Lichtkegel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 7. November 2021, 09:22 Uhr

In der relativistischen Physik bezeichnet der Lichtkegel eines Ereignisses $E$ die Menge aller Ereignisse $E^{'}$ , die sich mit Lichtgeschwindigkeit $c$ auf $E$ auswirken oder von $E$ mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.

Lichtkegel in einer Raumzeit mit zwei Raumdimensionen, Vorwärts-Lichtkegel in positiver Zeitrichtung.
Der Beobachter eines Ereignisses

E

befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Lichtkegel (Gegenwart).

Der Lichtkegel ist ein Doppelkegel im vierdimensionalen Minkowski-Raum. Er besteht aus

dem Rückwärts-Lichtkegel, der genau die Ereignisse $E^{'}$ enthält, die vor $E$ stattgefunden haben (Vergangenheit, $t^{'} < t$ ) und $E$ mit Lichtgeschwindigkeit bewirkt haben können (siehe Lokalität und Kausalität), und
dem Vorwärts-Lichtkegel, das sind die Ereignisse $E^{'},$ die später als $E$ stattfinden (Zukunft, $t^{'} > t$ ) und von $E$ mit Lichtgeschwindigkeit verursacht worden sein können.

Definition

Seien

$(t, x, y, z)$ die Orts- und Zeitkoordinaten von $E$ ,
$(t^{'}, x^{'}, y^{'}, z^{'})$ die Koordinaten von $E^{'}$ ,
$(t^{'} - t, x^{'} - x, y^{'} - y, z^{'} - z)$ die Komponenten des Differenzvektors $E^{'} - E$ ,
$d s^{2} := c^{2} \cdot d t^{2} - d x^{2} - d y^{2} - d z^{2}$ das Quadrat des differentiellen Abstands in der flachen Raumzeit, der für alle Beobachter identisch ist. Die hier verwendete Signatur ist $(+, -, -, -)$ . Für eine Signatur $(-, +, +, +)$ gelten für $d s^{2}$ analoge Definitionen mit umgekehrtem Vorzeichen.

Lichtartiger Differenzvektor

Wenn der Differenzvektor lichtartig ist:

\begin{aligned} d s^{2} & = 0 \\ \Leftrightarrow & c^{2} (t^{'} - t)^{2} - (x^{'} - x)^{2} - (y^{'} - y)^{2} - (z^{'} - z)^{2} & = 0 \\ \Leftrightarrow & {(\frac{x^{'} - x}{t^{'} - t})}^{2} + {(\frac{y^{'} - y}{t^{'} - t})}^{2} + {(\frac{z^{'} - z}{t^{'} - t})}^{2} & = c^{2} \\ \Leftrightarrow & v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} & = c^{2}, \end{aligned}

dann liegt $E^{'}$ in der speziellen Relativitätstheorie auf dem Lichtkegel von $E .$ Genau die Ereignisse auf dem Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegel sind aktuell für einen Beobachter sichtbar, der sich in $E$ aufhält (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Zeitartiger Differenzvektor

Ist der Differenzvektor zeitartig:

\begin{aligned} d s^{2} & > 0 \\ \Leftrightarrow & c^{2} (t^{'} - t)^{2} - (x^{'} - x)^{2} - (y^{'} - y)^{2} - (z^{'} - z)^{2} & > 0 \\ \Leftrightarrow & v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} & < c^{2}, \end{aligned}

so liegt $E^{'}$ im Inneren des Rückwärts- oder Vorwärts-Lichtkegels von $E$ , je nachdem, ob es vor oder nach $E$ stattgefunden hat. Dann kann es sich bei $E^{'}$ um die Ursache oder um die Auswirkung von $E$ handeln, die sich langsamer als Licht auswirkt. Ereignisse innerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels waren früher für einen Beobachter sichtbar, der sich an derselben Stelle im Raum aufhielt wie $E$ (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Raumartiger Differenzvektor

Ist der Differenzvektor raumartig:

\begin{aligned} d s^{2} & < 0 \\ \Leftrightarrow & c^{2} (t^{'} - t)^{2} - (x^{'} - x)^{2} - (y^{'} - y)^{2} - (z^{'} - z)^{2} & < 0 \\ \Leftrightarrow & v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} & > c^{2}, \end{aligned}

so liegt $E^{'}$ außerhalb des Rückwärts- oder Vorwärts-Lichtkegels. Bei den Ereignissen kann es sich nicht um Ursache und Wirkung handeln, denn dann müsste sich eine Ursache mit Überlichtgeschwindigkeit auswirken. Ereignisse außerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels von $E$ und vor $E$ sind für einen Beobachter, der sich in $E$ aufhält, (noch) nicht sichtbar (d. h. sie liegen hinter dem Ereignishorizont, ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Folgen für die Lösung relativistischer Differentialgleichungen

Die Lösung der inhomogenen Klein-Gordon-Gleichung, gültig für Bosonen, hängt für das Ereignis $E$ nur ab von den früheren Anfangsbedingungen sowie der Inhomogenität auf dem Rückwärts-Lichtkegel von $E$ und in seinem Inneren.

