Plastizitätstheorie: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. Oktober 2021, 22:43 Uhr

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Die Plastizitätstheorie ist das Teilgebiet der Kontinuumsmechanik, das sich mit irreversiblen Verformungen von Materie befasst. Sie beschreibt den Spannungs- und Verzerrungszustand fester Körper unter dem Einfluss einer Belastung, behandelt aber im Gegensatz zur Elastizitätstheorie keine reversible Verformung.

Jenseits der Proportionalitätsgrenze der Elastizitätstheorie treten verschiedene Formen von anelastischem Verhalten auf:

elastische Hysterese: bei kompletter Entlastung bleibt eine Verformung, die aber durch eine Gegenspannung wieder rückgängig gemacht werden kann.
Plastizität: eine nach Krafteinwirkung bleibende irreversible Formveränderung (Beispiel: Knetmasse).
eine weitere Dehnung trotz teilweiser Entlastung wird als Fließen bezeichnet.
auch ein Bruch des Werkstücks ist meist mit einem elastischen Anteil verbunden, d. h. ein Teil der Dehnung (der Bruchstücke) geht nach dem Bruch wieder zurück.

Forscher auf diesem Gebiet

Folgende Wissenschaftler waren u. a. an der Entwicklung der Plastizitätstheorie beteiligt:

Barré de Saint-Venant und sein Schüler Maurice Lévy
Ludwig Prandtl
Richard von Mises
Eugene Cook Bingham
Henri Tresca
Arpad Nadai
Heinrich Hencky
William Prager
Theodore von Kármán
Hilda Geiringer
Rodney Hill
Daniel Drucker
Wadim Sokolowski
Erastus Lee
Horst Lippmann
Lazar Katschanow (L. M. Kacanov).

Die plastische Deformation

In realen Medien ist jede Deformation nur bis zu einer gewissen Grenze elastisch. Wird diese Grenze überschritten, so tritt bei duktilen Materialien plastische Deformation (Plastisches Fließen) auf. Dabei kehrt der Körper mit dem Ausbleiben der für die Deformation verantwortlichen mechanischen Belastung nicht wieder in seine Ausgangsform zurück. In diesem Fall genügt die Angabe der Positionen von Punkten des Festkörpers nicht mehr zur Kennzeichnung des Zustands des Festkörpers, sondern es muss auch der Prozess berücksichtigt werden.

In diesem Fall ist die Gesamtdeformation ${\tilde {\epsilon }}$ keine reine Zustandsgröße mehr. Sie setzt sich im allgemeinen Fall zusammen aus:

einem elastischen Anteil ${\tilde {\epsilon }}^{\,{\rm {E}}}$
einem plastischen Anteil ${\tilde {\epsilon }}^{\,{\rm {P}}}$
einem Anteil $\alpha \cdot T$ , der von der Temperatur $$ T $$ abhängt:

{\tilde {\epsilon }}={\tilde {\epsilon }}^{\,{\rm {E}}}+{\tilde {\epsilon }}^{\,{\rm {P}}}+\alpha \cdot T\,.

Elastisch-plastisches Materialverhalten kann beschrieben werden durch eine Fließbedingung, ein Fließgesetz, und ein Verfestigungsgesetz.

Fließbedingung

Die Fließbedingung legt alle mehrachsigen Spannungszustände fest, an denen das Material plastisch fließt. Es ist üblich, die Fließbedingung als eine konvex gekrümmte Fläche im Spannungsraum anzugeben, die Fließortfläche heißt.

Für Spannungszustände innerhalb des von der Fließortfläche umschlossenen Raums deformiert das Material rein elastisch.
Liegt der aktuelle Spannungszustand auf der Fließortfläche, so kann plastisches Fließen eintreten.
Spannungszustände außerhalb des umschlossenen Raums sind bei elasto-plastischen Materialverhalten unmöglich.

Gebräuchliche Fließbedingungen für metallische Werkstoffe wurden formuliert von Huber, von Mises und Tresca. Sie nehmen jeweils isotropes Verhalten an. Die Formulierungen nach von Mises und nach Tresca werden häufig angewendet.

Nach von Mises

Die Fließbedingung nach R. v. Mises, die im allgemeinen Fall einfach anzuwenden ist, lautet:

0={\frac {3}{2}}{\tilde {s}}^{T}\cdot {\tilde {s}}-k_{\rm {f}}^{2}

,

mit

der Streckgrenze $k_{\rm {f}}$
dem Spannungsdeviator $ {\tilde {s}}=\sigma -p\cdot e $, d. h. um wieviel der aktuelle Spannungszustand vom hydrostatischen Spannungszustand abweicht:
- dem Spannungstensor $\sigma$
- der hydrostatischen Spannung $p={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}+\sigma _{z}}{3}}$
- dem Identitätstensor $$ e $$ .

