 1,11), so ergibt sich bei einer Stromdichte von 6 A/mm² für eine gerichtete Bewegung eine mittlere Geschwindigkeit in der Größenordnung von 10⁻³ m/s. Die große Geschwindigkeit der elektrischen Nachrichtenübertragung beruht also nicht auf der Verschiebung der Elektronen im Draht.^[12]

Bei Wechselstrom ist der Skin-Effekt zu beachten, wonach die Stromdichte im Inneren eines Leiters niedriger ist als an der Oberfläche. Zur Orientierung gibt man die Tiefe zu einer Abnahme der Stromdichte auf 1/e = 37 % an. In dicken massiven Aluminium- oder Kupfer-Rundleitern beträgt sie bei 50 Hz rund 10 mm.

Galvanotechnik

In der Galvanotechnik gibt man die Stromdichte, die für die Beschichtung eingestellt wird, an. Die typischen Werte liegen zwischen 0,5 und 5 A/dm², die eingehalten werden müssen, um z. B. bei einer Verzinkung oder Vernickelung gute Ergebnisse zu erhalten.

Stromquellen

Bei Solarzellen gibt man eher eine Leistungsdichte an. Sie kann sehr grob bis 150 W/m² betragen. Die elektrische Spannung bei maximaler Leistung liegt bei den gebräuchlichsten Zellen bei etwa 0,5 V, so dass sich eine Stromdichte bis 300 A/m² ergeben kann.

Entsprechend untersucht man auch Brennstoffzellen in Abhängigkeit von ihren Stromdichten, in besonders günstigen Fällen bis etwa 1 A/cm².^[13]

Flächenstromdichte und Linienstrom

Analog zur Stromdichte in einem Körper lässt sich die Stromdichte auch auf zweidimensionale Flächen beziehen. Diese Annahme ist sinnvoll, wenn man etwa die Oberflächenleitung (Kriechstrom) von elektrischen Isolatoren beschreiben will. Der Gesamtstrom $ I $ ist die Summe der einzelnen Flächenströme. Die Flächenstromdichte $ K $ erhält man durch Bezug des gesamten Stromes auf die Breite $ b $ der einzelnen Fläche:

$ K={\frac {I}{b}} $

Die elektrische Stromstärke kann darüber hinaus auch als Summe von Linienströmen in einem Punkt betrachtet werden, woraus auch die erste Kirchhoffsche Regel folgt:

$ I(P)=\sum _{l}I_{l} $

Siehe auch

• Teilchenstromdichte
• Diffusionsstromdichte

Literatur

• H. Lindner, H. Brauer, C. Lehmann: Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik. 8., neu bearbeitete Auflage, Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München 2004, ISBN 3-446-22546-3.

Einzelnachweise