Transkritische Bifurkation

Transkritische Bifurkation

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Datei:Transcritical bif potential.png
Illustration der transkritischen Bifurkation. Die stabile (rot) Ruhelage wird instabil (blau) und umgekehrt.
Bifurkationsdiagramm einer Transkritischen Bifurkation. Stabile Fixpunkte sind rot, instabile blau dargestellt.

Die transkritische Bifurkation beschreibt einen Vorgang, bei dem die Stabilität („anziehend“ oder „abstoßend“) zweier Ruhelagen eines Systems vertauscht wird. Sie ist damit ein bestimmter Typ einer Bifurkation eines nichtlinearen Systems.

Die Normalform der transkritischen Bifurkation ist:

dxdt=μxx2,

wobei μ der Bifurkationsparameter ist.[1]

Die transkritische Bifurkation hat folgende Gleichgewichtspunkte:

x1=0
x2=μ

Setzt man x=(x1/2+δ) mit δ1 in die Normalform ein (d. h. man stört den Fixpunkt) und vernachlässigt alle Terme der Ordnung δ2, erhält man

dδdt={μδbeix1μδbeix2

für die zeitliche Entwicklung der Störung δ.

Für μ<0 ist also x1 ein stabiler Fixpunkt (d. h. die Störung nimmt mit der Zeit ab) und x2 ein instabiler (die Störung wächst). Für μ>0 ist es umgekehrt. Bei dem kritischen Wert des Bifurkationsparameters μ=0 ist der (in diesem Fall einzige) Fixpunkt x=0 indifferent stabil.

Diskretes System

Die diskrete logistische Abbildung

xn+1=rxn(1xn)

folgt ebenfalls einer transkritischen Bifurkation. Sie besitzt die Fixpunkte x1=0 und x2=11r. Der Ursprung x1 ist hier stabil für r<1 und instabil für r>1, während x2 für 1<r<3 stabil ist und diese Stabilität für r>3 verliert.[1]

Die logistische Gleichung kann aus der kontinuierlichen Normalform durch den Übergang dx/dtxn+1xn und die Transformation xn/(1+μ)xn,r=1+μ gewonnen werden.

Beispiel

Bei einem logistischen Wachstum ist die zeitliche Änderung einer Ressource R proportional zu ihrem derzeitigen Wert und zur Differenz dieses Werts von einer Schranke S, zum Beispiel bei der Anzahl an Tieren in einem bestimmten Gebiet. Die Proportionalitätskonstante sei p. Tritt zusätzlich ein Konsum dieser Ressource proportional zu ihrer momentanen Verfügbarkeit mit Proportionalitätskonstante k auf, beispielsweise durch Bejagung, dann lautet die Differentialgleichung

dRdt=pR(SR)kR=(pSk)RpR2

Dies lässt sich durch die Variablentransformation x=pR in die Normalform überführen und man identifiziert μ=pSk. Für k>pS ist also R1=0 ein stabiler Fixpunkt: Würde ein Tier in das Gebiet ausgesetzt, würden die Jäger dieses sofort schießen und ein Anwachsen unterbinden. Der Fixpunkt R2=Sk/p ist hingegen instabil: Schießen die Jäger auch nur kurzzeitig zu viel Wild, kann es sich nicht erholen und stirbt bei gleichbleibender Bejagung aus (strebt gegen R1). Für k<pS ändert sich das Verhalten der Fixpunkte: R1 wird instabil, bei kurzzeitiger Erhöhung der Population wird nicht genügend Wild geschossen, um ein Anwachsen auf den Fixpunkt R2 zu verhindern. Dieser ist stabil, das heißt, sowohl bei kurzzeitig zu viel als auch zu wenig geschossenem Wild schwankt die Population nur um R2.

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos. Westview Press, Boulder, CO 2000, ISBN 978-0-7382-0453-6, S. 50 f., 357 f.