Satz von Poynting

Der Satz von Poynting (auch Poynting-Theorem genannt) beschreibt die Energiebilanz in der Elektrodynamik. Damit wird der Energieerhaltungssatz auf elektromagnetische Felder verallgemeinert. Seine Formulierung wird dem britischen Physiker John Henry Poynting zugeschrieben. Stark vereinfacht trägt er in sich die Aussage, dass ein elektromagnetisches Feld Arbeit verrichten kann, wenn es dabei „schwächer“ wird. Mathematisch kann er, wie auch die Maxwellschen Gleichungen, sowohl in einer differenziellen als auch in einer integralen Schreibweise angegeben werden. In der integralen Form lautet er:

${\int }_V\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}\mathrm{d}V=-{\int }_V(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{S}+\frac{\partial u}{\partial t})\mathrm{d}V$

Wobei:

$u=\frac{1}{2}(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{D}+\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{H})=\frac{1}{2}({\epsilon }_0{\overrightarrow{E}}^2+{\mu }_0{\overrightarrow{H}}^2)$ elektromagnetische Energiedichte der Felder.

$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$ Poynting-Vektor

$\overrightarrow{j}=\varrho \cdot \overrightarrow{v}$ elektrische Stromdichte

$\overrightarrow{E},\overrightarrow{H}$ elektrische und magnetische Feldstärken

Er besagt, dass die Änderung der Energie in elektromagnetischen Feldern in einem Volumen $V$, ${\int }_V\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{d}V$, nicht nur durch den Energiestrom, ${\int }_V\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{S}\mathrm{d}V$, in oder aus diesem Volumen geschieht (das entspräche einer Kontinuitätsgleichung), sondern auch durch einen Austausch mit anderen Teilsystemen geschehen kann, ${\int }_V\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}\mathrm{d}V$. Letzterer Beitrag wird auch Joulesche Wärme genannt, und besagt, dass Energie in elektrodynamischen Teilsystemen nicht erhalten ist, sondern mit anderen Teilsystemen ausgetauscht werden kann, also in kinetische, innere, oder chemische Energie umgewandelt werden kann. Dies widerspricht nicht der Tatsache, dass die Energie in einem abgeschlossenen System erhalten bleibt.
Den Energiestrom kann man sich verständlicher machen, wenn man den Gaußschen Satz in der Integralform anwendet:

${\int }_V\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}\mathrm{d}V=-{\int }_{\partial V}\overrightarrow{S}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{A}-{\int }_V\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{d}V$

Das Oberflächenintegral entspricht dann dem Fluss der Leistungsdichte durch die betrachtete Oberfläche des Volumens $V$.

Da nur die Divergenz von $\overrightarrow{S}$ relevant ist, könnte prinzipiell auch eine Rotation einer beliebigen Funktion zu ihm hinzugefügt werden, da sie unter der Einwirkung der Divergenz verschwindet. Die physikalische Interpretation von $\overrightarrow{S^{\prime }}=\overrightarrow{S}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{f}$ als Leistungsfluss ist dann allerdings nicht mehr möglich. Es gibt also formal unendlich viele vektorwertige Funktionen, die den Satz von Poynting erfüllen, aber nur $\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$ lässt sich aus den Maxwell-Gleichungen gewinnen und ist damit physikalisch sinnvoll.

Herleitung

Ausgangspunkt ist die Arbeit, die ein elektromagnetisches Feld an Ladungsträgern pro Zeit und Volumen verrichtet und die direkt daraus resultierende Leistungsdichte:

$\frac{{\mathrm{d}}^{4}W}{\mathrm{d}V\mathrm{d}t}=\frac{P}{V}=\frac{\overrightarrow{v}\cdot q\overrightarrow{E}}{V}=\varrho \cdot \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{E}=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}$

Es bleibt anzumerken, dass der magnetische Teil des Feldes keine Arbeit verrichtet, da die Lorentzkraft senkrecht zu Bewegungsrichtung der Ladung wirkt. Nun gilt aber das Durchflutungsgesetz: $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H}-\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$. Was oben eingesetzt auf

$\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H})-\overrightarrow{E}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$

führt. Zieht man daneben noch die Rechenregel für die Divergenz

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})=\overrightarrow{H}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E})-\overrightarrow{E}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H})$

heran, so ergibt sich

$\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}=\overrightarrow{H}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E})-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})-\overrightarrow{E}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$.

