Vierertensor: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 4. Juli 2021, 10:06 Uhr

Vierertensor ist ein Begriff aus der Relativitätstheorie. Ein Vierertensor ist ein Tensor über dem 4-dimensionalen Vektorraum der Minkowski-Raum-Zeit $M$ und seinem Dualraum $M^{*}$ , oder in der Allgemeinen Relativitätstheorie über dem Tangentialraum an die Raumzeit, eine vierdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit.

Ein Vierertensor der Stufe $(k, l)$ ist ein Element des Tensorprodukts

\underset{k mal}{\underset{⏟}{M \otimes M \otimes \dots \otimes M}} \otimes \underset{l mal}{\underset{⏟}{M^{*} \otimes M^{*} \otimes \dots \otimes M^{*}}}

Ein solcher Tensor der Stufe $(k, l)$ heißt $k$ -fach kontravariant und $l$ -fach kovariant. Vierertensoren der Stufe $(1, 0)$ bzw. $(0, 1)$ heißen auch kontravariante bzw. kovariante Vierervektoren.

Vierertensoren erster Stufe lassen sich durch einen Vektor mit vier Einträgen darstellen. Beispiele:

Vierergeschwindigkeit
Viererimpuls

Vierertensoren zweiter Stufe lassen sich durch eine $4 \times 4$ Matrix darstellen. Beispiele:

Ein Vierertensor vierter Stufe lässt sich durch $4^{4} = 256$ Einträge darstellen. Beispiel:

Riemannscher Krümmungstensor

Weblinks

Vierertensor im Lexikon der Physik

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-'''Vierertensor''' ist ein Begriff aus der [[Relativitätstheorie]]. Ein Vierertensor der Stufe ist ein [[Tensor]] über dem [[Dimension (Mathematik)|4-dimensionalen]] [[Vektorraum]] der [[Minkowskiraum|Minkowski-Raum-Zeit]] <math>M</math> und seinem [[Dualraum]] <math>M^*</math>, oder in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] über dem [[Tangentialraum]] an die [[Raumzeit]], eine vierdimensionale [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]].
+'''Vierertensor''' ist ein Begriff aus der [[Relativitätstheorie]]. Ein Vierertensor ist ein [[Tensor]] über dem [[Dimension (Mathematik)|4-dimensionalen]] [[Vektorraum]] der [[Minkowskiraum|Minkowski-Raum-Zeit]] <math>M</math> und seinem [[Dualraum]] <math>M^*</math>, oder in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] über dem [[Tangentialraum]] an die [[Raumzeit]], eine vierdimensionale [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]].
 Ein Vierertensor der Stufe <math>(k,l)</math> ist ein Element des [[Tensorprodukt]]s
-:<math>\underbrace{M\otimes M\otimes\ldots\otimes M}_{k\text{ mal}}\otimes \underbrace{M^*\otimes M^*\otimes \ldots\otimes M^*}_{l\text{ mal}}</math>
+:<math>\underbrace{M\otimes M\otimes\dotsb\otimes M}_{k\text{ mal}}\otimes \underbrace{M^*\otimes M^*\otimes \dotsb\otimes M^*}_{l\text{ mal}}</math>
-Ein solcher Tensor der Stufe <math>(k,l)</math> heißt k-fach kontravariant und l-fach kovariant. Vierertensoren der Stufe <math>(1,0)</math> bzw. <math>(0,1)</math> heißen auch kontravariante bzw. kovariante [[Vierervektor]]en.
+Ein solcher Tensor der Stufe <math>(k,l)</math> heißt <math>k</math>-fach kontravariant und <math>l</math>-fach kovariant. Vierertensoren der Stufe <math>(1,0)</math> bzw. <math>(0,1)</math> heißen auch kontravariante bzw. kovariante [[Vierervektor]]en.
 Vierertensoren erster Stufe lassen sich durch einen Vektor mit vier Einträgen darstellen. Beispiele:
-*[[Vierergeschwindigkeit]]
+* [[Vierergeschwindigkeit]]
-*[[Viererimpuls]]
+* [[Viererimpuls]]
 Vierertensoren zweiter Stufe lassen sich durch eine <math>4\times 4</math> [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] darstellen. Beispiele:
-*[[metrischer Tensor]]
+* [[metrischer Tensor]]
-*[[elektromagnetischer Feldstärketensor]]
+* [[elektromagnetischer Feldstärketensor]]
-*[[Energie-Impuls-Tensor]]
+* [[Energie-Impuls-Tensor]]
 Ein Vierertensor vierter Stufe lässt sich durch <math>4^4=256</math> Einträge darstellen. Beispiel:
@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 == Weblinks ==
-*[http://www.spektrum.de/lexikon/physik/vierertensor/15254 Vierertensor] im Lexikon der Physik
+* [https://www.spektrum.de/lexikon/physik/vierertensor/15254 Vierertensor] im Lexikon der Physik
 [[Kategorie:Relativitätstheorie]]