Mischungskreuz: Unterschied zwischen den Versionen

Mischungskreuz: Unterschied zwischen den Versionen

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Das '''Mischungskreuz''' (auch '''Andreaskreuz''' genannt) ist eine anschauliche Methode, um die Verhältnisse zweier Komponenten für eine Mischung zu berechnen. In der Chemie wird es verwendet, um [[Konzentration (Chemie)|Konzentrationen]] und [[Stoffmenge|Mengenverhältnisse]] in Flüssigkeiten oder Mischungen aus festen Komponenten zu errechnen. Dies kommt beim Mischen gelöster Stoffe (z. B. [[Säuren]], [[Salze]] oder [[Laugen]]) mit unterschiedlichen Ausgangskonzentrationen vor. Das Mischungskreuz ist eine Anwendung des [[Massenerhaltungssatz]]es  bzw. der Erhaltung der [[Stoffmenge]]. Die Berechnungen über das Mischungskreuz funktionieren daher nur mit [[Masse (Physik)|Massen]] oder Stoffmengen. Wenn man mit Volumina rechnen möchte, muss man vorher die einzelnen Volumina mit Hilfe der [[Dichte]] in eine Masse umrechnen. Man erhält dann als Ergebnis eine Masse. Diese lässt sich mit der Dichte (bzw. über eine Prozentrechnung) wieder in ein Volumen umrechnen (Dichte = Masse/Volumen in [g/ml] oder [kg/l]).
[[Datei:Mischungskreuz.svg|mini|Mischungskreuz. Die Gehalte der Zutaten stehen links oben und unten, dazwischen der gewünschte Gehalt der Mischung. Rechts oben und unten stehen Differenzen dieser Gehalte. Deren Zahlenwerte werden als zu verwendende Teilmengen interpretiert.]]
Das '''Mischungskreuz''' (auch '''Andreaskreuz''' genannt) ist ein Rechenschema für das Mengenverhältnis zweier Zutaten einer Mischung, also die Gewichtsfaktoren im [[Arithmetisches Mittel#Gewichtetes arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]], für einen gewünschten Mittelwert. Die Kreuzform deutet an, dass von der einen Zutat umso mehr benötigt wird, je weiter der Gehalt der anderen Zutat vom angestrebten Mittelwert abweicht.


Weiter dient das Mischungskreuz zur Berechnung der Anteile an festen Stoffen (z. B. Mehl, Gebäck), die zu einer gewünschten Mischung vermengt werden müssen, oder für Mischkalkulationen im kaufmännischen Kontext. Das analoge Vorgehen zur Bestimmung von Mischtemperaturen wird [[Richmannsche Mischungsregel]] genannt.
Oft ist die zu mittelnde Größe der [[Massenanteil]] eines Stoffes, seltener die [[spezifische Partialstoffmenge]]. Auch kann eine bestimmte [[Temperatur]] der Mischung gefordert sein, siehe [[Richmannsche Mischungsregel]]. [[Konzentration (Chemie)|Konzentrationsangaben]] funktionieren nur, wenn das Volumen beim Mischen konstant bleibt, wie bei idealen Gasen (unter konstantem Druck) oder bei stark verdünnten Lösungen (mit dem gleichen Lösungsmittel).


== Prinzip ==
== Herleitung ==
Das Mischungskreuz ist eine Methode, mit der man die [[Masse (Physik)|Massenanteile]] berechnen kann, die man benötigt, um aus zwei Stammlösungen, d. h. Lösungen mit bekannten Konzentrationen, eine Lösung mit einer bestimmten Zielkonzentration zu erzeugen. Da die [[Stoffmenge]] eines gelösten Stoffs bei einer [[Verdünnung]] konstant bleibt, gilt – unter der Voraussetzung, dass die Konzentration des gelösten Stoffes im Verdünnungsmittel null ist – dass das Produkt aus Konzentration c und Volumen V (als eine Definition der Stoffmenge) eines gelösten Stoffes konstant bleibt:
Beim Mischen zweier Zutaten A und B zu einer Mischung C bleibt die Masse <math>m</math> des interessierenden Stoffes erhalten (rechte und linke Seite der folgenden Gleichung, berechnet aus Massen und Massenanteilen <math>w</math>):
:<math> c_1 V_1 = c_2 V_2</math>
:<math> m_A w_A + m_B w_B = (m_A + m_B) w_C</math>