Nach Tresca

Nach Tresca ist die Fließbedingung:

0={\frac {k_{f}}{2}}-k

,

mit

$ k_{f}=\sigma _{I}-\sigma _{II} $
- der größten Hauptnormalspannung $\sigma _{I}$
- der kleinsten Hauptnormalspannung $\sigma _{II}$ .

Für eine graphische Interpretation der Trescaschen Regel können die Mohrschen Spannungskreise herangezogen werden.

Mit der Trescaschen Regel wird oft gerechnet, wenn die Lage des Hauptachsensystems bekannt ist. Für numerisches Rechnen hat sie allerdings die Nachteile, dass jeweils eine Hauptachsentransformation nötig ist und dass die Fließortfläche nicht stetig differenzierbar ist.

Fließen

Die Deformation findet nicht homogen im gesamten Material statt, sondern nur an energetisch bevorzugten Kristallbaufehlern wie Versetzungen, Phasengrenzen und amorphen Einlagerungen.

Des Weiteren hängt die plastische Verformung von der Temperatur und von der Dehnrate ab.

Das Fließverhalten kann mit vielen konstitutiven Werkstoffgesetzen beschrieben werden. Hierfür existieren empirische und metallphysikalisch basierte Modelle.

Fließgesetz

Das Fließgesetz bestimmt die plastischen Verzerrungsinkremente:

Im Falle assoziierter Plastizität ist dieses Inkrement koaxial zum Normalenvektor der Fließortfläche (Erläuterung siehe hier) am aktuellen Spannungsort. Die Größenordnung des Inkrements bestimmt der skalarwertige plastische Multiplikator.
Im Falle nicht-assoziierter Plastizität bedient man sich zur Festlegung der plastischen Verzerrungsrichtung häufig eines für diesen Zweck definierten plastischen Potentials. Man kann den assoziierten Fall also auch als den Spezialfall auffassen, bei dem plastisches Potential und Fließbedingung dieselbe Fläche im Spannungsraum projizieren.

Verfestigungsgesetz

Das Verfestigungsgesetz legt fest, auf welche Weise die Fließbedingung während des Fließens modifiziert wird. Idealisiert kann von zwei unterschiedlichen Verfestigungsverhalten ausgegangen werden:

Durch isotropes Verfestigen kann das Materialverhalten beschrieben werden, wenn es von der vorhergehenden Belastungsrichtung unabhängig ist bzw. sich diese nicht ändert. Das isotrope Verfestigen wird durch Expansion der Fließortfläche ausgedrückt, d. h. die Streckgrenze steigt um einen gewissen Betrag, abhängig von der aufgebrachten Verformung.
Durch kinematisches Verfestigen kann z. B. der Bauschingereffekt beschrieben werden, d. h. die Elastizitätsgrenze ist bei Belastung in Gegenrichtung deutlich niedriger als während der vorherigen Belastung. Dieses Phänomen kann durch Verschieben der Fließortfläche beschrieben werden. Die Streckgrenze bleibt dabei konstant, nur der „Mittelpunkt des Fließorts“ (back stress) ${\tilde {a}}$ verändert sich. In der Fließregel muss dann die Fließspannung ersetzt werden durch die „reduzierte Spannung“ ${\hat {\tilde {s}}}={\tilde {\sigma }}-{\tilde {a}}$ .

Elementare Plastizitätstheorie

Die Modellvorstellung betrachtet zunächst einen kleinen gedachten Würfel innerhalb des Materials, an dessen paarweise zusammengehörigen gegenüberliegenden Flächen je eine Spannung in beliebiger Richtung und Größe angreift. Jede dieser drei Spannungen lässt sich in ihrer zugehörigen Fläche in je eine Normalspannung und in je zwei Tangentialspannungen (Schubspannungen) zerlegen. Mathematisch entsteht somit der aus insgesamt neun Elementen bestehende Spannungstensor.

Wird nun dieser Würfel etwas in seiner Lage verändert, so ändert sich an den angreifenden Spannungen nichts, jedoch wird sich die Aufteilung in die Normal- und Schubspannungen verändern. Es lässt sich zeigen, dass es eine Lage gibt, bei der die Normalspannungen je einen Maximalwert erreichen und die Schubspannungen alle verschwinden. Man nennt diesen Zustand auch „Hauptspannungszustand“ und die übrig gebliebenen Längsspannungen „Hauptspannungen“. Es wird dann von der elementaren Plastizitätstheorie gesprochen. Die Richtungen der drei Würfelkanten in dieser Lage können durch eine Hauptachsentransformation des Spannungstensors berechnet werden.

