Modell harter Kugeln: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Harte Kugeln''' sind ein häufig verwendetes Teilchenmodell für [[Fluid]]e und [[Festkörper]] in der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]]. Sie sind definiert als nicht-durchdringbare Kugeln im Raum, die sich nicht überlappen können, und modellieren die starke Abstoßung, die Atome und kugelförmige [[Molekül]]e auf sehr kleinen Distanzen zueinander erfahren. Untersucht werden harte Kugeln mittels analytischer Methoden, durch Simulation [[Molekulardynamik-Simulation|molekularer Dynamik]] sowie die experimentelle Untersuchung von bestimmten [[Kolloid]]-Modellsystemen. | '''Harte Kugeln''' sind ein häufig verwendetes Teilchenmodell für [[Fluid]]e und [[Festkörper]] in der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]]. Sie sind definiert als nicht-durchdringbare Kugeln im Raum, die sich nicht überlappen können, und modellieren die starke Abstoßung, die Atome und kugelförmige [[Molekül]]e auf sehr kleinen Distanzen zueinander erfahren. Untersucht werden harte Kugeln mittels analytischer Methoden, durch Simulation [[Molekulardynamik-Simulation|molekularer Dynamik]] sowie die experimentelle Untersuchung von bestimmten [[Kolloid]]-Modellsystemen. Siehe auch [[Hard-core-Prozess]]. | ||
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Eine Tabelle von Virialkoeffizienten für bis zu acht Dimensionen können im SklogWiki<ref>{{Internetquelle |url=http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Hard_sphere:_virial_coefficients |titel=Hard sphere: virial coefficients page |werk=SklogWiki – a wiki for statistical mechanics and thermodynamics |autor= |sprache=en |datum=2014-05-20 |zugriff=2015-07-20}}</ref> gefunden werden. | Eine Tabelle von Virialkoeffizienten für bis zu acht Dimensionen können im SklogWiki<ref>{{Internetquelle |url=http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Hard_sphere:_virial_coefficients |titel=Hard sphere: virial coefficients page |werk=SklogWiki – a wiki for statistical mechanics and thermodynamics |autor= |sprache=en |datum=2014-05-20 |zugriff=2015-07-20}}</ref> gefunden werden. | ||
Das Harte-Kugeln-System bildet einen Flüssig-Fest-Phasenübergang zwischen den [[Packungsdichte (Kristallographie)|Packungsdichten]] für Gefrieren <math>\eta_\mathrm{f}\approx 0{,}494</math> und Schmelzen <math>\eta_\mathrm{m}\approx 0{,}545</math>. Der Druck divergiert | Das Harte-Kugeln-System bildet einen Flüssig-Fest-Phasenübergang zwischen den [[Packungsdichte (Kristallographie)|Packungsdichten]] für Gefrieren <math>\eta_\mathrm{f}\approx 0{,}494</math> und Schmelzen <math>\eta_\mathrm{m}\approx 0{,}545</math>. Der Druck divergiert bei der [[Dichteste Zufallspackung|dichtesten Zufallspackung]] <math>\eta_\mathrm{rcp}\approx 0{,}644</math> für den metastabilen Flüssigkeitszweig und bei [[Dichteste Kugelpackung|dichtesten Kugelpackung]] <math>\eta_\mathrm{cp}=\sqrt{2}\pi/6 \approx 0{,}74048</math> für den stabilen festen Zweig. | ||
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Der [[Strukturfaktor]] für eine Flüssigkeit aus harten Kugeln kann über die [[Jerome K. Percus|Percus]]-Yevick-Näherung berechnet werden. | Der [[Strukturfaktor]] für eine Flüssigkeit aus harten Kugeln kann über die [[Jerome K. Percus|Percus]]-Yevick-Näherung berechnet werden. | ||
[[Datei:Hard-sphere phase diagram pressure packing fraction.svg|mini|Phasendiagramm eines Systems harter Kugeln (Durchgezogene Line – stabiler Ast, gestrichelte Line – metastabiler Ast): Druck <math>P</math> als Funktion der [[Packungsdichte (Kristallographie)]] <math>\eta</math>]] | |||
== Verallgemeinerungen == | == Verallgemeinerungen == | ||
Aktuelle Version vom 2. November 2021, 17:39 Uhr
Harte Kugeln sind ein häufig verwendetes Teilchenmodell für Fluide und Festkörper in der statistischen Mechanik. Sie sind definiert als nicht-durchdringbare Kugeln im Raum, die sich nicht überlappen können, und modellieren die starke Abstoßung, die Atome und kugelförmige Moleküle auf sehr kleinen Distanzen zueinander erfahren. Untersucht werden harte Kugeln mittels analytischer Methoden, durch Simulation molekularer Dynamik sowie die experimentelle Untersuchung von bestimmten Kolloid-Modellsystemen. Siehe auch Hard-core-Prozess.