Der Index 1 bezeichnet dabei den Ausgangszustand, der Index 2 den Endzustand. Ist der betrachtete Stoff in beiden Lösungen A und B vorhanden, so gilt
Wird diese Gleichung durch die Klammer geteilt, so ergibt sich die Formel für das gewichtete arithmetische Mittel. Für die Umkehrung derselben teilen wir nur durch <math>{m_B}</math> und lösen nach <math>\frac{m_A}{m_B}</math> auf:
: <math> c_{A1} V_{A1} + c_{B1} V_{B1} = c_2 V_2</math>
:<math>\frac{m_A}{m_B} = \frac{w_C - w_B}{w_A - w_C}</math>
mit dem Gesamtvolumen
Zähler und Nenner der rechten Seite stehen im Mischungskreuz rechts oben bzw. unten. Die sich ergebenden Zahlenwerte als Massen <math>m_A</math> und <math>m_B</math> interpretiert, ergäben eine Gesamtmasse der Mischung entsprechend dem Zahlenwert von <math>w_A - w_B</math>. Für eine beliebige Gesamtmasse <math>m_C</math> kann man normierte Gewichte<ref>Die Gewichte sollten positiv herauskommen, ggf. nach Kürzen negativer Vorzeichen in Zähler ''und'' Nenner (im Fall <math>w_A < w_B</math>). Sollte nur der Zähler oder nur der Nenner negativ sein, dann liegt ein Rechenfehler vor oder <math>w_C</math> nicht zwischen <math>w_A</math> und <math>w_B</math>.</ref> verwenden:
: <math>V_2 = V_{A1} + V_{B1}</math>.
:<math>r_A = \frac{m_A}{m_A + m_B} = \frac{w_C - w_B}{w_A - w_B}</math>
Einsetzen und Auflösen nach dem Volumenverhältnis <math>\frac{V_{A1}}{V_{B1}}</math> ergibt
: <math>\frac{V_{A1}}{V_{B1}} = \frac{c_2 - c_{B1}}{c_{A1} - c_2}</math>.


== Schema ==
:<math>r_B = 1 - r_A</math>
[[Datei:Mischungskreuz BMK.svg|mini|300px|Schema Mischungkreuz am Beispiel einer Weizenmischung]]
Damit ergeben sich die benötigten Massen der Zutaten zu
Vereinfacht ausgedrückt, gibt es in jedem Mischungskreuz eine „Gewinnsorte“ und eine „Verlustsorte“ gegenüber der gewünschten Mischung – sie stehen auf der linken Seite. Die gewünschte Mischung steht immer in der Mitte. Ziel der Berechnung ist es, zu ermitteln, mit welchen Massenanteilen (sie werden auf der rechten Seite errechnet) der beiden Mischungspartner der Gewinn und Verlust gegenüber der Mischung ausgeglichen werden kann. Da sich die Massenanteile ''umgekehrt proportional'' zu Gewinn und Verlust verhalten, ergibt sich schematisch die „Berechnung über Kreuz“.
:<math>m_A = r_A m_C</math>,
:<math>m_B = r_B m_C</math>.


''Beispiel:''
== Anwendungen ==
Zwei Posten Weizen sollen so gemischt werden, dass eine Dezitonne der Mischung für 49&nbsp;€ verkauft werden kann. Der Verkaufspreis für ''Sorte A'' beträgt 52&nbsp;€/dt, der für ''Sorte B'' beträgt 45&nbsp;€/dt.
=== Schulnoten ===
a) In welchem Verhältnis müssen die beiden Sorten gemischt werden?
Ein einseitig interessierter Schüler hat regelmäßig drei Einsen, in Mathe, Physik und Chemie, sonst nur Dreien und Vieren, abhängig vom Einsatz. Er strebt einen Mittelwert von 3,0 an. Wie viele Vieren darf er sich erlauben? (Die Zahl der Dreien ist nicht relevant für einen Mittelwert von 3,0).
b) Wie viel dt müssen von jeder Sorte genommen werden, wenn insgesamt 24 dt Mischung benötigt werden?
 
