Holoedrie: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Punktgruppe eines Kristalls heißt '''Holoedrie''' (Vollform), wenn sie mit der [[Punktgruppe]] seines [[Kristallgitter]]s übereinstimmt. Kristalle dieser Kristallklassen entwickeln die volle Flächenanzahl. Dieser Begriff wird daher hauptsächlich in der [[Mineralogie]] zur Beschreibung der [[Kristalltracht]] verwendet.
Die [[Punktgruppe]] eines [[Kristall]]s heißt '''Holoedrie''' (Vollform), wenn sie mit der Punktgruppe seines [[Kristallgitter]]s übereinstimmt. Kristalle dieser Kristallklassen entwickeln die volle Anzahl an [[Kristallfläche|Flächen]]. Der Begriff Holoedrie wird daher hauptsächlich in der [[Mineralogie]] zur Beschreibung der [[Kristalltracht]] verwendet.
 
== Erläuterungen ==
Die Struktur eines Kristalls wird durch das Gitter und die [[Kristallstruktur#Basis|Basis]] beschrieben. Im Allgemeinen erniedrigt die Basis die Symmetrie des Gitters, so dass die Punktgruppe des Kristalls eine echte Untergruppe der Punktgruppe des Kristallgitters ist.
 
In den Fällen hingegen, in denen die Basis die Symmetrie des Gitters nicht erniedrigt, spricht man von einer Holoedrie. Die Punktgruppe des Kristalls ist gleich der Punktgruppe des Gitters. Der Kristall bildet die volle Flächenanzahl aus.
In allen anderen Fällen heißt die Form '''Meroedrie''' (Teilform). Je nach dem Verhältnis der [[Ordnung einer Gruppe#Ordnung einer Gruppe|Ordnung]] der Punktgruppe des Gitters zur Ordnung der Punktgruppe des Kristalls kann man die Meroedrien in '''Hemiedrien''' (halbe Ordnung), '''Tetartoedrien''' (viertel Ordnung) und '''Ogdoedrien''' (achtel Ordnung) unterteilen.
Im Dreidimensionalen gibt es sieben Holoedrien.


== Holoedrien im dreidimensionalen Raum ==
== Holoedrien im dreidimensionalen Raum ==
Den sieben Holoedrien entsprechen sieben '''Gittersysteme''' (auch Bravais-Systeme oder Achsensysteme genannt). Jedes dieser Gittersysteme hat ein entsprechendes Achsenkreuz, das durch Bedingungen an die Kristallachsen beschrieben werden kann.
Im Dreidimensionalen gibt es sieben Holoedrien, die den sieben [[Kristallsystem|Gittersystemen]] (auch [[Bravais-Gitter|Bravais-Systeme]] oder Achsensysteme genannt) entsprechen. Jedes dieser Gittersysteme hat ein entsprechendes [[Achsenkreuz]], das durch Bedingungen an die Kristallachsen beschrieben werden kann.


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| [[rhomboedrisch]]
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Da die Elementarzelle des rhomboedrischen Gittersystems keine konventionelle [[Elementarzelle#Zur Problematik der unterschiedlichen Begriffe|Zelle]] ist (die Zellkanten verlaufen nicht parallel zu den Symmetrieachsen), wird dieses Gittersystem auch als hexagonales Gittersystem mit rhomboedrischer Zentrierung beschrieben. Die Längen und Winkel sind dabei als Restriktionen aufzufassen. Im monoklinen Kristallsystem kann beispielsweise der Winkel ''β'' (im 2nd setting) jeden beliebigen Wert annehmen. Er kann also auch zufällig im Rahmen der Messgenauigkeit 90° betragen.
Da die [[Elementarzelle]] des rhomboedrischen Gittersystems keine konventionelle [[Elementarzelle#Zur Problematik der unterschiedlichen Begriffe|Zelle]] ist (die Zellkanten verlaufen nicht parallel zu den Symmetrieachsen), wird dieses Gittersystem auch als ''hexagonales Gittersystem mit rhomboedrischer Zentrierung'' beschrieben.
 