Die Lösung der homogenen Klein-Gordon-Gleichung (verschwindende Masse, entspricht der Wellengleichung) hängt nur ab von den Anfangsbedingungen und der Inhomogenität auf dem Rückwärts-Lichtkegel von $E$ , aber nicht mehr von der Inhomogenität in seinem Inneren. Anfangsbedingungen und Inhomogenität wirken sich in diesem Fall nur mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Folgen für die Lösung anderer grundlegender relativistischer Gleichungen (z. B. der Dirac-Gleichung, gültig für Fermionen) sind entsprechend.

Siehe auch

Minkowski-Diagramm

Literatur

Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 2. Zweite Auflage. Springer Verlag, Berlin 1968 (Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN 0073-1684).

Weblinks

Wiktionary: Lichtkegel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Norbert Dragon: Geometrie der Relativitätstheorie. (PDF; 2,4 MB).

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 {{Dieser Artikel|beschreibt den relativistischen Lichtkegel, zum Lichtkegel als gebündelte Lichtquelle siehe [[Scheinwerfer]].}}
-In der [[Relativitätstheorie|relativistischen Physik]] bezeichnet der '''Lichtkegel''' eines [[Ereignis #Ereignis in der Relativitätstheorie|Ereignisses]] <math>E</math> die Menge aller Ereignisse <math>E'</math>, die sich mit [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> auf <math>E</math> auswirken oder von <math>E</math> mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.
+In der [[Relativitätstheorie|relativistischen Physik]] bezeichnet der '''Lichtkegel''' eines [[Ereignis#Ereignis in der Relativitätstheorie|Ereignisses]] <math>E</math> die Menge aller Ereignisse <math>E'</math>, die sich mit [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> auf <math>E</math> auswirken oder von <math>E</math> mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.
-[[Datei:World line-de.svg|250px|mini|rechts| Lichtkegel in einer [[Raumzeit]] mit zwei Raumdimensionen, Vorwärtskegel in positiver Zeitrichtung.<br />Der Beobachter eines Ereignisses E befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Kegel ([[Gegenwart #Physik|Gegenwart]]).]]
+[[Datei:World line-de.svg|250px|mini|rechts|Lichtkegel in einer [[Raumzeit]] mit zwei Raumdimensionen, Vorwärts-Lichtkegel in positiver Zeitrichtung.<br />Der Beobachter eines Ereignisses <math>E</math> befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Lichtkegel ([[Gegenwart#Physik|Gegenwart]]).]]
-Der Lichtkegel ist ein [[Doppelkegel]] im [[4D #Physikalisch verbreitetes Verständnis|vierdimensionalen]] [[Minkowski-Raum]]. Er besteht aus
+Der Lichtkegel ist ein [[Doppelkegel]] im [[4D#Physikalisch verbreitetes Verständnis|vierdimensionalen]] [[Minkowski-Raum]]. Er besteht aus
-* dem Rückwärtslichtkegel, der aus Ereignissen <math>E'</math> besteht, die vor <math>E</math> stattgefunden haben ([[Vergangenheit #Physik|Vergangenheit]], <math>t' < t</math>) und <math>E</math> mit Lichtgeschwindigkeit bewirkt haben können, und
+* dem Rückwärts-Lichtkegel, der genau die Ereignisse <math>E'</math> enthält, die vor <math>E</math> stattgefunden haben ([[Vergangenheit#Physik|Vergangenheit]], <math>t' < t</math>) und <math>E</math> mit Lichtgeschwindigkeit bewirkt haben können (siehe [[Lokalität (Physik)#Lokalität in der speziellen Relativitätstheorie|Lokalität]] und [[Kausalität #Relativitätstheorie|Kausalität]]), und
-* dem Vorwärtslichtkegel, das sind Ereignisse <math>E',</math> die später als <math>E</math> stattfinden ([[Zukunft #Physik|Zukunft]], <math>t' > t</math>) und von <math>E</math> mit Lichtgeschwindigkeit verursacht worden sein können.
+* dem Vorwärts-Lichtkegel, das sind die Ereignisse <math>E',</math> die später als <math>E</math> stattfinden ([[Zukunft #Physik|Zukunft]], <math>t' > t</math>) und von <math>E</math> mit Lichtgeschwindigkeit verursacht worden sein können.