Lösung a) Das Mischungsverhältnis ist 4:3. Die Mischung demnach 7 Teile.
Da der Abstand einer Vier vom Mittelwert (4 − 3 = 1) halb so groß ist wie der Abstand der Einsen vom Mittelwert (3 − 1 = 2), kann er sich doppelt so viele, also sechs Vieren erlauben.
Lösung b) 7 Teile entsprechen 24 dt. 4 Teile von Sorte A sind demnach <math>\tfrac{24}{7} \cdot 4</math> = 13,71 dt. 3 Teile von Sorte B sind <math>\tfrac{24}{7} \cdot 3</math> = 10,29 dt. Beide Anteile ergeben zusammen 24 dt.


== Anwendungen ==
=== Mischen von Flüssigkeiten ===
=== Mischen von Flüssigkeiten ===
[[Datei:Mischungskreuz.svg|mini|300px|Mischungskreuz]]
''Beispielrechnung 1'' (Mischen mit reinem Wasser, d.&nbsp;h., y = 0):<br />
Auf der linken Seite des Mischungskreuzes werden die bekannten Ausgangskonzentrationen der Flüssigkeiten eingetragen.
Es soll eine 35-prozentige Säure mit Wasser so gemischt werden, dass sich eine 22-prozentige Säure ergibt.
An den Kreuzungspunkt schreibt man die gewünschte Zielkonzentration der Mischung.
Nun bildet man die Differenz aus der bekannten Konzentration links oben und der gewünschten Zielkonzentration in der Mitte und notiert das Ergebnis rechts unten. Dann bildet man die Differenz aus der bekannten Konzentration links unten und der gewünschten Zielkonzentration in der Mitte und schreibt das Ergebnis rechts oben auf. Negative Ergebnisse werden ohne [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] notiert ([[Betragsfunktion|Betragsrechnung]]).
Auf der rechten Seite des Mischungskreuzes erhält man dann als Ergebnis die „Anteile an der Gesamtmasse“ (nicht am Volumen!), mit denen man die gewünschte Zielkonzentration herstellen kann.
 
''Beispielrechnung 1'' (Mischen mit reinem Wasser):<br />
Es soll eine 35-prozentige Säure mit Wasser so gemischt werden, dass sich eine Ziellösung von 6 % Säureanteil ergibt.
Wie viel Wasser und wie viel Säure werden benötigt?
Wie viel Wasser und wie viel Säure werden benötigt?


Die Ausgangskonzentrationen auf der linken Seite sind 35 % für die Säure und 0 % für das Wasser, in der Mitte steht die gewünschte Zielkonzentration, in diesem Fall 6 %
Die Massenanteile auf der linken Seite sind ''w'' = 35 % für die Säure und ''w'' = 0 % für das Wasser, in der Mitte steht der Zielwert von 22 %.


{| class="wikitable float-right"
{| class="wikitable float-right"
| <math>
| <math>
\begin{array}{ccccc}
\begin{array}{ccccc}
 
  \text{35} & {}         & {}         & {}       & 22 - 0 = 22  \\
  \text{35}             & {}                 & {}                   & {}                 & \vert 0 - 6 \vert  = 6        \\
  {}         & \diagdown & {}         & \nearrow & {}           \\
  {}                     & \diagdown         & {}                   & \nearrow           & {}                           \\
  {}         & {}         & \text{22} & {}       & {}           \\
  {}                     & {}                 & \text{6}             & {}                 & {}                           \\
  {}         & \diagup   & {}         & \searrow & {}           \\
  {}                     & \diagup           & {}                   & \searrow           & {}                           \\
  \text{0}   & {}         & {}         & {}       & 35 - 22 = 13
  \text{0}               & {}                 & {}                   & {}                 & \vert 35 - 6 \vert  = 29
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
|}
|}