Die Rotation des elektrischen Feldes kann schließlich über das Induktionsgesetz $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ ausgedrückt werden, womit sich

$\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}=-\overrightarrow{H}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot (\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H})-\overrightarrow{E}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$

ergibt. Hier bleibt es nur noch mit Hilfe der Definition des Poynting-Vektors und der Energiedichte die Gleichung zusammenzufassen, wozu noch die folgenden Identitäten benötigt werden:

$\overrightarrow{D}={\epsilon }_0\overrightarrow{E}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{H}$

und

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\overrightarrow{E}}^2+\frac{1}{2}{\mu }_0{\overrightarrow{H}}^2)=\overrightarrow{E}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+\overrightarrow{H}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

Womit schließlich die differenzielle Form des Satzes gerechtfertigt wäre.

$\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{S}-\frac{\partial u}{\partial t}$

Beispiel: Ohmscher Widerstand

Betrachtet man einen zylindrischen Leiter mit Radius $R$ und Länge $l$, der vom zeitlich konstanten Strom $I$ durchflossen wird, wobei über die Länge des Leiters die Spannung $U$ proportional zur Länge abfällt. Der Leiter ist also ein Ohm'scher Widerstand. Die Oberfläche, auf der der Poynting-Vektor, also die elektrische und magnetische Feldstärke betrachtet wird, ist die Mantelfläche $M$ des Zylinders.

Für den Betrag der elektrischen Feldstärke kann näherungsweise $\left|\overrightarrow{E}\right|=\frac{U}{l}$ wie bei einem Plattenkondensator verwendet werden.

Die magnetische Feldstärke auf der Mantelfläche ist die eines stromdurchflossenen Leiters $\left|\overrightarrow{H}\right|=\frac{I}{2\pi R}$.

Die Orientierung der elektrischen Feldstärke folgt der Länge des Zylinders, die magnetische Feldstärke dem Umfang. Sie stehen also immer senkrecht aufeinander und liegen in der betrachteten Fläche.

Der Betrag des Poynting-Vektors lautet

$\left|\overrightarrow{S}\right|=|\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}|=\frac{U\cdot I}{2\pi Rl}$.

Die Richtung des Vektors zeigt in den Leiter hinein.

Integriert man den Poynting-Vektor über die Mantelfläche, erhält man die umgesetzte Leistung.

$P={\oint }_M\overrightarrow{S}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{A}=-\frac{U\cdot I}{2\pi Rl}\cdot 2\pi Rl=-U\cdot I$

Das negative Vorzeichen trägt der Orientierung einer geschlossenen Fläche Rechnung, die immer nach außen ist.

Die gleichen Betrachtungen kann man anhand einer Batterie durchführen, mit einem Ergebnis, das sich nur im Vorzeichen der Leistung unterscheidet. Hieran kann man also den Energiestrom für einen einfachen Stromkreis aus Widerstand und Batterie erklären. Die Batterie gibt die in ihr gespeicherte chemische Energie in alle Raumrichtungen in die entstehenden elektrischen und magnetischen Felder ab (nur nicht in die stromführenden Leitungen) und der Widerstand nimmt sie gleichsam aus allen Richtungen auf und setzt diese dann z. B. in thermische Energie um. Eine Batterie ist also eine Quelle elektrischer Energie (die in den Feldern gespeichert ist), der Widerstand eine Senke.

Literatur

• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. 4., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4