Skalenfaktor: Unterschied zwischen den Versionen
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Der '''Skalenfaktor''' <math>a</math> ist ein [[Kosmologie|kosmologischer]] Parameter des [[Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik|Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Modells]]. Er ist eine Funktion der Zeit und gibt die relative [[Expansion des Universums]] an, | Der '''Skalenfaktor''' <math>a</math> ist ein [[Kosmologie|kosmologischer]] Parameter des [[Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik|Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Modells]]. Er ist eine Funktion der Zeit und gibt die relative [[Expansion des Universums]] an, d. h., er stellt einen Zusammenhang her zwischen physikalischen [[Koordinate]]n <math>D</math> und [[Entfernungsmaß #Mitbewegte Entfernung|mitbewegten Koordinaten]] <math>D_c</math>: | ||
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Der Skalenfaktor kann im Prinzip die [[Maßeinheit|Einheit]] einer [[Länge (Physik)|Länge]] haben oder [[dimensionslos]] sein. In der modernen Kosmologie wird er meistens dimensionslos gewählt, sodass gilt: | Der Skalenfaktor kann im Prinzip die [[Maßeinheit|Einheit]] einer [[Länge (Physik)|Länge]] haben oder [[dimensionslos]] sein. In der modernen Kosmologie wird er meistens dimensionslos gewählt, sodass gilt: | ||
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Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors wird durch die Formeln der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] bestimmt, welche im Falle eines lokal [[isotrop]]en und lokal [[homogen]]en Universums durch die [[Friedmann-Gleichungen]] dargestellt sind. | Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors wird durch die [[Einsteinsche Feldgleichungen|Formeln]] der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] bestimmt, welche im Falle eines lokal [[isotrop]]en und lokal [[Homogenität (Physik)|homogen]]en Universums durch die [[Friedmann-Gleichungen]] dargestellt sind. Die Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit kann mit dem [[Hubble-Konstante|Expansionsfaktor]] ''E'' berechnet werden: | ||
:<math>\dot a(t) = H(t) a(t) = E(t) H(t_0) a(t)</math> | |||
:<math>H = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}.</math> | Der Skalenfaktor und seine [[Zeitableitung|zeitliche Änderung]] definieren den [[Hubble-Parameter]]: | ||
:<math>H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} .</math> | |||
Auch die weiteren Ableitungen werden benötigt, mit der [[Kosmologische Konstante|Kosmologischen Konstante]] ''Λ'': | |||
:<math>\ddot a(t) = (\dot H(t)+H(t)^2)a(t)</math> | |||
:<math>\dot H(t) = \frac{\ddot a(t)}{a(t)}-H(t)^2 = \frac {c^2\Lambda}{2}-1,5H(t)^2 .</math> | |||
In der Literatur wird gerne der ''Beschleunigungs''-, ''Akzelerations''-, ''Dezelerations''-, ''Brems''- oder auch ''Verzögerungsparameter'' ''q'' verwendet: | |||
:<math>q(t) = \frac{-a(t) \ddot a(t)}{\dot a(t)^2} = -1-\frac{\dot H(t)}{H(t)^2} = \frac{\ddot a(t)}{H(t)^2 a(t)} .</math> | |||
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Aktuelle Version vom 12. Juni 2021, 21:47 Uhr
Der Skalenfaktor $ a $ ist ein kosmologischer Parameter des Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Modells. Er ist eine Funktion der Zeit und gibt die relative Expansion des Universums an, d. h., er stellt einen Zusammenhang her zwischen physikalischen Koordinaten $ D $ und mitbewegten Koordinaten $ D_{c} $:
- $ a(t)={\frac {D(t)}{D_{c}}}. $
Der Skalenfaktor kann im Prinzip die Einheit einer Länge haben oder dimensionslos sein. In der modernen Kosmologie wird er meistens dimensionslos gewählt, sodass gilt:
- $ a(t_{0})=1. $
Die Zeit t wird von der Entstehung des Universums an gemessen und $ t_{0} $ stellt das heutige Alter des Universums mit (13,7 ± 0,2) Milliarden Jahren dar.
Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors wird durch die Formeln der allgemeinen Relativitätstheorie bestimmt, welche im Falle eines lokal isotropen und lokal homogenen Universums durch die Friedmann-Gleichungen dargestellt sind. Die Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit kann mit dem Expansionsfaktor E berechnet werden:
- $ {\dot {a}}(t)=H(t)a(t)=E(t)H(t_{0})a(t) $
Der Skalenfaktor und seine zeitliche Änderung definieren den Hubble-Parameter:
- $ H(t)={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}. $
Auch die weiteren Ableitungen werden benötigt, mit der Kosmologischen Konstante Λ:
- $ {\ddot {a}}(t)=({\dot {H}}(t)+H(t)^{2})a(t) $
- $ {\dot {H}}(t)={\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}-H(t)^{2}={\frac {c^{2}\Lambda }{2}}-1,5H(t)^{2}. $
In der Literatur wird gerne der Beschleunigungs-, Akzelerations-, Dezelerations-, Brems- oder auch Verzögerungsparameter q verwendet:
- $ q(t)={\frac {-a(t){\ddot {a}}(t)}{{\dot {a}}(t)^{2}}}=-1-{\frac {{\dot {H}}(t)}{H(t)^{2}}}={\frac {{\ddot {a}}(t)}{H(t)^{2}a(t)}}. $
Literatur
- Arnold Hanslmeier: Einführung in Astronomie und Astrophysik, Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 2007, ISBN 978-3-8274-1846-3