* 35&nbsp;–&nbsp;6 ergeben 29&nbsp;Teile,
Insgesamt sind es 35 Teile. Es werden folglich 22 Teile der 35-prozentigen Säure und 13 Teile Wasser benötigt, um eine 22-prozentige Säure herzustellen.
* 0&nbsp;–&nbsp;6 ergeben 6 Teile, (Vorzeichen wird weggelassen)


insgesamt sind es 35 Gesamtteile. Es werden folglich 6 Teile der 35-prozentigen Säure und 29 Teile Wasser benötigt, um eine 6-prozentige Säure herzustellen.
Sollen 1000&nbsp;g der 22-prozentigen Mischung hergestellt werden, benötigt man demnach:
* Säure&nbsp;&nbsp;: (1000 g / 35) * 22 = 629 g
* Wasser: (1000 g / 35) * 13 = 371 g
Wegen y = 0 reicht ein Dreisatz: 1000 g Säure (unverdünnt) ist 35-prozentig, 22/35*1000 g = 629 g Säure mit Wasser ergänzt auf 1000 g ist 22-prozentig.


Sollen 1000&nbsp;g einer 6-prozentigen Ziellösung hergestellt werden, benötigt man demnach:
''Beispielrechnung 2'' (Mischen mit 15-prozentiger Säure):<br />
* 35-prozentige Säure:  [1000 g / 35] * 6 = 171 g
Statt mit Wasser könnte auch mit 15-prozentiger Säure verdünnt werden:
* Wasser: [1000 g / 35] * 29 = 829 g
 
''Beispielrechnung 2'' (Mischen mit einer zweiten Säuremischung):<br />
An Stelle von 0 % (für die Konzentration von Wasser) könnte links auch ein Wert für eine 15-prozentige Säure stehen:
{| class="wikitable float-right"
{| class="wikitable float-right"
| <math>
| <math>
\begin{array}{ccccc}
\begin{array}{ccccc}
 
  \text{35} & {}         & {}         & {}       & 22 - 15 = 7   \\
  \text{35}             & {}                 & {}                   & {}                 & \vert 15 - 22 \vert  = 7       \\
  {}         & \diagdown & {}         & \nearrow & {}           \\
  {}                     & \diagdown         & {}                   & \nearrow           & {}                           \\
  {}         & {}         & \text{22} & {}       & {}           \\
  {}                     & {}                 & \text{22}             & {}                 & {}                           \\
  {}         & \diagup   & {}         & \searrow & {}           \\
  {}                     & \diagup           & {}                   & \searrow           & {}                           \\
  \text{15} & {}         & {}         & {}       & 35 - 22 = 13
  \text{15}             & {}                 & {}                   & {}                 & \vert 35 - 22 \vert  = 13
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
|}
|}
Bei einer Zielkonzentration von 22 % müssten dann
Bei einem gewünschten Massenanteil von 22 % müssten dann
* 22 – 15 = 7 Teile 35-prozentige Säure und
* 22 – 15 = &nbsp; 7 Teile 35-prozentige Säure und
* 35 – 22 = 13 Teile 15-prozentige Säure
* 35 – 22 = 13 Teile 15-prozentige Säure
gemischt werden.
gemischt werden, insgesamt 20 Teile.


Sollen 1000&nbsp;g der 22-prozentigen Ziellösung hergestellt werden, benötigt man demnach:
Für 1000&nbsp;g der 22-prozentigen Säure benötigt man also
* 35-prozentige Säure:  [1000 g / ( 7+13 )] * 7 = 350 g
* 35-prozentige Säure:  (1000 g / 20) * 7 = 350 g
* 15-prozentige Säure:  [1000 g / ( 7+13 )] * 13 = 650 g
* 15-prozentige Säure:  (1000 g / 20) *13 = 650 g


=== Legierungen ===
=== Legierungen ===
Das Mischungskreuz eignet sich auch zur näherungsweisen Berechnung der Masseanteile in [[Legierung]]en von  Metallen, z.B. der Anteile von Zink und Kupfer in einer Messinglegierung. Wegen der Kristallgitterstruktur von Metallen ergibt die Berechnung mit dem Mischungskreuz nur ungefähre Werte. Die Formeln zur genauen Berechnung finden sich im Artikel [[Stoffmengenanteil]].
Das Mischungskreuz eignet sich nicht zur Abschätzung der Masseanteile binärer [[Legierung]]en über die [[Dichte]]. Z.B. sind für [[Kupfer]], [[Zink]] und [[Messing]] CuZn40 (40 % Zn) Dichten von 8,92 (x), 7,14 (y) bzw. 8,41 (z) angegeben (in g/cm³). Die Berechnung des Zink-Anteils per Mischungskreuz ergibt (x-z)/(x-y) = 29 %. Der Unterschied ist wesentlich: Bis 37 % Zn ist Messing einphasig (α-Struktur), darüber zweiphasig (α+β).


