Hopf-Bifurkation: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine '''Hopf-Bifurkation''' oder '''Hopf-Andronov-Bifurkation''' ist ein Typ einer lokalen [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]] in [[Nichtlineare Systeme|nichtlinearen Systemen]]. Sie ist nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker [[Eberhard Frederich Ferdinand Hopf]] | [[Datei:Hopfeigenvalues.png|mini|Komplexe Eigenwerte einer beliebigen Abbildung (Punkte). Bei der Hopf-Bifurkation überquert ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte die imaginäre Achse.]] | ||
Eine '''Hopf-Bifurkation''' oder '''Hopf-Andronov-Bifurkation''' ist ein Typ einer lokalen [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkation]] in [[Nichtlineare Systeme|nichtlinearen Systemen]]. Sie ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker [[Eberhard Frederich Ferdinand Hopf]]<ref>Hopf, Abzweigung einer periodischen Lösung eines Differentialsystems, Berichte der Mathematisch-Physikalischen Klasse der Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Band 94, 1942, S. 1–22</ref> bzw. nach [[Alexander Alexandrowitsch Andronow]], der sie mit [[Alexander Adolfowitsch Witt|Witt]] und [[Semjon Emmanuilowitsch Chaikin|Chaikin]] in der Sowjetunion in den 1930er Jahren behandelte. Die Wurzeln der Theorie gehen aber auf [[Henri Poincaré]] Ende des 19. Jahrhunderts zurück. | |||
Hopf- | Bei einer Hopf-Bifurkation überquert an einem Gleichgewichtspunkt ([[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Fixpunkt]]) des Systems ein Paar [[Konjugation (Mathematik)|komplex konjugierter]] [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] der aus der [[Linearisierung]] des Systems resultierenden [[Jacobimatrix]] die imaginäre Achse der [[Komplexe Zahl #Komplexe Zahlenebene|komplexen Ebene]]; am Bifurkationspunkt selbst sind die konjugierten Eigenwerte also rein [[imaginäre Zahl|imaginär]]. Die Hopf-Bifurkationen können nur in zwei- oder höherdimensionalen Systemen auftreten, da die Linearisierung des Systems ''mindestens zwei'' Eigenwerte ("ein Paar") besitzen muss. | ||
[[Datei:Hopfbifurcation.png|mini|400px|1: Superkritische Hopf-Bifurkation, 2: Subkritische Hopf-Bifurkation. Mögliche Trajektorien in Rot, stabile Strukturen in Dunkelblau, instabile Strukturen in gestricheltem Hellblau.]] | |||
Die [[Kodimension]] der Hopf-Bifurkation ist | Die [[Normalform]] der Hopf-Bifurkation ist | ||
::<math>\frac{dz}{dt} = z ((\lambda + i ) + (\alpha + i \beta) |z|^2).</math> | |||
Dabei ist | |||
* <math>z</math> eine komplexe Größe | |||
* t die Zeit | |||
* i die imaginäre Einheit | |||
* <math>\lambda</math>, <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind [[reelle Zahl|reelle]] Parameter | |||
** <math>\lambda</math> ist ein Eigenwert. | |||
Hopf-Bifurkationen zeichnen sich dadurch aus, dass bei der Variation eines [[Parameter (Mathematik)|Parameters]] ein [[Grenzzyklus]] aus einem [[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Gleichgewicht]] entsteht. Es werden zwei Fälle unterschieden, je nachdem, ob ein [[Stabilitätstheorie|stabiler]] Grenzzyklus entsteht (superkritische Hopf-Bifurkation) oder ein instabiler Grenzzyklus (subkritische Hopf-Bifurkation, vgl. nebenstehende Abbildung):<ref>Yuri Kuznetsov, Andronov-Hopf Bifurcation, Scholarpedia, siehe Weblinks</ref> | |||
* Im Fall der superkritischen Hopf-Bifurkation (<math>\alpha<0</math>) tritt für <math>\lambda<0</math> ein stabiler Fixpunkt auf, der beim Übergang zu <math>\lambda>0</math> in einen instabilen Fixpunkt bzw. einen stabilen Grenzzyklus übergeht. | |||
* Im Fall der subkritischen Hopf-Bifurkation (<math>\alpha>0</math>) tritt bei <math>\lambda<0</math> ein instabiler Grenzzyklus bzw. ein stabiler Fixpunkt auf, der mit <math>\lambda>0</math> in einen instabilen Fixpunkt übergeht. | |||
Die Parameter <math>\lambda</math> und <math>\alpha</math> bestimmen im Wesentlichen die Stabilität des Systems nahe <math>\lambda = 0</math>, wohingegen <math>\beta</math> die Rotation der [[Trajektorie (Mathematik)|Trajektorien]] und damit auch die Windungsrichtung beeinflusst. | |||
