Skalenfaktor: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. Juni 2021, 21:47 Uhr

Der Skalenfaktor $a$ ist ein kosmologischer Parameter des Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Modells. Er ist eine Funktion der Zeit und gibt die relative Expansion des Universums an, d. h., er stellt einen Zusammenhang her zwischen physikalischen Koordinaten $D$ und mitbewegten Koordinaten $D_{c}$ :

a (t) = \frac{D (t)}{D_{c}} .

Der Skalenfaktor kann im Prinzip die Einheit einer Länge haben oder dimensionslos sein. In der modernen Kosmologie wird er meistens dimensionslos gewählt, sodass gilt:

a (t_{0}) = 1.

Die Zeit t wird von der Entstehung des Universums an gemessen und $t_{0}$ stellt das heutige Alter des Universums mit (13,7 ± 0,2) Milliarden Jahren dar.

Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors wird durch die Formeln der allgemeinen Relativitätstheorie bestimmt, welche im Falle eines lokal isotropen und lokal homogenen Universums durch die Friedmann-Gleichungen dargestellt sind. Die Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit kann mit dem Expansionsfaktor E berechnet werden:

\dot{a} (t) = H (t) a (t) = E (t) H (t_{0}) a (t)

Der Skalenfaktor und seine zeitliche Änderung definieren den Hubble-Parameter:

H (t) = \frac{\dot{a} (t)}{a (t)} .

Auch die weiteren Ableitungen werden benötigt, mit der Kosmologischen Konstante Λ:

\ddot{a} (t) = (\dot{H} (t) + H (t)^{2}) a (t)

\dot{H} (t) = \frac{\ddot{a} (t)}{a (t)} - H (t)^{2} = \frac{c^{2} Λ}{2} - 1, 5 H (t)^{2} .

In der Literatur wird gerne der Beschleunigungs-, Akzelerations-, Dezelerations-, Brems- oder auch Verzögerungsparameter q verwendet:

q (t) = \frac{- a (t) \ddot{a} (t)}{\dot{a} (t)^{2}} = - 1 - \frac{\dot{H} (t)}{H (t)^{2}} = \frac{\ddot{a} (t)}{H (t)^{2} a (t)} .

Literatur

Arnold Hanslmeier: Einführung in Astronomie und Astrophysik, Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 2007, ISBN 978-3-8274-1846-3

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-{{Dieser Artikel|behandelt einen kosmologischen Parameter; siehe auch [[Skalenfaktor (Audiocodierung)]] in der Audiodatenkompression.}}
+{{Dieser Artikel|behandelt einen kosmologischen Parameter; siehe auch [[Skalenfaktor (Audiocodierung)]] in der Audiodatenkompression sowie [[Maßstabsfaktor]] in der Geodäsie und Kartografie.}}
-Der '''Skalenfaktor''' <math>a</math> ist ein [[Kosmologie|kosmologischer]] Parameter des [[Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik|Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Modells]]. Er ist eine Funktion der Zeit und gibt die relative [[Expansion des Universums]] an, das heißt, er stellt einen Zusammenhang her zwischen physikalischen [[Koordinate]]n&nbsp;<math>L</math> und [[Entfernungsmaß #Mitbewegte Entfernung|mitbewegten Koordinaten]] <math>\lambda</math>:
+Der '''Skalenfaktor''' <math>a</math> ist ein [[Kosmologie|kosmologischer]] Parameter des [[Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik|Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Modells]]. Er ist eine Funktion der Zeit und gibt die relative [[Expansion des Universums]] an, d.&nbsp;h., er stellt einen Zusammenhang her zwischen physikalischen [[Koordinate]]n&nbsp;<math>D</math> und [[Entfernungsmaß #Mitbewegte Entfernung|mitbewegten Koordinaten]] <math>D_c</math>:
-:<math>a(t) = \frac{L}{\lambda}.</math>
+:<math>a(t) = \frac{D(t)}{D_c}.</math>
 Der Skalenfaktor kann im Prinzip die [[Maßeinheit|Einheit]] einer [[Länge (Physik)|Länge]] haben oder [[dimensionslos]] sein. In der modernen Kosmologie wird er meistens dimensionslos gewählt, sodass gilt:
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 :<math>a(t_0) = 1.</math>
-Wobei t von der Entstehung des [[Universum]]s an gemessen wird, und <math>t_0</math> das heutige Alter des Universums mit (13,7 ± 0,2) Milliarden Jahren darstellt.
+Die Zeit t wird von der Entstehung des [[Universum]]s an gemessen und <math>t_0</math> stellt das heutige Alter des Universums mit (13,7&nbsp;±&nbsp;0,2) Milliarden Jahren dar.
-Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors wird durch die Formeln der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] bestimmt, welche im Falle eines lokal [[isotrop]]en und lokal [[homogen]]en Universums durch die [[Friedmann-Gleichungen]] dargestellt sind.
+Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors wird durch die [[Einsteinsche Feldgleichungen|Formeln]] der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] bestimmt, welche im Falle eines lokal [[isotrop]]en und lokal [[Homogenität (Physik)|homogen]]en Universums durch die [[Friedmann-Gleichungen]] dargestellt sind. Die Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit kann mit dem [[Hubble-Konstante|Expansionsfaktor]] ''E'' berechnet werden:
-Der Skalenfaktor und seine zeitliche Änderung definieren den [[Hubble-Parameter]]:
+:<math>\dot a(t) = H(t) a(t) = E(t) H(t_0) a(t)</math>
-:<math>H = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}.</math>
+Der Skalenfaktor und seine [[Zeitableitung|zeitliche Änderung]] definieren den [[Hubble-Parameter]]:
+:<math>H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} .</math>
+Auch die weiteren Ableitungen werden benötigt, mit der [[Kosmologische Konstante|Kosmologischen Konstante]] ''Λ'':
+:<math>\ddot a(t) = (\dot H(t)+H(t)^2)a(t)</math>
+:<math>\dot H(t) = \frac{\ddot a(t)}{a(t)}-H(t)^2 = \frac {c^2\Lambda}{2}-1,5H(t)^2 .</math>
+In der Literatur wird gerne der ''Beschleunigungs''-, ''Akzelerations''-, ''Dezelerations''-, ''Brems''- oder auch ''Verzögerungsparameter'' ''q'' verwendet:
+:<math>q(t) = \frac{-a(t) \ddot a(t)}{\dot a(t)^2} = -1-\frac{\dot H(t)}{H(t)^2} = \frac{\ddot a(t)}{H(t)^2 a(t)} .</math>
 == Literatur ==