 == Definition ==
 Seien
-* <math>(t, x, y, z)</math> die [[Inertialsystem|Orts- und Zeitkoordinaten]] von <math>E \,</math>
+* <math>(t, x, y, z)</math> die [[Inertialsystem|Orts- und Zeitkoordinaten]] von <math>E</math>,
-* <math> (t', x', y', z')</math> die Koordinaten von <math>E'</math> und
+* <math>(t', x', y', z')</math> die Koordinaten von <math>E'</math>,
-* <math>(t'-t,x'-x, y'-y,z'-z)</math> die Komponenten des [[Weltlinie|Differenzvektors]] <math>E' - E</math>
+* <math>(t'-t, x'-x, y'-y, z'-z)</math> die Komponenten des [[Weltlinie|Differenzvektors]] <math>E' - E</math>,
 * <math>\mathrm ds^2 := c^2 \cdot \mathrm dt^2 - \mathrm dx^2 - \mathrm dy^2 - \mathrm dz^2</math> das Quadrat des differentiellen Abstands in der flachen [[Raumzeit]], der für alle Beobachter identisch ist. Die hier verwendete [[Signatur (Lineare Algebra)|Signatur]] ist <math>(+,-,-,-)</math>. Für eine Signatur <math>(-,+,+,+)</math> gelten für <math>\mathrm d s^2</math> analoge Definitionen mit umgekehrtem Vorzeichen.
-{{Anker|lichtartig}}Wenn der Differenzvektor '''lichtartig''' ist:
+=== {{Anker|lichtartig}} Lichtartiger Differenzvektor ===
+Wenn der Differenzvektor '''lichtartig''' ist:
 :<math>\begin{align} && \mathrm ds^2 &= 0\
-\Leftrightarrow && c^2 \, (t' -t)^2 - (x' - x)^2 - (y' - y)^2 - (z' - z)^2 &= 0\
+\Leftrightarrow && c^2 \, (t'-t)^2 - (x'-x)^2 - (y'-y)^2 - (z'-z)^2 &= 0\
-\Leftrightarrow && \left( \frac{x' - x}{t' -t} \right)^2 + \left( \frac{y' - y}{t' -t} \right)^2 + \left( \frac{z' - z}{t' -t} \right)^2 &= c^2\
+\Leftrightarrow && \left( \frac{x'-x}{t'-t} \right)^2 + \left( \frac{y'-y}{t'-t} \right)^2 + \left( \frac{z'-z}{t'-t} \right)^2 &= c^2\
 \Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &= c^2,
 \end{align}</math>
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 dann liegt <math>E'</math> in der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] ''auf'' dem Lichtkegel von <math>E.</math> Genau die Ereignisse auf dem Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegel sind aktuell für einen Beobachter [[Sichtbares Universum|sichtbar]], der sich in <math>E</math> aufhält (ohne Berücksichtigung der [[Expansion des Universums]]).
-{{Anker|zeitartig}}Ist der Differenzvektor '''zeitartig''':
+=== {{Anker|zeitartig}} Zeitartiger Differenzvektor ===
+Ist der Differenzvektor '''zeitartig:'''
 :<math>\begin{align} && \mathrm ds^2 &> 0\
-\Leftrightarrow && c^2 \, (t' -t)^2 - (x' - x)^2 - (y' - y)^2 - (z' - z)^2 &>0\
+\Leftrightarrow && c^2 \, (t'-t)^2 - (x'-x)^2 - (y'-y)^2 - (z'-z)^2 &> 0\
-\Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &< c^2 ,
+\Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &< c^2,
 \end{align}</math>
-so liegt <math>E'</math> ''im Inneren'' des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels von <math>E</math>, je nachdem ob es vor oder nach <math>E</math> stattgefunden hat. Dann kann es sich bei <math>E'</math> um die Ursache oder um die Auswirkung von <math>E</math> handeln, die sich langsamer als Licht auswirkt. Ereignisse innerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels waren früher für einen Beobachter sichtbar, der sich an derselben Stelle im Raum aufhielt wie <math>E</math> (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).
+so liegt <math>E'</math> ''im Inneren'' des Rückwärts- oder Vorwärts-Lichtkegels von <math>E</math>, je nachdem, ob es vor oder nach <math>E</math> stattgefunden hat. Dann kann es sich bei <math>E'</math> um die Ursache oder um die Auswirkung von <math>E</math> handeln, die sich langsamer als Licht auswirkt. Ereignisse innerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels waren früher für einen Beobachter sichtbar, der sich an derselben Stelle im Raum aufhielt wie <math>E</math> (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).