Zu erkennen ist diese ausgezeichnete Lage an den Wirkungen der Spannungen: im Allgemeinen bedingen Normalspannungen Längenänderungen und Schubspannungen Winkeländerungen. Wenn sich zumindest die Modellvorstellung für eine Verzerrung (Umformung) nur aus Längenänderungen zusammensetzen lässt und also keine Winkeländerungen mehr auftreten, kann angenommen werden, dass die o. g., für die weitere mathematische Behandlung günstige Lage gegeben ist. (Aus einem Quader vor der Umformung entsteht nach der Umformung wieder ein Quader; parallelepipedische Umformung).

Anwendung

Die elementare Plastizitätstheorie hat breite Anwendung bei der bildsamen Formgebung von Metallen gefunden, insbesondere in der Massivumformung. Dabei besteht zunächst ein Widerspruch, da Metalle kristallin, also strukturiert aufgebaut sind. Diese Anisotropie besteht jedoch nur im mikroskopischen Bereich der „Körner“ (Größenordnung etwa 50 µm in jeder Richtung), die wiederum auf Grund der Art ihrer Entstehung aus dem flüssigen (Guss-)Zustand in ihrer Orientierung regellos durcheinander liegen. Insgesamt ergibt sich für einen makroskopischen Körper, wie er in der Umformtechnik praktisch immer vorhanden ist, ein scheinbar gleichmäßiger Aufbau (Quasi-Isotropie).

Eine weitere wichtige Anwendung der elementaren Plastizitätstheorie ist das im Rahmen der Baustatik entstandene Traglastverfahren.

Siehe auch

Plastifikation

Literatur

Rolf Hinkfoth: Massivumformung: ausgewählte technologische Grundlagen der Umformprozesse in der Metallurgie. Verlagshaus Mainz, Aachen 2003, ISBN 3-86130-184-9.
Karl-Eugen Kurrer: Traglastverfahren. In: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht. Ernst & Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S. 121–138.

