Elektronendichte

Die Elektronendichte $ n({\vec {r}}) $ bzw. $ n_{e}({\vec {r}}) $ ist in der Physik eine Ladungsträgerdichte, die die ortsabhängige Anzahl der Elektronen pro Volumen angibt (Dichtefunktion). Mathematisch gesehen ist sie ein Skalarfeld des dreidimensionalen Ortsraumes.

Sie ist eine Messgröße (Einheit $ m^{-3} $), die häufig bei der Beschreibung von Molekülen und Festkörpern eingesetzt wird (Dichtefunktionaltheorie), um komplizierte hochdimensionale Wellenfunktionen bzw. quantenmechanische Zustandsvektoren zu vermeiden. Außerdem wird sie in der Plasmaphysik, in der Röntgenstrukturanalyse (als Fourier-Transformierte des Strukturfaktors) und in der Halbleiterphysik angewendet.

Definitionsgemäß muss das Integral der Elektronendichte, das sich über den gesamten Raumbereich $ V $ erstreckt, gleich der Anzahl $ N $ an Elektronen sein:

$ N_{e}=\int _{V}n_{e}({\vec {r}})dV. $

Die typische Elektronendichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n_\mathrm{e} für Leitungselektronen liegt in metallischen Festkörpern bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 10^{28} \, \mathrm{m}^{-3} , in der F-Schicht der Ionosphäre bei nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 10^{12} \, \mathrm{m}^{-3} .

Erwartungswert des Elektronendichte-Operators

Allgemein werden in der Quantenmechanik Messgrößen mit hermiteschen Operatoren identifiziert, deren Eigenvektoren die Zustände repräsentieren, in denen das System einen scharfen Messwert bezüglich der Messgröße annimmt, und deren Eigenwerte den zugehörigen Messwerten selbst entsprechen.

Die Elektronendichte wird als Erwartungswert des Elektronendichte-Operators identifiziert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n(\vec{r}) := \langle \Psi|\hat{n}(\vec{r})|\Psi\rangle.

Dieser Operator muss folgende Eigenschaften erfüllen:

• Integrierbarkeit des Erwartungswertes (strenger: Integral über das gesamte Volumen muss der Teilchenzahl entsprechen)
• Positive Semidefinitheit: Erwartungswert muss überall größer gleich 0 sein.

Durch Identifikation der Elektronendichte als Randverteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte (Betragsquadrat der Wellenfunktion):

$ n({\vec {r}})=N\sum _{s_{1}}\dots \sum _{s_{N}}\int d{\vec {r_{2}}}\dots \int d{\vec {r_{N}}}|\Psi (\mathbf {r} ,s_{1},\mathbf {r} _{2},s_{2},\dots ,\mathbf {r} _{N},s_{N})|^{2} $

In Worten: Man hält irgendein Elektron am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{r} fest und summiert über die Wahrscheinlichkeiten aller möglicher Anordnungen der anderen Elektronen.

Nach Darstellung des Erwartungswertes in der üblichen Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} n(\vec{r}) &= \langle \psi |\hat n(\vec{r})|\psi \rangle \\ &= \sum_{s_{1}} \dots \sum_{s_{N}} \int d\vec{r_1} \dots \int d\vec{r_N}\Psi(\mathbf{r}_1,s_{1},\mathbf{r}_{2},s_{2}, \dots,\mathbf{r}_{N},s_{N})^*\left(\sum_{i=1}^{N} \delta(\vec{r_i}-\vec{r})\right)\Psi(\mathbf{r}_1,s_{1},\mathbf{r}_{2},s_{2}, \dots,\mathbf{r}_{N},s_{N}) \end{align}

lässt sich der zugehörige Operator als folgender identifizieren: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n}(\vec{r}_1, \dots,\vec{r}_N,\vec{r})= \sum_{i=1}^{N} \delta(\vec{r_i}-\vec{r})

und man erkennt, dass er kein Operator im eigentlichen Sinne ist, da er keine quadratintegrierbare Funktion in eine quadratintegrierbare Funktion überführt und darum nicht der Definition eines Operators im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen genügt.

Es gibt somit keinen Teilchendichteoperator, aber es existiert ein lineares Funktional (Distribution), dessen Integralkern gemeinhin als der Teilchendichteoperator bezeichnet wird.

Er ist ein im Sinn der durch die 2-Norm induzierten Topologie nicht stetiges lineares Funktional auf den lokal absolut Lebesgue-integrierbaren Funktionen.

Hier im Speziellen sind die absolut Lebesgue-integrierbaren Funktionen von der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi=\overline{\psi_1}\psi_2 für die gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi_1,\psi_2\in L^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{C}) und die mit $ \delta ({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}) $ eine Erweiterung der aus der Distributionentheorie bekannten Delta-Distributionen mit Hilfe von Delta Folgen auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L^1_{loc}(\mathbb{R}^n,\mathbb{C}) darstellen.

Innerhalb der Hartree-Fock-Näherung erhält man die Elektronendichte über die Summe der Orbitaldichten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{n}(\vec{r}) = \sum_{i=1}^{N} \phi_i(\vec{r})\overline \phi_i(\vec{r}).

Weblinks

• 3D Darstellung der Elektronendichte in Atomen