-{{Anker|raumartig}}Ist der Differenzvektor '''raumartig''':
+=== {{Anker|raumartig}} Raumartiger Differenzvektor ===
+Ist der Differenzvektor '''raumartig:'''
 :<math>\begin{align} && \mathrm ds^2 &< 0\
-\Leftrightarrow && c^2 \, (t' -t)^2 - (x' - x)^2 - (y' - y)^2 - (z' - z)^2 &<0\
+\Leftrightarrow && c^2 \, (t'-t)^2 - (x'-x)^2 - (y'-y)^2 - (z'-z)^2 &< 0\
-\Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &> c^2 ,
+\Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &> c^2,
 \end{align}</math>
-so liegt <math>E'</math> ''außerhalb'' des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels. Bei den Ereignissen kann es sich nicht um Ursache und Wirkung handeln, denn dann müsste sich eine Ursache mit [[Überlichtgeschwindigkeit]] auswirken. Ereignisse außerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels und vor <math>E</math> sind für einen Beobachter, der sich in <math>E</math> aufhält, (noch) nicht sichtbar ([[Ereignishorizont]], ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).
+so liegt <math>E'</math> ''außerhalb'' des Rückwärts- oder Vorwärts-Lichtkegels. Bei den Ereignissen kann es sich nicht um Ursache und Wirkung handeln, denn dann müsste sich eine Ursache mit [[Überlichtgeschwindigkeit]] auswirken. Ereignisse außerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels von <math>E</math> und vor <math>E</math> sind für einen Beobachter, der sich in <math>E</math> aufhält, (noch) nicht sichtbar (d.&nbsp;h. sie liegen hinter dem [[Ereignishorizont]], ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).
 == Folgen für die Lösung relativistischer Differentialgleichungen ==
-Die Lösung der ''inhomogenen'' [[Klein-Gordon-Gleichung]], gültig für [[Bosonen]], hängt für das Ereignis <math>E</math> nur ab von den früheren [[Anfangsbedingung]]en sowie der Inhomogenität ''auf'' dem Rückwärtslichtkegel von <math>E</math> und ''in'' seinem Inneren.
+Die Lösung der ''inhomogenen'' [[Klein-Gordon-Gleichung]], gültig für [[Bosonen]], hängt für das Ereignis <math>E</math> nur ab von den früheren [[Anfangsbedingung]]en sowie der Inhomogenität ''auf'' dem Rückwärts-Lichtkegel von <math>E</math> und ''in'' seinem Inneren.
-Die Lösung der ''homogenen'' Klein-Gordon-Gleichung (verschwindende Masse, entspricht der [[Wellengleichung]]) hängt nur ab von den Anfangsbedingungen und der Inhomogenität ''auf'' dem Rückwärtslichtkegel von <math>E</math>, aber ''nicht'' mehr von der Inhomogenität in seinem Inneren. Anfangsbedingungen und Inhomogenität wirken sich in diesem Fall nur mit Lichtgeschwindigkeit aus.
+Die Lösung der ''homogenen'' Klein-Gordon-Gleichung (verschwindende Masse, entspricht der [[Wellengleichung]]) hängt nur ab von den Anfangsbedingungen und der Inhomogenität ''auf'' dem Rückwärts-Lichtkegel von <math>E</math>, aber ''nicht'' mehr von der Inhomogenität in seinem Inneren. Anfangsbedingungen und Inhomogenität wirken sich in diesem Fall nur mit Lichtgeschwindigkeit aus.
 Die Folgen für die Lösung anderer grundlegender relativistischer Gleichungen (z.&nbsp;B. der [[Dirac-Gleichung]], gültig für [[Fermionen]]) sind entsprechend.
 == Siehe auch ==
-* [[Kausalität #Relativitätstheorie]]
+* [[Minkowski-Diagramm]]
 == Literatur ==
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 == Weblinks ==
 {{Wiktionary|Lichtkegel}}
-* Norbert Dragon, [http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/relativ.pdf ''Geometrie der Relativitätstheorie''] (PDF; 2,5&nbsp;MB)
+* Norbert Dragon: [https://www.itp.uni-hannover.de/fileadmin/arbeitsgruppen/dragon/relativ.pdf ''Geometrie der Relativitätstheorie.''] (PDF; 2,4&nbsp;MB).
 [[Kategorie:Relativitätstheorie]]
 [[Kategorie:Differentialgeometrie]]