Richmannsche Mischungsregel

Die Richmannsche Mischungsregel ist eine Regel zur Bestimmung der Mischungstemperatur, die sich beim Zusammenbringen zweier (oder mehrerer) Körper unterschiedlicher Temperatur einstellt. Sie ist nach ihrem Entdecker Georg Wilhelm Richmann benannt.^[1]

Unter der Bedingung, dass keine Aggregatzustandsänderung auftritt und das System aus den Körpern abgeschlossen ist (insbesondere nur Wärmeaustausch zwischen den Körpern möglich), gilt:

$ {\begin{aligned}Q_{\text{abgegeben}}&=Q_{\text{aufgenommen}}\\m_{1}\cdot \left(h_{1}(T_{1})-h_{1}(T_{\mathrm {m} })\right)&=m_{2}\cdot \left(h_{2}(T_{\mathrm {m} })-h_{2}(T_{2})\right)\\\end{aligned}} $

Können die spezifischen Wärmekapazitäten als konstant angenommen werden, so kann dies umgeformt werden zu

$ {\begin{aligned}m_{1}\cdot c_{1}\cdot (T_{1}-T_{\mathrm {m} })&=m_{2}\cdot c_{2}\cdot (T_{\mathrm {m} }-T_{2})\end{aligned}} $

Die aufgelöste Formel nach der Mischungstemperatur ist dann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_\mathrm{m} = \frac{m_{1}\cdot c_{1}\cdot T_{1}+m_{2}\cdot c_{2}\cdot T_{2}}{m_{1}\cdot c_{1}+m_{2}\cdot c_{2}}

Sind die Wärmekapazitäten nicht konstant, so kann die obige Formel mit einer mittleren Wärmekapazität für die Komponente i verwendet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \bar{c}_{i} = \frac{\int_{T_\mathrm{m}}^{T_{i}} c_{i}(T) \, \mathrm dT }{T_{i} - T_\mathrm{m}}

Die Anwendung dieser Formel erfordert eventuell ein iteratives Vorgehen bei der Ermittlung der Mischungstemperatur, da auch die mittlere Wärmekapazität temperaturabhängig ist.

Wobei

• m₁, m₂ für die Masse der Körper 1 und 2 steht,
• c₁(T), c₂(T) für die ggf. temperaturabhängige spezifische Wärmekapazität der Körper 1 und 2 steht,
• T₁ für die Temperatur des Körpers 1 steht, welcher Wärme abgibt, also der wärmere ist,
• T₂ für die Temperatur des Körpers 2 steht, welcher Wärme aufnimmt, also der kältere ist,
• T_m für die gemeinsame Temperatur beider Körper nach der Mischung steht,
• h₁(T) und h₂(T) für die spezifische Enthalpie der Körper 1 und 2 steht

Nach dem Erkennen der Energieerhaltung konnte die Mischungsregel aus der Erhaltung der Wärmeenergie hergeleitet werden.

Wenn die beiden Körper aus demselben Material sind (z. B. Mischung von kaltem mit warmen Wasser), also c₁ = c₂ gilt, dann kann auf die Verwendung der Konstanten c₁ und c₂ in der Formel verzichtet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_\mathrm{m} = \frac{m_{1}\cdot T_{1}+m_{2}\cdot T_{2}}{m_{1} +m_{2}}

Diese Formel ist ein gewichtetes arithmetisches Mittel. Ihre Umkehrung, also die Bestimmung der Gewichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,m_i/(m_1 + m_2) bei gegebener Zieltemperatur, gelingt mit dem Mischungskreuz.

Einzelnachweise