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 {{QS-Physik|Begründung=Dieser Artikel soll laut dem Autor die „Elementare Plastizitätstheorie“ beschreiben, siehe Diskussion. Demnach sollte der Titel geändert werden. Im Abschnitt „Elementare Plastizitätstheorie“ werden jedoch nur der Spannungstensor und dessen Hauptachsentransformation beschrieben. Das gehört hier nicht her und dafür gibt es schon Artikel. Das eigentliche Thema wird nicht erklärt.--[[Benutzer:Beppodd|Beppodd]] ([[Benutzer Diskussion:Beppodd|Diskussion]]) 11:58, 18. Aug. 2014 (CEST)|Unerledigt=2014}}
-Die '''Plastizitätstheorie''' ist das Teilgebiet der [[Kontinuumsmechanik]], das sich mit irreversiblen [[Umformen|Umformungen]] von Materie befasst. Sie beschreibt den Spannungs- und Verzerrungszustand von festen Körpern unter dem Einfluss einer Belastung, behandelt aber im Gegensatz zur [[Elastizitätstheorie]] keine reversible Verformung.
+Die '''Plastizitätstheorie''' ist das Teilgebiet der [[Kontinuumsmechanik]], das sich mit [[Verformung #Irreversible plastische Verformung|irreversiblen Verformungen]] von Materie befasst. Sie beschreibt den [[Spannungszustand|Spannungs-]] und [[Verzerrungstensor|Verzerrungszustand]] [[Festkörper|fester Körper]] unter dem Einfluss einer [[Belastung (Physik)|Belastung]], behandelt aber im Gegensatz zur [[Elastizitätstheorie]] ''keine'' [[Verformung #Reversible elastische Verformung|reversible Verformung]].
 Jenseits der [[Proportionalitätsgrenze]] der Elastizitätstheorie treten verschiedene Formen von '''anelastischem Verhalten''' auf:
-* ''elastischen [[Hysterese]]'': bei kompletter Entlastung bleibt eine Verformung, die aber durch eine Gegenspannung wieder rückgängig gemacht werden kann.
+* ''elastische [[Hysterese]]'': bei kompletter Entlastung bleibt eine Verformung, die aber durch eine Gegenspannung wieder rückgängig gemacht werden kann.
-* [[Plastische Verformung|Plastizität]]: eine nach Krafteinwirkung bleibende irreversible Formveränderung (Beispiel: Knetmasse).
+* [[Plastizität (Physik)|Plastizität]]: eine nach Krafteinwirkung bleibende irreversible Formveränderung (Beispiel: [[Knetmasse]]).
-* eine weitere Dehnung trotz teilweiser Entlastung wird als [[Plastische Verformung|Fließen]] bezeichnet.
+* eine weitere [[Dehnung]] trotz teilweiser Entlastung wird als [[Rheologie|Fließen]] bezeichnet.
-* auch ein Bruch des Werkstücks ist meist mit einem elastischen Anteil verbunden, d.&nbsp;h. ein Teil der Dehnung (der Bruchstücke) geht nach dem Bruch wieder zurück.
+* auch ein [[Bruchmechanik|Bruch]] des [[Werkstück]]s ist meist mit einem elastischen Anteil verbunden, d.&nbsp;h. ein Teil der Dehnung (der Bruchstücke) geht nach dem Bruch wieder zurück.
-Bekannte Wissenschaftler, die an der Entwicklung der Plastizitätstheorie beteiligt waren, waren zum Beispiel [[Barré de Saint-Venant]] und sein Schüler [[Maurice Lévy (Mathematiker)|Maurice Lévy]], sowie [[Ludwig Prandtl]], [[Richard von Mises]], [[Eugene Cook Bingham]], [[Henri Tresca]], [[Arpad Nadai]], [[Heinrich Hencky]], [[William Prager]], [[Theodore von Kármán]], [[Hilda Geiringer]], [[Rodney Hill]], [[Daniel Drucker]], [[Wadim Wassiljewitsch Sokolowski|Wadim Sokolowski]], [[Erastus Lee]], [[Horst Lippmann (Mathematiker)|Horst Lippmann]] und [[Lazar Katschanow]] (L. M. Kacanov).
+== Forscher auf diesem Gebiet ==
+Folgende Wissenschaftler waren u.&nbsp;a. an der Entwicklung der Plastizitätstheorie beteiligt:
+* [[Barré de Saint-Venant]] und sein Schüler [[Maurice Lévy (Mathematiker)|Maurice Lévy]]
+* [[Ludwig Prandtl]]
+* [[Richard von Mises]]
+* [[Eugene Cook Bingham]]
+* [[Henri Tresca]]
+* [[Arpad Nadai]]
+* [[Heinrich Hencky]]
+* [[William Prager]]
+* [[Theodore von Kármán]]
+* [[Hilda Geiringer]]
+* [[Rodney Hill]]
+* [[Daniel Drucker]]
+* [[Wadim Wassiljewitsch Sokolowski|Wadim Sokolowski]]
+* [[Erastus Lee]]
+* [[Horst Lippmann (Mathematiker)|Horst Lippmann]]
+* [[Lazar Katschanow]] (L. M. Kacanov).
 == Die plastische Deformation ==
-In realen Medien ist jede Deformation nur bis zu einer gewissen Grenze elastisch. Wird diese Grenze überschritten, so tritt bei duktilen Materialien plastische Deformation ([[Plastisches Fließen]]) auf. Bei der plastischen Deformation kehrt der Körper mit dem Ausbleiben der für die Deformation verantwortlichen mechanischen Belastung nicht wieder in seine Ausgangsform zurück. In diesem Fall genügt die Angabe der Positionen von Punkten des Festkörpers nicht mehr zur Kennzeichnung des Zustands des Festkörpers, sondern es muss auch der Prozess berücksichtigt werden, d. h. <math>\tilde\epsilon</math> ist in diesem Fall keine [[Zustandsgröße]].
