Quelltext der Seite Brownsche Bewegung

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{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem naturwissenschaftlichen Phänomen. Das mathematische Modell gleichen Namens wird unter [[Wiener-Prozess]] beschrieben.}}

[[Datei:BrownBew2dim.png|mini|Zweidimensionale brownsche Bewegung]]
Die '''brownsche Bewegung''' ist die vom schottischen Botaniker [[Robert Brown (Botaniker, 1773)|Robert Brown]] im Jahr 1827 entdeckte unregelmäßige und ruckartige Wärmebewegung kleiner, aber mikroskopisch sichtbarer Teilchen in [[Flüssigkeit]]en und [[Gas]]en. Der ebenfalls gebräuchliche Name '''brownsche Molekularbewegung''' rührt daher, dass das Wort ''Molekül'' damals noch generell zur Bezeichnung eines kleinen Körpers gebraucht wurde. [[Molekül]]e im heutigen Sinn sind aber noch um Vieles kleiner als die im Mikroskop sichtbaren Teilchen und bleiben hier vollständig unsichtbar. Die Moleküle der umgebenden Materie bringen aber die brownsche Bewegung hervor. Nach der 1905 von [[Albert Einstein]] und 1906 von [[Marian Smoluchowski]] gegebenen Erklärung wird die im Mikroskop sichtbare Verschiebung der Teilchen dadurch bewirkt, dass die Moleküle aufgrund ihrer ungeordneten Wärmebewegung ständig und aus allen Richtungen in großer Zahl gegen die Teilchen stoßen und dabei rein zufällig mal die eine Richtung, mal die andere Richtung stärker zum Tragen kommt. Diese Vorstellung wurde in den folgenden Jahren durch die Experimente und Messungen von [[Jean Baptiste Perrin]] quantitativ bestätigt. Die erfolgreiche Erklärung der brownschen Bewegung gilt als Meilenstein auf dem Weg zum wissenschaftlichen Nachweis der Existenz der Moleküle und damit der [[Atom]]e.
[[Datei:Brownianmotion beads in water spim video.gif|mini|256px|Brownsche Bewegung von fluoreszierenden Latex-Kügelchen (Durchmesser etwa 20&nbsp;nm) in Wasser mit einem [[Lichtscheiben-Mikroskopie|SPI-Mikroskop]] beobachtet.]]

== Erforschungsgeschichte ==
Brown beobachtete 1827 unter dem Mikroskop, dass längliche, etwa 6-8 Mikrometer große Partikel innerhalb in einem Wassertropfen schwebender [[Pollen]]körner unregelmäßige ruckartige Bewegungen machten.<ref>{{Literatur |Autor=Robert Brown |Titel="A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies." |Sammelwerk=[[Philosophical Magazine]] |Band=4 |Datum=1905 |Seiten=161–173}}</ref> Heute wissen wir, dass diese Partikel [[Organell]]en wie [[Amyloplast]]en und Spherosomen sind.<ref>{{Literatur |Autor= Philip Pearle, Brian Collett, Kenneth Bart, David Bilderback, Dara Newman and Scott Samuels |Titel="What Brown saw and you can too " |Sammelwerk=Am. J. Phys. |Band=78 |Datum=2010 |Seiten=1278|DOI=10.1119/1.3475685|arXiv=1008.0039}}</ref>
Ursprünglich nahm Brown an, dass dies ein Hinweis auf eine den Pollen innewohnende [[Lebenskraft]] sei, wie sie lange Zeit von Wissenschaftlern als existent vermutet wurde (siehe [[Organische Chemie#Geschichte|organische Chemie]]). Jedoch konnte er die gleiche Bewegung dann auch an sicher unbelebten [[Staub]]körnern in Wasser beobachten.

Von einem ganz ähnlichen Phänomen bei Rußteilchen auf Alkohol hatte [[Jan Ingenhousz]] bereits 1784 berichtet. Er gab als Ursache die Verdunstung der Flüssigkeit an. Ingenhousz erwähnte dies Phänomen nur nebenbei als Beispiel für vermeidbare Störungen beim Studium von Mikroben, wenn man den Tropfen unter dem Mikroskop nicht mit einem Deckglas abdeckt.<ref>Jan Ingenhous: ''Bemerkungen über den Gebrauch des Vergrößerungsglases.'' In: N. C. Molitor (Hrsg.): ''Vermischte Schriften von Ingen-Housz.'' 2. Auflage, Band II, Wien 1784, S. 123–124 ({{Google Buch|BuchID=njc1AAAAcAAJ|Seite=124}}).</ref> Seine Beobachtung blieb dann bis ins 20. Jahrhundert vergessen. Dennoch wird zuweilen Ingenhousz als der eigentliche Entdecker der brownschen Bewegung bezeichnet.

