Elektrische Suszeptibilität

Die elektrische Suszeptibilität $\chi _{e}$ (lateinisch susceptibilitas ‚Übernahmefähigkeit‘) ist eine Materialeigenschaft, welche die Fähigkeit zur elektrischen Polarisierung in einem eingeprägten elektrischen Feld angibt. In vielen Fällen ist sie eine Proportionalitätskonstante der Dimension Zahl, das Verhältnis von dielektrischer Verschiebung (Polarisierung) zu elektrischer Feldstärke. Der Wert der elektrischen Suszeptibilität kann von einer Vielzahl von Parametern abhängen. Dazu zählen die Frequenz und Ausrichtung des betrachteten elektrischen Feldes oder eine Polarisation des Materials durch elektrische Ströme.

Definition

Im einfachsten Fall lässt sich die elektrische Suszeptibilität definieren als Proportionalitätsfaktor der elektrischen Flussdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D im elektrischen Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{alignat}{2} \vec D & = \varepsilon_r \, \varepsilon_0 \vec E\\ & = (1 + \chi_e) \, \varepsilon_0 \vec E\\ \Leftrightarrow \chi_e &= \varepsilon_r - 1\\ &= \frac{\| \vec D \|}{\varepsilon_0 \|\vec E\|} - 1 \end{alignat}

Dabei sind

ε_r die relative Permittivität
ε₀ die absolute Permittivität.

Teil der elektrischen Flussdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D ist die Polarisation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P :

{\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}

Für die Polarisation gilt ebenfalls unter Mitwirkung der elektrischen Suszeptibilität im linearen Fall:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec P = \chi_e \varepsilon_0 \vec E

Je nach Material ist die Suszeptibilität richtungsabhängig, Beispiel ist die Doppelbrechung. Allgemein wird sie dann als Tensor zweiter Stufe geschrieben und so weiterverwendet.

Herkunft aus addierten Beiträgen verschiedener Mechanismen

Die elektrischen Eigenschaften eines Materials sind durch das Verhalten der im Material gebundenen Ladungen bestimmt.

Die Besonderheit bei der Definition der Suszeptibilität liegt darin, dass man in ihr die Beiträge verschiedener Mechanismen addieren kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_e = \chi_1 + \chi_2 + \chi_3 + \dots \,

Des Weiteren sind alle diese Größen frequenz- bzw. wellenlängenabhängig, sie weisen also Dispersion auf. Auch deren unterschiedliche Anteile und Frequenzabhängigkeiten addieren sich auf der Ebene der Suszeptibilität.

Die Suszeptibilität beschreibt sowohl die Absorption als auch eine Phasenverschiebung für eingestrahlte elektromagnetische Wellen. Damit ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_e im Allgemeinen eine komplexe Zahl, deren Imaginärteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_{e2} die Absorption verursacht, während der Realteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_{e1} für die Phasenverschiebung verantwortlich ist:

{\begin{aligned}\chi _{e}&=\chi _{e1}+i\cdot \chi _{e2}\\&=\chi _{er}+i\cdot \chi _{ei}\end{aligned}}

Beitrag freier Elektronen

In einem Festkörper werden Elektronen im Leitungsband als Elektronengas bzw. -Plasma angesehen und können mit der Drude-Theorie in ihrem Verhalten berechnet werden:

Realteil: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_{e1} = - \omega^2_p \cdot \frac{\tau^2}{1 + \omega^2 \cdot \tau^2}

Imaginärteil: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_{e2} = \omega^2_p \cdot \frac{\tau / \omega}{1 + \omega^2 \cdot \tau^2}

Mit der Plasmafrequenz nach Drude:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega^2_p = \frac{N e^2}{\varepsilon_o m^*}

Darin sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau = Stoßzeit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega = Lichtfrequenz
$$ N $$ = Ladungsträgerdichte
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e = Elementarladung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m^* = effektive Masse

Beiträge von Interbandübergängen

In jedem Festkörper können Ladungsträger durch Einstrahlung elektromagnetischer Energie in ein anderes Band angehoben werden. Diese Interbandübergänge liefern vor allem absorbierende Beiträge. Für diese Mechanismen muss man zusätzlich noch wissen, wie hoch das Ausgangsband besetzt ist, wie viele Plätze im Zielband noch frei sind, ob der Übergang ein direkter oder indirekter ist usw. Für diese vielen verschiedenen Typen von Interbandübergängen gibt es in der Literatur (siehe z. B.^[1]) diverse Ansätze zur direkten Angabe ihrer Beiträge zur elektrischen Suszeptibilität.

Bei einem realen Festkörper sind immer mehrere dieser Interbandübergänge gleichzeitig möglich und tragen in verschiedener Gewichtung zum Gesamtbild bei. Durch Berechnung der resultierenden optischen Spektren (von Reflexion oder auch Absorption) mittels einer Ausgleichungsrechnung mit den eingehenden Parametern können letztere anhand experimenteller Messungen für ein bestimmtes Material ermittelt werden.

Beiträge von Molekülschwingungen und -polarisierungen

Bei niedrigeren Frequenzen als für Interbandübergänge sind als Absorptionsmechanismen Molekülschwingungen und -rotationen (siehe bei IR-Spektroskopie, inklusive Beispielspektren) sowie Polarisationsvorgänge möglich.

Beitrag eines harmonischen Oszillators

Wenn man die genaue Natur eines energieabsorbierenden Mechanismus nicht kennt, kann man für erste Abschätzungen den einfachsten Mechanismus annehmen, der so etwas liefert, den harmonischen Oszillator. Er weist eine Eigenfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_0 auf und damit eine charakteristische Wellenlänge/Frequenz seiner Absorption. Zusätzlich führt man eine Dämpfung ein (unten durch die Stoßzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tau repräsentiert), die die Spektralstruktur umso mehr verbreitert, je stärker sie wird, sowie eine Oszillatorenstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_{e1} = A \cdot \frac{\omega_0^2 - \omega^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / \tau)^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \chi_{e2} = A \cdot \frac{\omega / \tau}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / \tau)^2}

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ S. Rabii, J. E. Fischer: Exact derivative interband dielectric function at Van Hove singularities. In: Surface Science. Band 37, 1. Juni 1973, S. 576–584, doi:10.1016/0039-6028(73)90348-8.

[1] S. Rabii, J. E. Fischer: Exact derivative interband dielectric function at Van Hove singularities. In: Surface Science. Band 37, 1. Juni 1973, S. 576–584, doi:10.1016/0039-6028(73)90348-8.

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