+In realen Medien ist jede Deformation nur bis zu einer gewissen Grenze elastisch. Wird diese Grenze überschritten, so tritt bei [[duktil]]en Materialien plastische Deformation ([[Plastisches Fließen]]) auf. Dabei kehrt der Körper mit dem Ausbleiben der für die Deformation verantwortlichen mechanischen Belastung ''nicht'' wieder in seine Ausgangsform zurück. In diesem Fall genügt die Angabe der Positionen von Punkten des Festkörpers nicht mehr zur Kennzeichnung des Zustands des Festkörpers, sondern es muss auch der Prozess berücksichtigt werden.
-Im allgemeinen Fall kann die Deformation durch <math>\tilde\epsilon</math> angegeben werden.  Die Gesamtdeformation <math>\tilde\epsilon</math> setzt sich aus einem elastischen Anteil <math>\tilde\epsilon^{\,\rm E}</math>, einem plastischen Anteil <math>\tilde\epsilon^{\,\rm P}</math> und dem temperaturbedingten Anteil zusammen:
+In diesem Fall ist die Gesamtdeformation <math>\tilde\epsilon</math> keine reine [[Zustandsgröße]] mehr. Sie setzt sich im allgemeinen Fall zusammen aus:
-:<math>
+* einem elastischen Anteil <math>\tilde\epsilon^{\,\rm E}</math>
-\tilde\epsilon = \tilde\epsilon^{\,\rm E} +  \tilde\epsilon^{\,\rm P} + \alpha \cdot T \,.
+* einem plastischen Anteil <math>\tilde\epsilon^{\,\rm P}</math>
-</math>
+* einem Anteil <math>\alpha \cdot T</math>, der von der [[Absolute Temperatur|Temperatur]] <math>T</math> abhängt:
+:<math>\tilde\epsilon = \tilde\epsilon^{\,\rm E} +  \tilde\epsilon^{\,\rm P} + \alpha \cdot T \,.</math>
 Elastisch-plastisches Materialverhalten kann beschrieben werden durch eine [[Fließbedingung]], ein [[Fließgesetz]], und ein [[Verfestigungsgesetz]].
-=== Fließbedingung ===
+=== {{Anker|Fließbedingung}}Fließbedingung ===
-Die ''Fließbedingung'' legt all diejenigen mehrachsigen Spannungszustände fest, an denen das Material plastisch fließt.  Es ist üblich, die Fließbedingung als eine konvex  gekrümmte Fläche im Spannungsraum anzugeben, die Fließortfläche heißt.  Für Spannungszustände innerhalb des von der Fließortfläche umschlossenen Raums deformiert das Material rein elastisch. Liegt der aktuelle Spannungszustand auf der Fließortfläche, so kann plastisches Fließen eintreten. Spannungszustände außerhalb des umschlossenen Raums sind bei elasto-plastischen Materialverhalten unmöglich.
+Die Fließbedingung legt alle [[Spannungszustand #Grad des Spannungszustands|mehrachsigen Spannungszustände]] fest, an denen das Material plastisch fließt. Es ist üblich, die Fließbedingung als eine [[Konvexe und konkave Fläche|konvex gekrümmte Fläche]] im Spannungsraum anzugeben, die Fließortfläche heißt.
+* Für Spannungszustände ''innerhalb'' des von der Fließortfläche umschlossenen Raums deformiert das Material rein elastisch.
+* Liegt der aktuelle Spannungszustand ''auf'' der Fließortfläche, so kann plastisches Fließen eintreten.
+* Spannungszustände ''außerhalb'' des umschlossenen Raums sind bei elasto-plastischen Materialverhalten unmöglich.
+Gebräuchliche Fließbedingungen für metallische Werkstoffe wurden formuliert von Huber, [[Richard von Mises|von Mises]] und [[Henri Tresca|Tresca]]. Sie nehmen jeweils [[isotrop]]es Verhalten an. Die Formulierungen nach von Mises und nach Tresca werden häufig angewendet.
+==== Nach von Mises ====
+Die Fließbedingung nach R.&nbsp;v.&nbsp;Mises, die im allgemeinen Fall einfach anzuwenden ist, lautet:
-Gebräuchliche Fließbedingungen für metallische Werkstoffe wurden von [[Huber]], [[Richard von Mises|von Mises]] und [[Henri Tresca|Tresca]] formuliert. Ihnen liegt die Annahme isotropen Verhaltens zu Grunde.
+:<math>0 = \frac{3}{2} \tilde{s}^T \cdot \tilde{s} - k_{\rm f}^2</math>,
-Die Fließbedingung nach R. v. Mises lautet:
+mit
-:<math>0 = \frac{3}{2} \tilde{s}^T\cdot\tilde{s} - k_{\rm f}^2</math>,
+* der [[Streckgrenze]] <math>k_{\rm f}</math>
-wobei <math>\tilde{s}</math> den [[Spannungsdeviator]] und <math>k_{\rm f}</math> die [[Streckgrenze]] bezeichnet.  Der Spannungsdeviator ist der um den hydrostatischen Anteil reduzierte Spannungstensor