''Beispielrechnung'':
=== Allgemein ===
 
[[Datei:Mischungskreuz Tee BMK.svg|mini|130px|Mischungskreuz]]
Für die Dichte einer Messinglegierung wurde durch Wägen und Volumenberechnung der
Allgemein eignet sich das Mischungskreuz stets, wenn das gewichtete arithmetische Mittel angemessen, also [[Linearität]] gegeben ist. Im kaufmännischen Kontext etwa ist das der Fall für die Kosten der Zutaten einer Mischung. Kosten z.&nbsp;B. zwei Teesorten 26 bzw. 37&nbsp;€/kg, so lässt sich das Mischungsverhältnis für einen Mittelwert von 34&nbsp;€/kg wie folgt berechnen:
Wert 8,32&nbsp;g/cm³ ermittelt.
* subtrahiere 26 von 34, ergibt 8 (Teile von der teureren Teesorte),
Reines Zink besitzt nach Tabelle eine Dichte von 6,97&nbsp;g/cm³ und Kupfer eine Dichte von 8,61&nbsp;g/cm³.
* subtrahiere 34 von 37, ergibt 3 (Teile von der weniger teuren Sorte).
Auf der linken Seite des Mischungskreuzes setzt man die „Ausgangskonzentrationen“
37 − 26 = 8 + 3 = 11 Teile. Das gewichtete arithmetische Mittel lautet dann (in €/kg):
6,97 (für reines Zink) und 8,61 (für reines Kupfer) ein.
:<math>\tfrac 8{11}37 + \tfrac 3{11}26 = 34.</math>
In die Mitte setzt man den Mischungswert 8,32 für Messing als Zielzahl ein.
Nun wird diagonal subtrahiert:
Subtrahiert man 8,32 von 8,61 ergibt sich 0,29 -- sind 29 Teile Zink
Subtrahiert man 8,32 von 6,97 ergibt sich 1,35 -- sind 135 Teile Kupfer.
29 Teile + 135 Teile = 164 Teile = Gesamtmasse = 100 %
29 Teile entsprechen somit 17,7 % (=Zink). 135 Teile entsprechen 82,3 % (= Kupfer)
Die vorhandene Messinglegierung besteht demnach aus ca. 18 % Zink und 82 % Kupfer.
 
=== Mischkalkulation ===
[[Datei:Mischungskreuz Tee BMK.svg|mini|Mischungskreuz]]
Das Mischungskreuz eignet sich auch zur Berechnung von Mischungsverhältnissen im kaufmännischen Kontext.
 
''Beispielrechnung'':
''Teesorte 1'' kostet 2,60 Euro pro 100&nbsp;g, ''Teesorte 2'' kostet 3,70 Euro pro 100&nbsp;g. Berechnen Sie ein Mischungsverhältnis für eine Teemischung vom Preis 3,40 Euro pro 100&nbsp;g.
* Subtrahiert man 2,60 von 3,40 ergibt sich 0,80 — sind 8 Teile ''Teesorte 2''
* Subtrahiert man 3,40 von 3,70 ergibt sich 0,30 — sind 3 Teile ''Teesorte 1''
8 Teile + 3 Teile sind 11 Teile. Man kann beispielsweise 800&nbsp;g ''Teesorte 2'' und 300&nbsp;g ''Teesorte 1'' zu 1,1&nbsp;kg Teemischung zum Preis 3,40 Euro pro 100&nbsp;g mischen.
 