Formale Definition
Harte Kugeln mit Durchmesser $ \sigma $ sind Teilchen mit dem folgenden paarweisen Wechselwirkungspotential:
- $ V\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)={\begin{cases}0&\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|\geq \sigma \\\infty &\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|<\sigma \end{cases}} $
wobei $ \mathbf {r} _{1} $ und $ \mathbf {r} _{2} $ die Positionen der beiden Teilchen beschreiben.
Harte-Kugeln-Modell für ein Gas
Die ersten drei Virialkoeffizienten für harte Kugeln können analytisch ermittelt werden:
| $ {\frac {B_{2}}{v_{0}}} $ | = | $ 4{\frac {}{}} $ |
| $ {\frac {B_{3}}{{v_{0}}^{2}}} $ | = | $ 10{\frac {}{}} $ |
| $ {\frac {B_{4}}{{v_{0}}^{3}}} $ | = | $ -{\frac {712}{35}}+{\frac {219{\sqrt {2}}}{35\pi }}+{\frac {4131}{35\pi }}\arccos {\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 18{,}365 $ |
Koeffizienten höherer Ordnung können durch Monte-Carlo-Integration numerisch gefunden werden. Beispielhaft seien die folgenden aufgelistet:
| $ {\frac {B_{5}}{{v_{0}}^{4}}} $ | = | $ 28{,}24\pm 0{,}08 $ |
| $ {\frac {B_{6}}{{v_{0}}^{5}}} $ | = | $ 39{,}5\pm 0{,}4 $ |
| $ {\frac {B_{7}}{{v_{0}}^{6}}} $ | = | $ 56{,}5\pm 1{,}6 $ |
Eine Tabelle von Virialkoeffizienten für bis zu acht Dimensionen können im SklogWiki[1] gefunden werden.
Das Harte-Kugeln-System bildet einen Flüssig-Fest-Phasenübergang zwischen den Packungsdichten für Gefrieren $ \eta _{\mathrm {f} }\approx 0{,}494 $ und Schmelzen $ \eta _{\mathrm {m} }\approx 0{,}545 $. Der Druck divergiert bei der dichtesten Zufallspackung $ \eta _{\mathrm {rcp} }\approx 0{,}644 $ für den metastabilen Flüssigkeitszweig und bei dichtesten Kugelpackung $ \eta _{\mathrm {cp} }={\sqrt {2}}\pi /6\approx 0{,}74048 $ für den stabilen festen Zweig.
Harte-Kugeln-Modell für eine Flüssigkeit
Der Strukturfaktor für eine Flüssigkeit aus harten Kugeln kann über die Percus-Yevick-Näherung berechnet werden.
Verallgemeinerungen
Nicht nur Kugeln können mit einem harten Wechselwirkungspotential ausgestattet werden, sondern auch Körper beliebiger Geometrie.
Literatur
- J. P. Hansen, I. R. McDonald: Theory of Simple Liquids. 4. Auflage, Academic Press, London 2013, ISBN 978-0-12-387032-2.
Weblinks
- Hard sphere model. SklogWiki (zum Harte-Kugeln-Modell).
Einzelnachweise
- ↑ Hard sphere: virial coefficients page. In: SklogWiki – a wiki for statistical mechanics and thermodynamics. 20. Mai 2014, abgerufen am 20. Juli 2015 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).