+* dem [[Spannungsdeviator]] <math>\tilde{s} = \sigma - p \cdot e</math>, d.&nbsp;h. um wieviel der aktuelle Spannungszustand vom [[Spannungszustand #Hydrostatischer Spannungszustand|hydrostatischen Spannungszustand]] abweicht:
-:<math>\tilde{s}=\sigma-p\cdot e\, </math>  mit  <math>\ p = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{3}</math> und <math> e </math> als Identitätstensor.
+** dem [[Spannungstensor]] <math>\sigma</math>
+** der [[Hydrostatischer Druck|hydrostatischen Spannung]] <math>p = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{3}</math>
+** dem [[Einheitstensor|Identitätstensor]] <math>e</math>.
+==== Nach Tresca ====
 Nach Tresca ist die Fließbedingung:
-:<math>0 = \frac{\sigma_I-\sigma_{II}}{2}- k</math>,
-:<math>k_f =  \sigma_I-\sigma_{II}</math>
-mit <math>\sigma_I</math> und <math>\sigma_{II}</math> der größten bzw. kleinsten Hauptnormalspannung. Für eine graphische Interpretation der Trescaschen Regel können die [[Mohrscher Spannungskreis|Mohrschen Spannungskreise]] herangezogen werden.
+:<math>0   = \frac{k_f}{2} - k</math>,
-Beide Formulierungen werden häufig angewendet. Die Regel von v. Mises ist im allgemeinen Fall einfach anzuwenden. Wenn die Lage des Hauptachsensystems bekannt ist, wird oft mit der Trescaschen Regel gerechnet. Für numerisches Rechnen hat diese die Nachteile, dass jeweils eine Hauptachsentransformation nötig ist und dass die Fließortfläche nicht stetig differenzierbar ist.
+mit
+* <math>k_f = \sigma_I - \sigma_{II}</math>  <!-- was stellt in der Formel das 2. k (ohne f) dar? -->
+** der größten Haupt[[Mechanische Spannung #Normal-, Biege-, Schub-, Torsionsspannung und wahre Spannung|normalspannung]] <math>\sigma_I</math>
+** der kleinsten Hauptnormalspannung <math>\sigma_{II}</math> .
-=== Fließgesetz ===
+Für eine graphische Interpretation der Trescaschen Regel können die [[Mohrscher Spannungskreis|Mohrschen Spannungskreise]] herangezogen werden.
-Das ''Fließgesetz'' bestimmt die plastischen Verzerrungsinkremente. Im Falle assoziierter Plastizität ist dieses Inkrement coaxial zum Normalenvektor der Fließortfläche am aktuellen Spannungsort. Die Größenordnung des Inkrements bestimmt der skalarwertige plastische Multiplikator.
-Im Falle nicht-assoziierter Plastizität bedient man sich zur Festlegung der plastischen Verzerrungsrichtung häufig eines für diesen Zweck definierten plastischen Potentials. Man kann den assoziierten Fall also auch als den Spezialfall auffassen, bei dem plastisches Potential und Fließbedingung dieselbe Fläche im Spannungsraum projizieren.
+Mit der Trescaschen Regel wird oft gerechnet, wenn die Lage des [[Mechanische Spannung #Hauptspannung und Hauptspannungsrichtung|Hauptachsensystem]]s bekannt ist. Für [[numerische Mathematik|numerisches Rechnen]] hat sie allerdings die Nachteile, dass jeweils eine [[Hauptachsentransformation]] nötig ist und dass die Fließortfläche ''nicht'' [[stetig differenzierbar]] ist.
-=== Verfestigungsgesetz ===
+=== Fließen ===
-Das ''Verfestigungsgesetz'' legt fest, auf welche Weise die Fließbedingung während des Fließens modifiziert wird. Idealisiert kann von zwei unterschiedlichen Verfestigungsverhalten ausgegangen werden, dem isotropen und kinematischen Verfestigen.
+Die Deformation findet nicht homogen im gesamten Material statt, sondern nur an energetisch bevorzugten [[Kristallbaufehler]]n wie [[Versetzung (Materialwissenschaft)|Versetzung]]en, [[Phasengrenze]]n und [[amorph]]en [[Einlagerungsmischkristall|Einlagerung]]en.
-Durch isotropes Verfestigen kann das Materialverhalten beschrieben werden, wenn es von der vorhergehenden Belastungsrichtung unabhängig ist, bzw. wenn sich die Belastungsrichtung nicht ändert. Das isotrope Verfestigen wird durch Expansion der Fließortfläche ausgedrückt. Das heißt, die Streckgrenze <math>k_f</math> steigt abhängig von der aufgebrachten Verformung um einen gewissen Betrag an.
+Des Weiteren hängt die plastische Verformung von der Temperatur und von der Dehn[[Änderungsrate|rate]] ab.
-Durch kinematisches Verfestigen kann zum Beispiel der [[Bauschingereffekt]] beschrieben werden, d.h. die Elastizitätsgrenze ist bei Belastung in Gegenrichtung deutlich niedriger als während der vorherigen Belastung. Dieses Phänomen kann durch Verschieben der Fließortfläche beschrieben werden. Die Streckgrenze <math>k_f</math> bleibt dabei konstant, es verändert sich nur der „Mittelpunkt des Fließorts“ (back stress) <math>\tilde{a}</math>. In der Fließregel muss dann die Fließspannung durch die „reduzierte Spannung“ <math>\hat{\tilde s}=\tilde\sigma-\tilde{a}</math> ersetzt werden.
