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Die '''Bekenstein-Grenze''', aufgestellt und benannt von [[Jacob Bekenstein]], setzt der [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] S eines Systems endlicher Energie E in einem endlichen Volumen (Kugel | Die '''Bekenstein-Grenze''', aufgestellt und benannt von [[Jacob Bekenstein]], setzt der [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] ''S'' eines Systems endlicher Energie ''E'' in einem endlichen Volumen (Kugel vom Radius ''R''), und somit dessen [[Informationsgehalt]], eine obere Grenze | ||
:<math>S \leq \frac{2 \pi | : <math>S \leq \frac{2 \pi k_\mathrm B E R}{\hbar c},</math> | ||
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* ''k<sub>B</sub> | * ''k''<sub>B</sub> die [[Boltzmann-Konstante]] | ||
* E [[Energie]] des Systems einschließlich | * ''E'' [[Energie]] des Systems einschließlich Ruheenergien eingeschlossener Teilchen | ||
* R der Radius der Kugel | * ''R'' der Radius der Kugel | ||
* <math>\hbar</math> das [[Plancksches Wirkungsquantum| | * <math>\hbar</math> das [[Plancksches Wirkungsquantum|reduzierte Plancksche Wirkungsquantum]] | ||
* c die [[Lichtgeschwindigkeit]] | * ''c'' die [[Lichtgeschwindigkeit]] | ||
ist. | ist. | ||
Diese Relation wurde von [[Gerardus ’t Hooft|Gerard ’t Hooft]] verallgemeinert, um die Entropie in einem sphärischen Raumbereich mit bestimmter Oberfläche ''A'' zu begrenzen: | Diese Relation wurde von [[Gerardus ’t Hooft|Gerard ’t Hooft]] verallgemeinert, um die Entropie in einem sphärischen Raumbereich mit bestimmter Oberfläche ''A'' zu begrenzen: | ||
:<math>S \leq \frac{ | : <math>S \leq \frac{k_\mathrm B A c^3}{4 G \hbar}</math> | ||
wobei ''G'' die [[Gravitationskonstante]] ist. | |||
Die obere Grenze ist gerade die Entropie, die in einem [[Schwarzes Loch|Schwarzen Loch]] dieser Größe enthalten ist ([[Bekenstein-Hawking-Entropie]]). Da die Oberfläche A eines Schwarzen Loches proportional zum Quadrat seiner Masse ist, ist auch die Obergrenze der Informationsmenge, die in einer Kugel enthalten sein kann, proportional zum Quadrat der enthaltenen Masse. | Die obere Grenze ist gerade die Entropie, die in einem [[Schwarzes Loch|Schwarzen Loch]] dieser Größe enthalten ist ([[Bekenstein-Hawking-Entropie]]). Da die Oberfläche A eines Schwarzen Loches proportional zum Quadrat seiner Masse ist, ist auch die Obergrenze der Informationsmenge, die in einer Kugel enthalten sein kann, proportional zum Quadrat der enthaltenen Masse. | ||
Es ist unklar, ob diese Grenzen auch dann zutreffen, wenn man als Volumen | Es ist unklar, ob diese Grenzen auch dann zutreffen, wenn man als Volumen dasjenige des gesamten [[Universum]]s nimmt. Das [[Holografisches Prinzip|Holografische Prinzip]] geht von der Annahme aus, dass das der Fall ist. Das Problem hängt allgemein damit zusammen, wie man die das Volumen begrenzende Fläche korrekt in der allgemeinen Relativitätstheorie definiert. [[Raphael Bousso]] formulierte 1999 in diesem Zusammenhang eine kovariante Version der Bekenstein-Grenze, ''kovariante Entropie-Grenze'' bzw. ''Holographische Grenze von Bousso'' genannt.<ref>Bousso: ''A Covariant Entropy Conjecture''. In: ''Journal of High Energy Physics'', 7, 1999, S. 004, {{arXiv|hep-th/9905177}}</ref> Es war nicht nur auf Ereignishorizonte Schwarzer Löcher anwendbar, sondern auch auf schnell expandierende oder kollabierende Flächen, die nicht in Ereignishorizonte transformierbar sind.<ref>Bousso, Casini, Fisher, Maldacena: ''Proof of a Quantum Bousso Bound''. In: ''Physical Review'' D, 90, 2014, {{arXiv|1404.5635v2}}</ref> | ||