Die [[Kodimension]] der Hopf-Bifurkation ist wie bei der [[Sattel-Knoten-Bifurkation]], der [[Pitchfork-Bifurkation]] und der [[Transkritische Bifurkation|Transkritischen Bifurkation]] gleich eins; diese anderen Typen von Bifurkationen der Kodimension 1 zeichnen sich jedoch am Fixpunkt durch einen Eigenwert <math>\lambda = 0</math> der Jacobimatrix aus. | |||
== Literatur == | == Literatur == | ||
* John Guckenheimer, Philip Holmes: ''Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields'', Springer, ISBN 0-387-90819-6 | * John Guckenheimer, Philip Holmes: ''Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields'', Springer, ISBN 0-387-90819-6 | ||
* Yu.A. Kuznetsov: ''Elements of Applied Bifurcation Theory'', Springer, 3. Auflage 2004 | |||
* [[Jerrold E. Marsden]], M. McCracken: ''Hopf Bifurcation and its Applications'', Springer 1976 | |||
== Weblinks == | == Weblinks == | ||
* {{Scholarpedia|http://www.scholarpedia.org/article/Andronov-Hopf_Bifurcation}} (Yuri Kuznetsov, Andronov-Hopf Bifurcation) | * {{Scholarpedia|http://www.scholarpedia.org/article/Andronov-Hopf_Bifurcation}} (Yuri Kuznetsov, Andronov-Hopf Bifurcation) | ||
== Einzelnachweise == | |||
<references /> | |||
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Aktuelle Version vom 15. Januar 2021, 11:32 Uhr
Eine Hopf-Bifurkation oder Hopf-Andronov-Bifurkation ist ein Typ einer lokalen Bifurkation in nichtlinearen Systemen. Sie ist benannt nach dem deutsch-amerikanischen Mathematiker Eberhard Frederich Ferdinand Hopf[1] bzw. nach Alexander Alexandrowitsch Andronow, der sie mit Witt und Chaikin in der Sowjetunion in den 1930er Jahren behandelte. Die Wurzeln der Theorie gehen aber auf Henri Poincaré Ende des 19. Jahrhunderts zurück.
Bei einer Hopf-Bifurkation überquert an einem Gleichgewichtspunkt (Fixpunkt) des Systems ein Paar komplex konjugierter Eigenwerte der aus der Linearisierung des Systems resultierenden Jacobimatrix die imaginäre Achse der komplexen Ebene; am Bifurkationspunkt selbst sind die konjugierten Eigenwerte also rein imaginär. Die Hopf-Bifurkationen können nur in zwei- oder höherdimensionalen Systemen auftreten, da die Linearisierung des Systems mindestens zwei Eigenwerte ("ein Paar") besitzen muss.
Die Normalform der Hopf-Bifurkation ist
- $ {\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+(\alpha +i\beta )|z|^{2}). $
Dabei ist
- $ z $ eine komplexe Größe
- t die Zeit
- i die imaginäre Einheit
- $ \lambda $, $ \alpha $ und $ \beta $ sind reelle Parameter
- $ \lambda $ ist ein Eigenwert.
Hopf-Bifurkationen zeichnen sich dadurch aus, dass bei der Variation eines Parameters ein Grenzzyklus aus einem Gleichgewicht entsteht. Es werden zwei Fälle unterschieden, je nachdem, ob ein stabiler Grenzzyklus entsteht (superkritische Hopf-Bifurkation) oder ein instabiler Grenzzyklus (subkritische Hopf-Bifurkation, vgl. nebenstehende Abbildung):[2]
- Im Fall der superkritischen Hopf-Bifurkation ($ \alpha <0 $) tritt für $ \lambda <0 $ ein stabiler Fixpunkt auf, der beim Übergang zu $ \lambda >0 $ in einen instabilen Fixpunkt bzw. einen stabilen Grenzzyklus übergeht.
- Im Fall der subkritischen Hopf-Bifurkation ($ \alpha >0 $) tritt bei $ \lambda <0 $ ein instabiler Grenzzyklus bzw. ein stabiler Fixpunkt auf, der mit $ \lambda >0 $ in einen instabilen Fixpunkt übergeht.
Die Parameter $ \lambda $ und $ \alpha $ bestimmen im Wesentlichen die Stabilität des Systems nahe $ \lambda =0 $, wohingegen $ \beta $ die Rotation der Trajektorien und damit auch die Windungsrichtung beeinflusst.
Die Kodimension der Hopf-Bifurkation ist wie bei der Sattel-Knoten-Bifurkation, der Pitchfork-Bifurkation und der Transkritischen Bifurkation gleich eins; diese anderen Typen von Bifurkationen der Kodimension 1 zeichnen sich jedoch am Fixpunkt durch einen Eigenwert $ \lambda =0 $ der Jacobimatrix aus.
Literatur
- John Guckenheimer, Philip Holmes: Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields, Springer, ISBN 0-387-90819-6
- Yu.A. Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer, 3. Auflage 2004
- Jerrold E. Marsden, M. McCracken: Hopf Bifurcation and its Applications, Springer 1976
Weblinks
- Artikel. In: Scholarpedia. (englisch, inkl. Literaturangaben) (Yuri Kuznetsov, Andronov-Hopf Bifurcation)