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Die '''geometrische Quantisierung''' ist der Versuch, eine Abbildung zwischen klassischen und | Die '''geometrische Quantisierung''' ist der Versuch, eine Abbildung zwischen klassischen und [[Quant]]en-[[Observable]]n zu definieren, die einerseits wie jede [[Quantisierung (Physik)|Quantisierung]] den untenstehenden drei [[Axiom]]en [[Paul Dirac]]s entspricht und andererseits in Begriffen der [[Differentialgeometrie]] formuliert ist (insbesondere unabhängig von der Wahl bestimmter Koordinaten). | ||
==Definition== | == Definition == | ||
Ein wichtiger Bestandteil der geometrischen Quantisierung ist die Abbildung | Ein wichtiger Bestandteil der geometrischen Quantisierung ist die Abbildung | ||
<math> Q: f \mapsto Q(f) </math> | :<math> Q: f \mapsto Q(f) </math> | ||
<math> Q(f) (\psi) := - i \hbar \nabla_{\operatorname{sgrad}(f)} \psi + f \cdot \psi</math> | :<math> Q(f) (\psi) := - i \hbar \nabla_{\operatorname{sgrad}(f)} \psi + f \cdot \psi</math> | ||
In dieser Formel ist <math>\operatorname{sgrad}(f)</math> der [[Symplektischer Gradient|symplektische Gradient]] oder auch [[ | In dieser Formel ist <math>\operatorname{sgrad}(f)</math> der [[Symplektischer Gradient|symplektische Gradient]] oder auch [[hamiltonsches Vektorfeld]] einer Funktion <math>f</math> auf dem Raum der klassischen Lösungen einer physikalischen Theorie (z. B. [[Mechanik]], [[Feldtheorie (Physik)|Feldtheorie]]) und das dreieckige Symbol <math>\nabla</math> („[[Nabla]]“) eine [[kovariante Ableitung]] in einem komplex-eindimensionalen [[Vektorbündel]] über diesem Raum, und <math>\psi</math> ist ein [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] dieses Bündels. Nun wird das Bündel so konstruiert, dass seine [[Krümmung]] und die [[symplektisch]]e [[Differentialform|2-Form]] auf dem Raum der klassischen Lösungen gleich sind (bis auf eine Konstante). Daraus folgt dann, dass die Abbildung die drei Axiome Paul Diracs erfüllt: | ||
# <math>Q</math> ist [[Lineare Abbildung|linear]] über den reellen Zahlen, | |||
# Wenn <math>f</math> eine konstante Funktion ist, dann ist <math>Q(f)</math> der entsprechende Multiplikationsoperator, | |||
# <math>Q</math> überführt (bis auf Konstante) die [[Poissonklammer]] des Raums der klassischen Lösungen in den [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] der entsprechenden Operatoren. | |||
Nach der Einführung dieser Abbildung („Präquantisierung“) muss noch ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] auf dem Raum der klassischen Lösungen gefunden sowie eine [[Polarisation]] gewählt werden. | |||
== Vorteile und Nachteile == | |||
Ein großer Vorteil der geometrischen Quantisierung ist ihre Unabhängigkeit von gewählten Koordinaten und ihre geometrische Anschaulichkeit. Ein Nachteil sind die mit dem Kalkül verbundenen mathematischen Schwierigkeiten, insbesondere das Fehlen eines geeigneten Maßes für die unendlichdimensionalen Räume im Fall von Feldtheorien. | |||
== Literatur == | |||
* Nicholas Michael John Woodhouse: ''Geometric Quantisation''. Oxford University Press, 1993, ISBN 0-19-853673-9. | |||
Nicholas Michael John Woodhouse: ''Geometric Quantisation'' | |||
[[Kategorie:Quantenphysik]] | [[Kategorie:Quantenphysik]] | ||
Die geometrische Quantisierung ist der Versuch, eine Abbildung zwischen klassischen und Quanten-Observablen zu definieren, die einerseits wie jede Quantisierung den untenstehenden drei Axiomen Paul Diracs entspricht und andererseits in Begriffen der Differentialgeometrie formuliert ist (insbesondere unabhängig von der Wahl bestimmter Koordinaten).
Ein wichtiger Bestandteil der geometrischen Quantisierung ist die Abbildung
In dieser Formel ist $ \operatorname {sgrad} (f) $ der symplektische Gradient oder auch hamiltonsches Vektorfeld einer Funktion $ f $ auf dem Raum der klassischen Lösungen einer physikalischen Theorie (z. B. Mechanik, Feldtheorie) und das dreieckige Symbol $ \nabla $ („Nabla“) eine kovariante Ableitung in einem komplex-eindimensionalen Vektorbündel über diesem Raum, und $ \psi $ ist ein Schnitt dieses Bündels. Nun wird das Bündel so konstruiert, dass seine Krümmung und die symplektische 2-Form auf dem Raum der klassischen Lösungen gleich sind (bis auf eine Konstante). Daraus folgt dann, dass die Abbildung die drei Axiome Paul Diracs erfüllt:
Nach der Einführung dieser Abbildung („Präquantisierung“) muss noch ein Maß auf dem Raum der klassischen Lösungen gefunden sowie eine Polarisation gewählt werden.
Ein großer Vorteil der geometrischen Quantisierung ist ihre Unabhängigkeit von gewählten Koordinaten und ihre geometrische Anschaulichkeit. Ein Nachteil sind die mit dem Kalkül verbundenen mathematischen Schwierigkeiten, insbesondere das Fehlen eines geeigneten Maßes für die unendlichdimensionalen Räume im Fall von Feldtheorien.