== | == Literatur == | ||
* J. D. Bekenstein: ''A universal upper bound on the entropy to energy ratio for bounded systems''. In: ''Physical Review D'', 23/1981, S. 287–298, [http://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.23.287 Abstract] [[doi:10.1103/PhysRevD.23.287]]. | |||
* J. D. Bekenstein: ''A universal upper bound on the entropy to energy ratio for bounded systems | * Bekenstein: ''How does the entropy-information bound work?'' In: ''Foundations of Physics'', Band 35, 2005, S. 1805–1823, {{arXiv|quant-ph/0404042}} | ||
*Bekenstein: How does the entropy-information bound work ? | * J. D. Bekenstein: ''Generalized second law of thermodynamics in black hole physics''. In: ''Physical Review D'', 15. September 1974, S. 3292–3300; [http://www.phys.huji.ac.il/%7Ebekenste/PRD9-3292-1974.pdf phys.huji.ac.il] (PDF; 1,6 MB) <!-- webcitation 5pvqDR9Rs --> | ||
==Weblinks== | == Weblinks == | ||
*[http://www.scholarpedia.org/wiki/index.php?title=Bekenstein_bound&oldid=50791 | * Bekenstein: [http://www.scholarpedia.org/wiki/index.php?title=Bekenstein_bound&oldid=50791 ''Bekenstein bound''.] [[Scholarpedia]] | ||
==Einzelnachweise== | |||
== Einzelnachweise == | |||
<references /> | <references /> | ||
[[Kategorie:Thermodynamik]] | [[Kategorie:Thermodynamik]] | ||
[[Kategorie:Astrophysik]] | [[Kategorie:Astrophysik]] | ||
Die Bekenstein-Grenze, aufgestellt und benannt von Jacob Bekenstein, setzt der Entropie S eines Systems endlicher Energie E in einem endlichen Volumen (Kugel vom Radius R), und somit dessen Informationsgehalt, eine obere Grenze
wobei
ist.
Diese Relation wurde von Gerard ’t Hooft verallgemeinert, um die Entropie in einem sphärischen Raumbereich mit bestimmter Oberfläche A zu begrenzen:
wobei G die Gravitationskonstante ist.
Die obere Grenze ist gerade die Entropie, die in einem Schwarzen Loch dieser Größe enthalten ist (Bekenstein-Hawking-Entropie). Da die Oberfläche A eines Schwarzen Loches proportional zum Quadrat seiner Masse ist, ist auch die Obergrenze der Informationsmenge, die in einer Kugel enthalten sein kann, proportional zum Quadrat der enthaltenen Masse.
Es ist unklar, ob diese Grenzen auch dann zutreffen, wenn man als Volumen dasjenige des gesamten Universums nimmt. Das Holografische Prinzip geht von der Annahme aus, dass das der Fall ist. Das Problem hängt allgemein damit zusammen, wie man die das Volumen begrenzende Fläche korrekt in der allgemeinen Relativitätstheorie definiert. Raphael Bousso formulierte 1999 in diesem Zusammenhang eine kovariante Version der Bekenstein-Grenze, kovariante Entropie-Grenze bzw. Holographische Grenze von Bousso genannt.[1] Es war nicht nur auf Ereignishorizonte Schwarzer Löcher anwendbar, sondern auch auf schnell expandierende oder kollabierende Flächen, die nicht in Ereignishorizonte transformierbar sind.[2]