Die Längen und Winkel sind dabei als Restriktionen aufzufassen. Im monoklinen Kristallsystem kann beispielsweise der Winkel&nbsp;''β'' (im ''2nd&nbsp;setting'') jeden beliebigen Wert annehmen. Er kann also auch zufällig im Rahmen der Messgenauigkeit 90° betragen.
 
== Meroedrien ==
Die Struktur eines Kristalls wird beschrieben durch das Gitter und die [[Kristallstruktur #Basis|Basis]].
 
Im Allgemeinen erniedrigt die Basis die [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] des Gitters, so dass die Punktgruppe des Kristalls eine echte [[Untergruppe]] der Punktgruppe des Kristallgitters ist. In diesen Fällen heißt die Form '''Meroedrie''' (Teilform). Je nach dem Verhältnis der [[Gruppe (Mathematik)#Gruppenordnung|Ordnung]] der Punktgruppe des Kristalls zur Ordnung der Punktgruppe des Gitters kann man die Meroedrien  unterteilen in:
 
* '''Hemiedrien''' (halbe Ordnung)
* '''Tetartoedrien''' (viertel Ordnung)
* '''Ogdoedrien''' (achtel Ordnung).


== Einteilung der Kristallklassen nach Holoedrien und Meroedrien ==
Wenn hingegen die Basis die Symmetrie des Gitters ''nicht'' erniedrigt, spricht man von einer Holoedrie.
Alle Punktgruppen, die keine Holoedrien sind, lassen sich als Meroedrien einer Holoedrie zuordnen. Dabei ist zu beachten dass die trigonalen Punktgruppen zugleich Holoedrien und Meroedrien des rhomboedrischen als auch Meroedrien des hexagonalen Gittersystems sind.
 
=== Einteilung der Punktgruppen nach Holoedrien und Meroedrien ===
Alle Punktgruppen, die keine Holoedrien sind, lassen sich als Meroedrien einer Holoedrie zuordnen. Dabei ist zu beachten, dass die trigonalen Punktgruppen zugleich Holoedrien und Meroedrien des rhomboedrischen als auch Meroedrien des hexagonalen Gittersystems sind.


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== Weitere Unterteilungen ==
=== Weitere Unterteilung ===
Die Meroedrien können noch je nach der Art der weggefallenen Symmetrieelemente weiter unterteilt werden:
Die Meroedrien können noch je nach der Art der weggefallenen Symmetrieelemente weiter unterteilt werden:
 
* Hemimorphie: Wegnahme einer [[Symmetrieebene]] senkrecht zur Hauptachse; der entsprechende Kristallkörper wird auch als ''Hemieder'' (Halbflächner) bezeichnet.
* Hemimorphie: Wegnahme einer Symmetrieebene senkrecht zur Hauptachse; der entsprechende Kristallkörper wird auch als ''Hemieder'' (Halbflächner) bezeichnet.
* Paramorphie: Wegnahme einer Symmetrieebene parallel zur Hauptachse
* Paramorphie: Wegnahme einer Symmetrieebene parallel zur Hauptachse
* Enantiomorphie: Wegnahme aller Symmetrieebenen und des Inversionszentrums: es kommen nur Drehachsen vor
* [[Enantiomorphie]]: Wegnahme aller Symmetrieebenen und des [[Inversionszentrum]]s: es kommen nur [[Drehachse]]n vor
* Hemiedrie 2. Art: Wegnahme des Inversionszentrums, Existenz von {{overline|n}} mit n gerade
* Hemiedrie 2. Art: Wegnahme des Inversionszentrums, Existenz von {{overline|n}} mit n [[gerade Zahl|gerade]]
* Tetartoedrie 2. Art: Wegnahme von m oder 2 bei Hemiedrie 2. Art; der entsprechende Kristallkörper wird auch als ''Tetartoeder'' (Viertelflächner) bezeichnet.
* Tetartoedrie 2. Art: Wegnahme von&nbsp;m oder&nbsp;2 bei Hemiedrie 2.&nbsp;Art; der entsprechende Kristallkörper wird auch als ''Tetartoeder'' (Viertelflächner) bezeichnet.