+Das [[Fließverhalten]] kann mit vielen [[Kontinuumsmechanik #Konstitutive Gleichungen|konstitutiv]]en [[Werkstoffgesetz]]en beschrieben werden. Hierfür existieren [[empirisch]]e und metallphysikalisch basierte Modelle.
-=== Fließen ===
+=== Fließgesetz ===
-Die Deformation findet nicht homogen im gesamten Material, sondern nur an energetisch bevorzugten Kristallbaufehlern wie [[Versetzung (Materialwissenschaft)|Versetzung]]en, Phasengrenzen und amorphen Einlagerungen statt. Des Weiteren ist die plastische Verformung von der Temperatur und Dehnrate abhängig. Das Fließverhalten kann mit einer Vielzahl von konstitutiven Werkstoffgesetzen beschrieben werden. Hierfür existieren empirische und metallphysikalisch basierte Modelle.
+Das Fließgesetz bestimmt die plastischen Verzerrungs[[inkrement]]e:
+* Im Falle assoziierter Plastizität ist dieses Inkrement [[koaxial]] zum [[Normalenvektor]] der Fließortfläche (Erläuterung siehe [[#Fließbedingung|hier]]) am aktuellen Spannungsort. Die Größenordnung des Inkrements bestimmt der [[Skalar (Mathematik)|skalar]]wertige plastische Multiplikator.
+* Im Falle ''nicht''-assoziierter Plastizität bedient man sich zur Festlegung der plastischen Verzerrungsrichtung häufig eines für diesen Zweck definierten plastischen Potentials. Man kann den assoziierten Fall also auch als den Spezialfall auffassen, bei dem plastisches Potential und Fließbedingung dieselbe Fläche im Spannungsraum projizieren.<!-- Der Bahnhof wird immer größer. Von wo ist das abgeschrieben? -->
+=== Verfestigungsgesetz ===
+Das [[Verfestigung (Werkstoffkunde)|Verfestigung]]s<nowiki/>gesetz legt fest, auf welche Weise die Fließbedingung während des Fließens modifiziert wird. Idealisiert kann von zwei unterschiedlichen Verfestigungsverhalten ausgegangen werden:
+* Durch [[isotrop]]es Verfestigen kann das Materialverhalten beschrieben werden, wenn es von der vorhergehenden Belastungsrichtung unabhängig ist bzw. sich diese nicht ändert. Das isotrope Verfestigen wird durch ''Expansion'' der Fließortfläche ausgedrückt, d.&nbsp;h. die Streckgrenze steigt um einen gewissen Betrag, abhängig von der aufgebrachten Verformung.
+* Durch kinematisches Verfestigen kann z.&nbsp;B. der [[Bauschingereffekt]] beschrieben werden, d.&nbsp;h. die Elastizitätsgrenze ist bei Belastung in Gegenrichtung deutlich niedriger als während der vorherigen Belastung. Dieses Phänomen kann durch ''Verschieben'' der Fließortfläche beschrieben werden. Die Streckgrenze bleibt dabei konstant, nur der „Mittelpunkt des Fließorts“ (''back stress'') <math>\tilde{a}</math> verändert sich. In der Fließregel muss dann die [[Fließspannung]] ersetzt werden durch die „reduzierte Spannung“ <math>\hat{\tilde s} = \tilde\sigma - \tilde{a}</math>.
 == Elementare Plastizitätstheorie ==
-Die Modellvorstellung betrachtet zunächst einen kleinen Würfel an dessen paarweise zusammengehörigen gegenüberliegenden Flächen je eine [[Spannung (Mechanik)|Spannung]] in beliebiger Richtung und Größe angreift. Jede dieser drei Spannungen lässt sich nun in ihrer zugehörigen Fläche in je eine [[Spannung (Mechanik)#Normal- und Biegespannung|Normalspannung]] und in je zwei [[Spannung (Mechanik)#Schub-, Druck- und Zugspannung|Tangentialspannungen]] (Schubspannungen) zerlegen. Mathematisch entsteht somit der aus insgesamt neun Elementen bestehende [[Spannungstensor]].
+Die Modellvorstellung betrachtet zunächst einen kleinen gedachten Würfel innerhalb des Materials, an dessen paarweise zusammengehörigen gegenüberliegenden Flächen je eine [[Spannung (Mechanik)|Spannung]] in beliebiger Richtung und Größe angreift. Jede dieser drei Spannungen lässt sich in ihrer zugehörigen Fläche in je eine [[Spannung (Mechanik) #Normal- und Biegespannung|Normalspannung]] und in je zwei [[Spannung (Mechanik) #Schub-, Druck- und Zugspannung|Tangentialspannungen]] (Schubspannungen) zerlegen. Mathematisch entsteht somit der aus insgesamt neun Elementen bestehende [[Spannungstensor]].