Nach Browns Veröffentlichung erbrachten detaillierte Experimente, insbesondere durch [[Christian Wiener]] 1863, zunehmend die Gewissheit, dass die brownsche Bewegung eine allgemeine und grundsätzliche Erscheinung ist, die durch die Bewegung unsichtbar kleiner Flüssigkeitsteilchen hervorgerufen wird. Damit ergab sich aus der brownschen Bewegung der erste Nachweis der in der molekularen Theorie der Wärme angenommenen allgemeinen Wärmebewegung aller Teilchen (siehe auch [[Thermodynamik#Geschichte|Geschichte der Thermodynamik]], [[Phlogiston]]).<ref>{{Literatur |Autor=[[The Svedberg]] |Titel=Die Existenz der Moleküle |Verlag=Akad. Verlagsgesellschaft |Ort=Leipzig |Datum=1828 |Seiten=161–173}}</ref>

Ohne Kenntnis all dieser Arbeiten kam Einstein 1905 auf rein theoretischem Weg, ausgehend von der molekularen Theorie der Wärme, zu einer quantitativen „Vorhersage“ der brownschen Bewegung. Nach seiner Formel wächst das ''Quadrat'' der von einem Teilchen zurückgelegten Strecke im Durchschnitt proportional zur Zeitspanne und zur (absoluten) [[Temperatur]], sowie umgekehrt proportional zum Radius des Teilchens und zur [[Viskosität]] der Flüssigkeit. Diese Formel konnte in den folgenden Jahren durch die Experimente von [[Jean Baptiste Perrin]] bestätigt werden,<ref>Jean Perrin: ''[http://hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Perrin_1909.pdf Mouvement brownien et réalité moléculaire].'' In: ''Annales de chimie et de physique.'' ser. 8, 18, 1909, S. 5–114.</ref> der unter anderem hierfür 1926 den Nobelpreis für Physik erhielt. Auch [[Diffusion]], [[Osmose]] und [[Thermophorese]] basieren auf der Wärmebewegung der Moleküle.

== Physikalisches Modell ==
Für Teilchen in einem viskosen Medium, die sich durch unregelmäßige Stöße von ihrem Ausgangspunkt entfernen, konnten [[Albert Einstein]] (1905),<ref>{{Literatur | Autor=A. Einstein | Titel =Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen|Online = [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_549-560.pdf Digitalisat] (PDF; 733&nbsp;kB) | Sammelwerk =Annalen der Physik | Band =322|Nummer=8 | Seiten =549–560| Jahr=1905}}</ref> [[Marian Smoluchowski]] (1906)<ref>{{Literatur | Autor=M. Smoluchowski | Titel = Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen |Online= [http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/historic-papers/1906_326_756-780.pdf Digitalisat]; PDF; 1,4&nbsp;MB | Sammelwerk =Annalen der Physik | Band =326 | Nummer=14|Seiten =756–780 | Jahr=1906}}</ref> und [[Paul Langevin]] (1908)<ref>{{Literatur | Autor=P. Langevin | Titel =Sur la théorie du mouvement Brownien | Sammelwerk =Comptes Rendues| Band =146 | Seiten =530 | Jahr=1908|Online=[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3100t/f530.image Digitalisat] bei [[Gallica]]}}</ref> zeigen, dass der mittlere quadratische Abstand von ihrem Ausgangspunkt proportional zur Zeit anwächst. Für Bewegung in einer Dimension gilt
:<math>x^2 = \frac{k_\mathrm{B} T }{3 r \pi \eta}\, t\ .</math>
Darin ist <math>x^2</math> der Mittelwert der Quadrate der <math>x</math>-Koordinaten, die die Teilchen vom Ort <math>x=0</math> ausgehend in der Zeit <math>t</math>  erreichen. <math>k_\mathrm{B}</math> ist die [[Boltzmann-Konstante]], <math>T</math> die [[absolute Temperatur]],  <math>r</math> der [[Radius]] der Teilchen und <math>\eta</math> die [[Viskosität]] der Flüssigkeit bzw. des Gases.
Ein wichtiger Aspekt der Formel ist, dass hier die Boltzmann-Konstante <math>k_\mathrm{B} </math> mit makroskopisch messbaren Größen verknüpft wird. Das ermöglicht die direkte experimentelle Bestimmung dieser Größe und damit der [[Avogadro-Konstante]] und weiter der Anzahl, Größe und Masse der wegen ihrer Kleinheit unsichtbaren Moleküle.

