Gell-Mann-Matrizen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 10. Juni 2019, 12:10 Uhr

Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).

Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als $T_{j}$ mit $j=1,\dotsc ,8$ schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)

\left[T_{a},T_{b}\right]={\mathrm {i} }\,f^{abc}\,T_{c}

(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die $f^{abc}$ werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:

f^{123}=1,~f^{147}=f^{246}=f^{257}=f^{345}={\frac {1}{2}},~f^{156}=f^{367}=-{\frac {1}{2}},~f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}

Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.

Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:

T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}

Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} &0\\\mathrm {i} &0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-\mathrm {i} \\0&0&0\\\mathrm {i} &0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-\mathrm {i} \\0&\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.$

Bei der SU(2) hat man anstelle der acht $\lambda$ -Matrizen die drei Pauli-Matrizen.

Die $\lambda$ -Matrizen haben folgende Eigenschaften:

Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte.
Sie sind spurlos, das heißt $\operatorname {tr} (\lambda _{i})=0$ .
Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt $\operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij}$ .

Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.

Siehe auch

Standardmodell (Eichgruppe: SU(3)×SU(2)×U(1))
Quarks

Literatur

Howard Georgi: Lie algebras in particle physics. ISBN 0-7382-0233-9
J. J. J. Kokkedee: The Quark model. OCLC 474207457

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-Die '''Gell-Mann-Matrizen''', benannt nach [[Murray Gell-Mann]], sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der [[Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] [[SU(3)]].
+Die '''Gell-Mann-Matrizen''', benannt nach [[Murray Gell-Mann]], sind eine mögliche Darstellung der [[Stark_stetige_Halbgruppe #Infinitesimaler_Erzeuger|infinitesimalen Generatoren]] der [[Spezielle unitäre Gruppe|speziellen unitären Gruppe]] [[SU(3)]].
-Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als <math>T_i</math> mit <math>i = 1,\dotsc,8</math> schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: [[Lie-Algebra]])
+Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als <math>T_j</math> mit <math>j = 1,\dotsc,8</math> schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: [[Lie-Algebra]])
 : <math>\left[T_a,T_b\right]={\mathrm i}\,f^{abc}\,T_c</math>
 (wobei die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet wurde).
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 * J. J. J. Kokkedee: ''The Quark model''. {{OCLC|474207457}}
-[[Kategorie:Darstellungstheorie von Gruppen]]
+[[Kategorie:Darstellungstheorie von Lie-Gruppen]]
 [[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]