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imported>Bleckneuhaus |
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| Der '''Boltzmann-Faktor''' <math>\exp \left( -\frac{E}{k_\mathrm{B} \cdot T} \right)</math><br />
| | #WEITERLEITUNG [[Boltzmann-Statistik]] |
| mit
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| * der [[Energie]] <math>E</math>
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| * der [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_\mathrm{B}</math>
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| * der [[Absolute Temperatur|absoluten Temperatur]] <math>T</math>
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| : (<math>k_\mathrm{B} \cdot T</math> ist die [[thermische Energie]])
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| spielt eine zentrale Rolle in der theoretischen [[Thermodynamik]] ([[statistische Physik]]). Er tritt auf im Kontext eines Systems in Kontakt mit einem [[Wärmebad]] ([[kanonisches Ensemble]]).
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| So besagt die [[Boltzmann-Statistik]], dass die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>W</math>, einen [[Energieeigenzustand|Zustand der Energie]] <math>E</math> mit einem Teilchen besetzt zu finden, [[proportional]] ist zum Boltzmann-Faktor:
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| :<math>W(E) \propto e^{-\frac{E}{k_\mathrm{B} \cdot T}}.</math>
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| Innerhalb eines gegebenen Energie[[Intervall (Mathematik)|intervalls]] befinden sich evtl. mehrere Zustände, sodass die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei dieser Energie zu beobachten, durch das Produkt des Boltzmannfaktors, der Energie[[zustandsdichte]] <math>D(E)</math> und der Breite des Energieintervalls gegeben ist:
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| :<math>W(E) = D(E) \cdot \Delta E \cdot e^{-\frac{E}{k_\mathrm{B} \cdot T}}</math>
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| Der Boltzmann-Faktor wird aus rein statistischen Betrachtungen hergeleitet und ist unabhängig von den Wechselwirkungen innerhalb des [[Thermodynamisches System|thermodynamischen Systems]].
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| == Die Rolle des Wärmebads ==
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| Die Exponentialfunktion des Boltzmann-Faktors hat ihren Ursprung in einer Eigenschaft des Wärmebads. Die [[mikrokanonische Zustandssumme]] eines Wärmebads konstanter Temperatur <math>T</math> erfüllt die Gleichung
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| :<math>Z(E+\Delta E,T)=Z(E,T)e^{\beta\Delta E}.</math>
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| Ein Beispiel dafür ist die Zustandssumme des idealen Gases. Die Energie <math>\Delta E</math> kann nur aus dem an das Wärmebad gekoppelten System stammen, und dies führt auf den Boltzmann-Faktor.
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| Die Exponentialfunktion in der Wärmebad-Zustandssumme ist generisch und hat eine anschauliche Begründung. Ein Wärmebad ist per Definition beliebig groß und ändert sich bei Hinzufügen einer endlichen Energiemenge <math>\Delta E</math> daher nicht. Insbesondere hat es konstante Temperatur. Entsprechend ändert sich seine Zustandssumme bei jedem weiteren Hinzufügen einer Energiemenge <math>\Delta E</math> um denselben Faktor <math>e^{\beta\Delta E}</math>, was nur bei einer Exponentialfunktion gegeben ist. Formal folgt die Wärmebad-Zustandssumme auch aus der Definition
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| :<math>d \ln{Z}/dE = \beta</math>
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| der Temperatur des mikrokanonischen Ensembles. Wenn das Wärmebad hinreichend groß ist, ist <math>\beta = 1/k_{B}T</math> konstant und das Integral liefert eine Exponentialfunktion.
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| == Anwendungsbeispiele ==
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| === Barometrische Höhenformel ===
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| {{Hauptartikel|Barometrische Höhenformel}}
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| Die [[potentielle Energie]] eines Gasmoleküls der Luft mit Masse <math>m</math> in der Höhe <math>h</math> ist <math>mgh</math>. Die Wahrscheinlichkeit, es in dieser Höhe anzutreffen, ist proportional zu
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| : <math>W(h) \propto e^{-\frac{mgh}{k_\text{B} T}}</math>.
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| === Arrhenius-Gleichung ===
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| {{Hauptartikel|Arrhenius-Gleichung}}
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| Zum Start einer chemischen Reaktion ist die [[Molarität|molare]] [[Aktivierungsenergie]] <math>E_\mathrm{A}</math> erforderlich. Die [[Geschwindigkeitskonstante]] einer chemischen Reaktion ist proportional zu
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| : <math>W(E_\text{A}) \propto e^{-\frac{E_\text{A}}{R T}}</math>.
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| === Dampfdruckkurve ===
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| {{Hauptartikel|Dampfdruckkurve}}
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| Der Übergang von der Flüssigkeit in die Gasphase erfordert die molare [[Verdampfungswärme]] <math>Q_d</math> (präziser wäre [[Enthalpie]]). Der [[Sättigungsdampfdruck]] ist proportional zu
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| : <math>W(Q_d) \propto e^{-\frac{Q_d}{k_\text{B} T}}</math>.
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| [[Kategorie:Thermodynamik]]
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