Die einfachste Herleitung stammt von Langevin:

Ein Teilchen der Masse <math>m</math> folgt der Bewegungsgleichung (hier nur in <math>x</math>-Richtung)
: <math>m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=F_x - f\, \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\ ,</math>
wenn neben einer Kraft <math>F_x</math> vom Medium eine [[Reibungskraft]] <math>F_R = - f\, \mathrm{d}x/\mathrm{d}t</math> ausgeübt wird. Nach Multiplikation mit <math>x</math> kann das umgeformt werden zu
: <math>\frac12 m \cdot \frac{d}{\mathrm{d}t}\left(  \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t} \right) - m \cdot \left(  \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2= x\cdot F_x - \frac12 f \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t}\ .</math>
Hiervon wird der Mittelwert über viele Teilchen gebildet (oder über viele wiederholte Beobachtungen am selben Teilchen). Auf der linken Seite der Gleichung wird  die Größe <math>x^2</math> im 1. Term dann zur mittleren quadratischen Entfernung des Teilchens vom Punkt <math>x=0</math>, also zur Varianz <math>V</math> der von vielen Teilchen gebildeten statistischen Verteilung. Der 2. Term auf der linken Seite wird die mittlere kinetische Energie und ist durch den [[Gleichverteilungssatz]] gegeben:
: <math> \frac12 m \cdot \left(  \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2= \overline{E_\text{kin,x}} = \frac12 k_\mathrm{B} T\ .</math>
Der Durchschnittswert des Terms <math>x\cdot F_x</math> verschwindet, wenn die Kräfte <math>F_x</math> von ungeordneten Stößen der Moleküle herrühren, die das Teilchen im Mittel weder nach <math>+x</math> noch nach <math>-x</math> stoßen. Für die Durchschnittswerte bleibt also:
: <math>\frac12 m \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(  \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} \right) = k_\mathrm{B} T  - \frac12 f \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\ .</math>
Das ist eine Differentialgleichung, nach der die Varianz <math>V(t)</math> mit der Zeit anwächst, wobei die Geschwindigkeit einem Sättigungswert zustrebt. Nach Erreichen dieses stationären Zustands verschwindet die linke Seite der Gleichung und es bleibt:
: <math>\frac12 f \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =  k_\mathrm{B} T  \ .</math>
<math>V(t)</math> wächst dann also proportional zur Zeit. Einsetzen von <math>f= 6 \pi r  \eta</math> ([[Gesetz von Stokes]]) ergibt schließlich die oben angegebene Formel für den mittleren quadratischen Abstand vom Ausgangspunkt.

== Mathematisches Modell ==
In der Mathematik ist eine ''brownsche Bewegung'' <math>B = (B_t)_{t \in [0,\infty]}</math> ein zentrierter [[Gauß-Prozess]] mit [[Kovarianzfunktion]] <math>\operatorname{Cov}(B_t,B_s) = \operatorname{min}(t,s)</math> für alle <math>t,s \geq 0</math>. Der resultierende [[Stochastischer Prozess|stochastische Prozess]] ist heute zu Ehren von [[Norbert Wiener]], der die [[Wahrscheinlichkeitstheorie|wahrscheinlichkeitstheoretische]] Existenz desselben 1923 bewies, als [[Wiener-Prozess]] bekannt.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine brownsche Bewegung mathematisch zu konstruieren:
* die abstrakte Konstruktion anhand des Schemas von [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|Kolmogorow]], wobei man dann Probleme mit der Pfadstetigkeit bekommt.
* die [[Paul Lévy (Mathematiker)|Lévy]]-[[Zbigniew Ciesielski|Ciesielski]]-Konstruktion: Hierbei wird die brownsche Bewegung mit Hilfe der durch das [[Alfréd Haar|Haar]]<nowiki/>system auf <math> C([0,1]) </math> induzierten [[Schauderbasis]] bereits als stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden konstruiert.
* Seien <math>Z_0</math>, <math>Z_1</math>, … unabhängig und [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]],
dann ist
:<math>S(t) = Z_0 t + \sum_{k=1}^\infty Z_k \frac{\sqrt{2} \sin(k \pi t)}{k \pi}</math>
eine brownsche Bewegung.

Die brownsche Bewegung spielt auch bei der [[Simulation]] von [[Aktienkurs]]verläufen eine Rolle, außerdem dient sie als Grundlage der Erforschung von [[Warteschlange]]n.<ref>[http://www.sueddeutsche.de/wissen/mathematik-des-schlangestehens-beim-warten-sind-wir-wie-molekuele-1.579604 ''Mathematik des Schlangestehens „Beim Warten sind wir wie Moleküle“.''] auf sueddeutsche.de, 17. Mai 2010.</ref>

== Siehe auch ==
* [[brownsche Brücke]]
* [[gebrochene brownsche Bewegung]]
* [[geometrische brownsche Bewegung]]
* [[diffusionsbegrenztes Wachstum]]
* [[molekulare Ratsche]]
* [[maxwellscher Dämon]]

== Weblinks ==
* [http://schulen.eduhi.at/riedgym/physik/10/waerme/temperatur/brownsche_bewegung.htm Anschauungsmaterial (www.eduhi.at)]
* [http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/bmotion.pdf E. Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion] (PDF-Datei; 465&nbsp;kB)
* [http://www.cornelsen.de/physikextra/htdocs/Teilchen1.html Java-Applet zu Brown’schen Bewegung]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4128328-4}}

[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Stochastische Differentialgleichung]]
[[Kategorie:1827]]
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