-Wird nun dieser Würfel etwas in seiner Lage verändert, so ändert sich an den angreifenden Spannungen nichts, jedoch wird sich die Aufteilung in die Normal- und Schubspannungen verändern. Es lässt sich nun zeigen, dass es eine Lage gibt, bei der die Normalspannungen je einen Maximalwert erreichen und die Schubspannungen alle verschwinden. Zu erkennen ist diese Lage an den Wirkungen der Spannungen. Normalspannungen bedingen Längenänderungen und Schubspannungen Winkeländerungen. Wenn sich zumindest die Modellvorstellung für eine Verzerrung (Umformung) nur aus Längenänderungen zusammensetzen lässt, kann angenommen werden, dass diese für die weitere mathematische Behandlung günstige Lage gegeben ist. (Aus einem [[Quader]] vor der Umformung entsteht wieder ein Quader nach der Umformung; parallelepipedische Umformung).
+Wird nun dieser Würfel etwas in seiner Lage verändert, so ändert sich an den angreifenden Spannungen nichts, jedoch wird sich die Aufteilung in die Normal- und Schubspannungen verändern. Es lässt sich zeigen, dass es eine Lage gibt, bei der die Normalspannungen je einen Maximalwert erreichen und die Schubspannungen alle verschwinden. Man nennt diesen Zustand auch „Hauptspannungszustand“ und die übrig gebliebenen Längsspannungen „[[Mechanische_Spannung #Hauptspannung_und_Hauptspannungsrichtung|Hauptspannung]]en“. Es wird dann von der elementaren Plastizitätstheorie gesprochen. Die Richtungen der drei Würfelkanten in dieser Lage können durch eine [[Hauptachsentransformation]] des Spannungstensors berechnet werden.
-Man nennt diesen Zustand auch „Hauptspannungszustand“ und die übrig gebliebenen Längsspannungen „[[Hauptspannung]]en“. Es wird dann von der elementaren Plastizitätstheorie gesprochen.
+Zu erkennen ist diese ausgezeichnete Lage an den Wirkungen der Spannungen: im Allgemeinen bedingen Normalspannungen Längenänderungen und Schubspannungen Winkeländerungen. Wenn sich zumindest die Modellvorstellung für eine Verzerrung (Umformung) nur aus Längenänderungen zusammensetzen lässt und also keine Winkeländerungen mehr auftreten, kann angenommen werden, dass die o.&nbsp;g., für die weitere mathematische Behandlung günstige Lage gegeben ist. (Aus einem [[Quader]] vor der Umformung entsteht nach der Umformung wieder ein Quader; [[parallelepiped]]ische Umformung).
 === Anwendung ===
-Die elementare Plastizitätstheorie hat breite Anwendung bei der bildsamen Formgebung von Metallen insbesondere in der [[Massivumformung]] gefunden. Dabei besteht zunächst ein Widerspruch, da Metalle [[kristallin]], also strukturiert aufgebaut sind. Diese [[Anisotropie]] besteht jedoch nur im mikroskopisch sehr kleinen Bereich der „Körner“ (Größenordnung etwa um 50 µm in jeder Richtung), die wiederum auf Grund  der Art ihrer Entstehung aus dem flüssigen (Guss-)Zustand in ihrer Orientierung völlig regellos durcheinander liegen. Im Ergebnis ergibt sich damit für einen in der Umformtechnik praktisch immer vorhandenen makroskopischen Körper ein scheinbar gleichmäßiger Aufbau (Quasi-Isotropie).
+Die elementare Plastizitätstheorie hat breite Anwendung bei der bildsamen Formgebung von [[Metalle]]n gefunden, insbesondere in der [[Massivumformung]]. Dabei besteht zunächst ein Widerspruch, da Metalle [[kristallin]], also strukturiert aufgebaut sind. Diese [[Anisotropie]] besteht jedoch nur im [[mikroskopisch]]en Bereich der „[[Korngröße|Körner]]“ (Größenordnung etwa 50&nbsp;[[Meter#Mikrometer|µm]] in jeder Richtung), die wiederum auf Grund der Art ihrer Entstehung aus dem flüssigen (Guss-)Zustand in ihrer Orientierung regellos durcheinander liegen. Insgesamt ergibt sich für einen makroskopischen Körper, wie er in der Umformtechnik praktisch immer vorhanden ist, ein scheinbar gleichmäßiger Aufbau ([[Isotropie #Isotropie in der Physik|Quasi-Isotropie]]).
+Eine weitere wichtige Anwendung der elementaren Plastizitätstheorie ist das im Rahmen der [[Baustatik]] entstandene [[Traglast]]<nowiki/>verfahren.
+== Siehe auch ==
+* [[Plastifikation]]
 == Literatur ==
-* Hinkfoth: ''Massivumformung.'' Mainz, Aachen 2003, ISBN 3-86130-184-9.
+* Rolf Hinkfoth: ''Massivumformung: ausgewählte technologische Grundlagen der Umformprozesse in der Metallurgie.'' Verlagshaus Mainz, Aachen 2003, ISBN 3-86130-184-9.
+* [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''Traglastverfahren''. In: ''Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht.'' [[Ernst & Sohn]], Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S.&nbsp;121–138.
+{{Normdaten|TYP=s|GND=4123953-2}}
 {{SORTIERUNG:Plastizitatstheorie}}
 [[Kategorie:Kontinuumsmechanik]]