8 Teile entsprechen somit ca. 73 % ''Teesorte 2''; 3 Teile entsprechen ca. 27 % ''Teesorte 1''.


== Literatur ==
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   |Ort=Berlin / Heidelberg
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   |Datum=1997
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  |ISBN=978-3-540-62435-6
   |Seiten=288 f.
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   |Online={{Google Buch |BuchID=Fwq2bpc_w00C |Seite=228}}}}
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   |ISBN=978-3-8171-1621-8}}
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== Einzelnachweise ==
<references />


[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Chemiedidaktik]]
[[Kategorie:Chemie]]
[[Kategorie:Pharmakologie]]
[[Kategorie:Handel]]
[[Kategorie:Elementare Algebra]]

Aktuelle Version vom 23. November 2021, 23:05 Uhr

Mischungskreuz. Die Gehalte der Zutaten stehen links oben und unten, dazwischen der gewünschte Gehalt der Mischung. Rechts oben und unten stehen Differenzen dieser Gehalte. Deren Zahlenwerte werden als zu verwendende Teilmengen interpretiert.

Das Mischungskreuz (auch Andreaskreuz genannt) ist ein Rechenschema für das Mengenverhältnis zweier Zutaten einer Mischung, also die Gewichtsfaktoren im arithmetischen Mittel, für einen gewünschten Mittelwert. Die Kreuzform deutet an, dass von der einen Zutat umso mehr benötigt wird, je weiter der Gehalt der anderen Zutat vom angestrebten Mittelwert abweicht.

Oft ist die zu mittelnde Größe der Massenanteil eines Stoffes, seltener die spezifische Partialstoffmenge. Auch kann eine bestimmte Temperatur der Mischung gefordert sein, siehe Richmannsche Mischungsregel. Konzentrationsangaben funktionieren nur, wenn das Volumen beim Mischen konstant bleibt, wie bei idealen Gasen (unter konstantem Druck) oder bei stark verdünnten Lösungen (mit dem gleichen Lösungsmittel).

Herleitung

Beim Mischen zweier Zutaten A und B zu einer Mischung C bleibt die Masse $ m $ des interessierenden Stoffes erhalten (rechte und linke Seite der folgenden Gleichung, berechnet aus Massen und Massenanteilen $ w $):

$ m_{A}w_{A}+m_{B}w_{B}=(m_{A}+m_{B})w_{C} $

Wird diese Gleichung durch die Klammer geteilt, so ergibt sich die Formel für das gewichtete arithmetische Mittel. Für die Umkehrung derselben teilen wir nur durch $ {m_{B}} $ und lösen nach $ {\frac {m_{A}}{m_{B}}} $ auf:

$ {\frac {m_{A}}{m_{B}}}={\frac {w_{C}-w_{B}}{w_{A}-w_{C}}} $

Zähler und Nenner der rechten Seite stehen im Mischungskreuz rechts oben bzw. unten. Die sich ergebenden Zahlenwerte als Massen $ m_{A} $ und $ m_{B} $ interpretiert, ergäben eine Gesamtmasse der Mischung entsprechend dem Zahlenwert von $ w_{A}-w_{B} $. Für eine beliebige Gesamtmasse $ m_{C} $ kann man normierte Gewichte[1] verwenden:

$ r_{A}={\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}={\frac {w_{C}-w_{B}}{w_{A}-w_{B}}} $
$ r_{B}=1-r_{A} $

Damit ergeben sich die benötigten Massen der Zutaten zu

$ m_{A}=r_{A}m_{C} $,
$ m_{B}=r_{B}m_{C} $.

Anwendungen

Schulnoten

Ein einseitig interessierter Schüler hat regelmäßig drei Einsen, in Mathe, Physik und Chemie, sonst nur Dreien und Vieren, abhängig vom Einsatz. Er strebt einen Mittelwert von 3,0 an. Wie viele Vieren darf er sich erlauben? (Die Zahl der Dreien ist nicht relevant für einen Mittelwert von 3,0).

Da der Abstand einer Vier vom Mittelwert (4 − 3 = 1) halb so groß ist wie der Abstand der Einsen vom Mittelwert (3 − 1 = 2), kann er sich doppelt so viele, also sechs Vieren erlauben.

Mischen von Flüssigkeiten

Beispielrechnung 1 (Mischen mit reinem Wasser, d. h., y = 0):
Es soll eine 35-prozentige Säure mit Wasser so gemischt werden, dass sich eine 22-prozentige Säure ergibt. Wie viel Wasser und wie viel Säure werden benötigt?

Die Massenanteile auf der linken Seite sind w = 35 % für die Säure und w = 0 % für das Wasser, in der Mitte steht der Zielwert von 22 %.