Daraus ergibt sich folgende detaillierte Zuordnung:
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! align="left"| Gittersystem
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== Literatur ==
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* D. Schwarzenbach ''Kristallographie'' Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5
* {{Literatur |Autor=D. Schwarzenbach |Titel=Kristallographie |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2001 |Sprache=de |ISBN=3-540-67114-5 |Seiten=}}
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* {{Literatur |Hrsg=Theo Hahn |Titel=[[International Tables for Crystallography]] |Band=A |Verlag=D. Reidel publishing Company |Ort=Dordrecht |Datum=1983 |Sprache=en |ISBN=90-277-1445-2 |Seiten=}}
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* Hahn, Theo (Hrsg.): ''[[International Tables for Crystallography]] Vol. A''  D. Reidel publishing Company, Dordrecht 1983, ISBN 90-277-1445-2
* S. Haussühl, ''Kristallgeometrie'', Verlag Chemie GmbH, Weinheim, 1977, ISBN 3-527-21064-4


== Weblinks ==
== Weblinks ==
* [http://reference.iucr.org/dictionary/Holohedry IUCR: Definition Holohedrie (eng.)]
* {{Internetquelle |url=https://dictionary.iucr.org/Holohedry |titel=Holohedry |hrsg=[[International Union of Crystallography]] (IUCR) |datum=2017-11-14 |abruf=2022-02-24 |sprache=en}}
* [http://reference.iucr.org/dictionary/Lattice_system IUCR: Definition Gitter-System (eng.)]
* {{Internetquelle |url=https://dictionary.iucr.org/Lattice_system |titel=Lattice system | hrsg=[[International Union of Crystallography]] (IUCR) |datum=2019-05-30 |abruf=2022-02-24 |sprache=en}}
 


[[Kategorie:Kristallographie]]
[[Kategorie:Kristallographie]]

Aktuelle Version vom 25. Februar 2022, 09:53 Uhr

Die Punktgruppe eines Kristalls heißt Holoedrie (Vollform), wenn sie mit der Punktgruppe seines Kristallgitters übereinstimmt. Kristalle dieser Kristallklassen entwickeln die volle Anzahl an Flächen. Der Begriff Holoedrie wird daher hauptsächlich in der Mineralogie zur Beschreibung der Kristalltracht verwendet.

Holoedrien im dreidimensionalen Raum

Im Dreidimensionalen gibt es sieben Holoedrien, die den sieben Gittersystemen (auch Bravais-Systeme oder Achsensysteme genannt) entsprechen. Jedes dieser Gittersysteme hat ein entsprechendes Achsenkreuz, das durch Bedingungen an die Kristallachsen beschrieben werden kann.

Holoedrie Gittersystem Gitterparameter
Name Abkürzung Basisvektoren Winkel
1 triklin / anorthisch a a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
2/m monoklin m a ≠ b ≠ c γ ≠ 90°, α = β = 90°; 1st setting
β ≠ 90°, α = γ = 90°; 2nd setting
mmm orthorhombisch o a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90°
4/mmm tetragonal t a = b ≠ c α = β = γ = 90°
3m rhomboedrisch r a = b = c α = β = γ ≠ 90°
6/mmm hexagonal h a = b ≠ c α = β = 90°, γ = 120°
m3m kubisch c a = b = c α = β = γ = 90°

Da die Elementarzelle des rhomboedrischen Gittersystems keine konventionelle Zelle ist (die Zellkanten verlaufen nicht parallel zu den Symmetrieachsen), wird dieses Gittersystem auch als hexagonales Gittersystem mit rhomboedrischer Zentrierung beschrieben.

