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Der französische Astronom [[Michel Hénon]] fand die folgende | Der französische Astronom [[Michel Hénon]] fand die folgende zweidimensionale Abbildung, die sogenannte '''Hénon-Abbildung''', die aus einer Vereinfachung der zur [[Lorenz-Attraktor|Lorenz-Gleichung]] gehörenden [[Poincaré-Abbildung]] hergeleitet wurde. Die Lorenz-Gleichung stammte ursprünglich aus der [[Meteorologie]] und war eines der ersten [[dynamisches System|dynamischen Systeme]], in denen man [[Chaosforschung|chaotisches Verhalten]] gefunden hat. Die Hénon-Abbildung wird beschrieben durch:<ref name="falconer1993"/> | ||
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mit <math>a>0, 0 \leq b\leq 1</math>. Hierbei sind a und b die Kontrollparamenter des Systems. | mit <math>a>0, 0 \leq b\leq 1</math>. Hierbei sind a und b die Kontrollparamenter des Systems. | ||
Die Hénon-Abbildung setzt sich aus insgesamt drei Elementarabbildungen <math>Abb_{k}</math> mit k=1,2,3 zusammen: | Die Hénon-Abbildung setzt sich aus insgesamt drei Elementarabbildungen <math>Abb_{k}</math> mit k=1,2,3 zusammen:<ref name="falconer1993"/> | ||
* nichtlineare Verbiegung der y-Koordinate: <math>Abb_{1}(x,y)=(x,1+y+ax^{2})</math>, | * nichtlineare Verbiegung der y-Koordinate: <math>Abb_{1}(x,y)=(x,1+y+ax^{2})</math>, | ||
* [[Kontraktion (Mathematik)|Kontraktion]] der x-Koordinate: <math>Abb_{2}(x,y)=(bx,y)</math> für 0<b<1, | * [[Kontraktion (Mathematik)|Kontraktion]] der x-Koordinate: <math>Abb_{2}(x,y)=(bx,y)</math> für 0<b<1, | ||
* [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an der Hauptdiagonalen y=x: <math>Abb_{3}(x,y)=(y,x)</math>. | * [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an der Hauptdiagonalen y=x: <math>Abb_{3}(x,y)=(y,x)</math>. | ||
Es sei noch erwähnt, dass eine weitere wichtige Eigenschaft dieser Abbildung die [[Selbstähnlichkeit]] ist. In einfachen Worten ausgedrückt versteht man darunter eine [[fraktal]]e Vergrößerung eines beliebigen Teilbereichs, der wieder seinem Anfangsobjekt ähnlich ist. Der Attraktor der Hénon-Abbildung ist ein [[ | Es sei noch erwähnt, dass eine weitere wichtige Eigenschaft dieser Abbildung die [[Selbstähnlichkeit]] ist. In einfachen Worten ausgedrückt versteht man darunter eine [[fraktal]]e Vergrößerung eines beliebigen Teilbereichs, der wieder seinem Anfangsobjekt ähnlich ist. Der [[Attraktor]] der Hénon-Abbildung ist ein [[seltsamer Attraktor]]. | ||
== Einzelnachweise == | |||
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<ref name="falconer1993">{{Literatur |Autor=Kenneth J. Falconer |Titel=Fraktale Geometrie – Mathematische Grundlagen und Anwendungen |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=1993 |ISBN=3-86025-075-2 |Seiten=207–209}}</ref> | |||
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[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]] | [[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]] | ||
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Der französische Astronom Michel Hénon fand die folgende zweidimensionale Abbildung, die sogenannte Hénon-Abbildung, die aus einer Vereinfachung der zur Lorenz-Gleichung gehörenden Poincaré-Abbildung hergeleitet wurde. Die Lorenz-Gleichung stammte ursprünglich aus der Meteorologie und war eines der ersten dynamischen Systeme, in denen man chaotisches Verhalten gefunden hat. Die Hénon-Abbildung wird beschrieben durch:[1]
$ {\begin{matrix}x_{n+1}=1+y_{n}-ax_{n}^{2}\\y_{n+1}=bx_{n}\end{matrix}} $
mit $ a>0,0\leq b\leq 1 $. Hierbei sind a und b die Kontrollparamenter des Systems.
Die Hénon-Abbildung setzt sich aus insgesamt drei Elementarabbildungen $ Abb_{k} $ mit k=1,2,3 zusammen:[1]
Es sei noch erwähnt, dass eine weitere wichtige Eigenschaft dieser Abbildung die Selbstähnlichkeit ist. In einfachen Worten ausgedrückt versteht man darunter eine fraktale Vergrößerung eines beliebigen Teilbereichs, der wieder seinem Anfangsobjekt ähnlich ist. Der Attraktor der Hénon-Abbildung ist ein seltsamer Attraktor.