$ {\begin{array}{ccccc}{\text{35}}&{}&{}&{}&22-0=22\\{}&\diagdown &{}&\nearrow &{}\\{}&{}&{\text{22}}&{}&{}\\{}&\diagup &{}&\searrow &{}\\{\text{0}}&{}&{}&{}&35-22=13\end{array}} $

Insgesamt sind es 35 Teile. Es werden folglich 22 Teile der 35-prozentigen Säure und 13 Teile Wasser benötigt, um eine 22-prozentige Säure herzustellen.

Sollen 1000 g der 22-prozentigen Mischung hergestellt werden, benötigt man demnach:

  • Säure  : (1000 g / 35) * 22 = 629 g
  • Wasser: (1000 g / 35) * 13 = 371 g

Wegen y = 0 reicht ein Dreisatz: 1000 g Säure (unverdünnt) ist 35-prozentig, 22/35*1000 g = 629 g Säure mit Wasser ergänzt auf 1000 g ist 22-prozentig.

Beispielrechnung 2 (Mischen mit 15-prozentiger Säure):
Statt mit Wasser könnte auch mit 15-prozentiger Säure verdünnt werden:

$ {\begin{array}{ccccc}{\text{35}}&{}&{}&{}&22-15=7\\{}&\diagdown &{}&\nearrow &{}\\{}&{}&{\text{22}}&{}&{}\\{}&\diagup &{}&\searrow &{}\\{\text{15}}&{}&{}&{}&35-22=13\end{array}} $

Bei einem gewünschten Massenanteil von 22 % müssten dann

  • 22 – 15 =   7 Teile 35-prozentige Säure und
  • 35 – 22 = 13 Teile 15-prozentige Säure

gemischt werden, insgesamt 20 Teile.

Für 1000 g der 22-prozentigen Säure benötigt man also

  • 35-prozentige Säure: (1000 g / 20) * 7 = 350 g
  • 15-prozentige Säure: (1000 g / 20) *13 = 650 g

Legierungen

Das Mischungskreuz eignet sich nicht zur Abschätzung der Masseanteile binärer Legierungen über die Dichte. Z.B. sind für Kupfer, Zink und Messing CuZn40 (40 % Zn) Dichten von 8,92 (x), 7,14 (y) bzw. 8,41 (z) angegeben (in g/cm³). Die Berechnung des Zink-Anteils per Mischungskreuz ergibt (x-z)/(x-y) = 29 %. Der Unterschied ist wesentlich: Bis 37 % Zn ist Messing einphasig (α-Struktur), darüber zweiphasig (α+β).

Allgemein

Mischungskreuz

Allgemein eignet sich das Mischungskreuz stets, wenn das gewichtete arithmetische Mittel angemessen, also Linearität gegeben ist. Im kaufmännischen Kontext etwa ist das der Fall für die Kosten der Zutaten einer Mischung. Kosten z. B. zwei Teesorten 26 bzw. 37 €/kg, so lässt sich das Mischungsverhältnis für einen Mittelwert von 34 €/kg wie folgt berechnen:

  • subtrahiere 26 von 34, ergibt 8 (Teile von der teureren Teesorte),
  • subtrahiere 34 von 37, ergibt 3 (Teile von der weniger teuren Sorte).

37 − 26 = 8 + 3 = 11 Teile. Das gewichtete arithmetische Mittel lautet dann (in €/kg):

$ {\tfrac {8}{11}}37+{\tfrac {3}{11}}26=34. $

Literatur

  • Martin Holtzhauer: Biochemische Labormethoden. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 1997, ISBN 978-3-540-62435-6, S. 288 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Reiner Friebe, Karl Rauscher: Chemische Tabellen und Rechentafeln für die analytische Praxis. 11. Auflage. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 978-3-8171-1621-8.

Einzelnachweise

  1. Die Gewichte sollten positiv herauskommen, ggf. nach Kürzen negativer Vorzeichen in Zähler und Nenner (im Fall $ w_{A}<w_{B} $). Sollte nur der Zähler oder nur der Nenner negativ sein, dann liegt ein Rechenfehler vor oder $ w_{C} $ nicht zwischen $ w_{A} $ und $ w_{B} $.