Kovarianz hat in der Physik zwei verschiedene, aber eng miteinander verwobene Bedeutungen. Zum einen gibt es im Tensorkalkül die Unterscheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Größen, zum anderen gibt es die Kovarianz von Theorien bzw. deren zugrundeliegenden Gleichungen.
Das kovariante Transformationsverhalten garantiert die Formerhaltung von Gleichungen beim Wechsel des Bezugsystems (Koordinatensystems) bzw. bei Gruppentransformationen. Diese Aussagen gelten auch für die tensorielle Schreibweise.
Eine Theorie oder Gleichung ist kovariant bezüglich einer Gruppentransformation, wenn die Form der Gleichungen ungeändert bleibt, nachdem die vorkommenden Größen einer der Transformationen der Gruppe unterworfen wurden (siehe auch Invarianz).
Unter Galilei-Transformationen transformieren sich die Beschleunigung und die Kraft in den newtonschen Bewegungsgleichungen im gleichen Sinne wie die Ortsvektoren. Daher sind die Newtonschen Bewegungsgleichungen und damit die klassische Mechanik kovariant bzgl. der Gruppe der Galilei-Transformationen.
Im gleichen Sinne sind die Einstein-Gleichungen der Gravitation in der allgemeinen Relativitätstheorie kovariant unter beliebigen (nichtlinearen glatten) Koordinatentransformationen.
Ebenso ist die Dirac-Gleichung der Quantenelektrodynamik kovariant unter der Gruppe der linearen Lorentz-Transformationen.[1]
Die linke Seite der Klein-Gordon-Gleichung für ein Skalarfeld ändert sich unter Lorentz-Transformationen nicht, sie ist spezieller invariant oder skalar.
Im Tensorkalkül (siehe auch Tensorprodukt) transformieren sich
Infolgedessen sind ko- und kontravariante Größen nach einer Transformation genau dann null, wenn sie vor der Transformation null waren.
Nach Anwendung der Einsteinschen Summenkonvention muss jeder Term einer Gleichung die gleiche Indexstellung aufweisen.
In einem engeren Wortsinn bezeichnet kovariant in der mathematischen Physik Größen, die wie Differentialformen transformieren. Diese kovarianten Größen
Die Menge der linearen Abbildungen der kovarianten Größen in die reellen Zahlen
bildet den zu
dann definiert
Wegen
genügt die kontravariante Transformation derselben Gruppenverknüpfung wie die kovariante Transformation.
Tensoren aus dem
In Indexschreibweise macht man an der Indexstellung mit unten und oben stehenden Indizes deutlich, ob es sich um die Komponenten eines kovarianten oder eines kontravarianten Vektors handelt,
Dass
Ist das kontravariante Transformationsgesetz dem kovarianten äquivalent und gilt für alle
mit einer invertierbaren, symmetrischen Matrix
um eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe, die die symmetrische Bilinearform
Dann gilt umgekehrt
Diesen Zusammenhang der Komponenten des kovarianten Vektors
Ist das kontravariante Transformationsgesetz dem kovarianten äquivalent und gilt für alle
mit einer invertierbaren, antisymmetrischen Matrix
um eine Untergruppe der symplektischen Gruppe, die die antisymmetrische Bilinearform
schreiben. Dann gilt umgekehrt
Dieser Zusammenhang der Komponenten des kovarianten Vektors