Die Längen und Winkel sind dabei als Restriktionen aufzufassen. Im monoklinen Kristallsystem kann beispielsweise der Winkel β (im 2nd setting) jeden beliebigen Wert annehmen. Er kann also auch zufällig im Rahmen der Messgenauigkeit 90° betragen.

Meroedrien

Die Struktur eines Kristalls wird beschrieben durch das Gitter und die Basis.

Im Allgemeinen erniedrigt die Basis die Symmetrie des Gitters, so dass die Punktgruppe des Kristalls eine echte Untergruppe der Punktgruppe des Kristallgitters ist. In diesen Fällen heißt die Form Meroedrie (Teilform). Je nach dem Verhältnis der Ordnung der Punktgruppe des Kristalls zur Ordnung der Punktgruppe des Gitters kann man die Meroedrien unterteilen in:

  • Hemiedrien (halbe Ordnung)
  • Tetartoedrien (viertel Ordnung)
  • Ogdoedrien (achtel Ordnung).

Wenn hingegen die Basis die Symmetrie des Gitters nicht erniedrigt, spricht man von einer Holoedrie.

Einteilung der Punktgruppen nach Holoedrien und Meroedrien

Alle Punktgruppen, die keine Holoedrien sind, lassen sich als Meroedrien einer Holoedrie zuordnen. Dabei ist zu beachten, dass die trigonalen Punktgruppen zugleich Holoedrien und Meroedrien des rhomboedrischen als auch Meroedrien des hexagonalen Gittersystems sind.

Gittersystem Holoedrie Hemiedrie Tetartoedrie Ogdoedrie
triklin / anorthisch 1 1 – –
monoklin 2/m m, 2 – –
orthorhombisch mmm mm2, 222 – –
tetragonal 4/mmm 42m, 4mm, 422, 4/m 4, 4 –
rhomboedrisch 3m 3m, 32, 3 3 –
hexagonal 6/mmm 6m2, 6mm, 622, 6/m; 3m 6, 6; 3m, 32, 3 3
kubisch m3m 43m, 432, m3 23 –

Weitere Unterteilung

Die Meroedrien können noch je nach der Art der weggefallenen Symmetrieelemente weiter unterteilt werden:

  • Hemimorphie: Wegnahme einer Symmetrieebene senkrecht zur Hauptachse; der entsprechende Kristallkörper wird auch als Hemieder (Halbflächner) bezeichnet.
  • Paramorphie: Wegnahme einer Symmetrieebene parallel zur Hauptachse
  • Enantiomorphie: Wegnahme aller Symmetrieebenen und des Inversionszentrums: es kommen nur Drehachsen vor
  • Hemiedrie 2. Art: Wegnahme des Inversionszentrums, Existenz von n mit n gerade
  • Tetartoedrie 2. Art: Wegnahme von m oder 2 bei Hemiedrie 2. Art; der entsprechende Kristallkörper wird auch als Tetartoeder (Viertelflächner) bezeichnet.

Daraus ergibt sich folgende detaillierte Zuordnung:

Gittersystem Holoedrie Hemimorphie Paramorphie Enantiomorphie Hemiedrie 2. Art Tetartoedrie Tetartoedrie 2. Art
triklin / anorthisch 1 – – 1 – – –
monoklin 2/m – – 2 m – –
orthorhombisch mmm mm2 – 222 – – –
tetragonal 4/mmm 4mm 4/m 422 42m 4 4
rhomboedrisch 3m 3m 3 32 – 3 –
hexagonal 6/mmm 6mm 6/m 622 6m2 6 6
kubisch m3m – m3 432 43m 23 –

Siehe auch

Literatur

  • Will Kleber, Hans-Joachim Bautsch, Joachim Bohm, Detlef Klimm: Einführung in die Kristallographie. 19. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2010, ISBN 978-3-486-59075-3.

Weblinks

Abgerufen von „https://www.cosmos-indirekt.de/physik_137/index.php?title=Holoedrie&oldid=15985“