imported>Debenben K (HC: Entferne Kategorie:Dynamisches System (Physik); Ergänze Kategorie:Dynamisches System) |
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<math>V(\varphi_1,...,\varphi_n) = g \sum_{k=1}^{n} m_k y_k</math> | <math>V(\varphi_1,...,\varphi_n) = g \sum_{k=1}^{n} m_k y_k</math> | ||
Somit ist die Lagrange Funktion <math>L=T-V</math>: | Somit ist die Lagrange-Funktion <math>L=T-V</math>: | ||
<math>L(\varphi_1,...,\varphi_n,\dot{\varphi}_1,...,\dot{\varphi}_n) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} m_k \left[\left(\sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \cos\varphi_i\right)^2+\left(\sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \sin\varphi_i\right)^2\right] + g \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} m_k l_i \cos\varphi_i</math> | <math>L(\varphi_1,...,\varphi_n,\dot{\varphi}_1,...,\dot{\varphi}_n) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} m_k \left[\left(\sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \cos\varphi_i\right)^2+\left(\sum_{i=1}^{k} l_i \dot{\varphi}_i \sin\varphi_i\right)^2\right] + g \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} m_k l_i \cos\varphi_i</math> | ||
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Die Bewegungsgleichungen für die [[generalisierte Koordinate|generalisierten Koordinaten]] (<math>{\varphi_{1}},...,{\varphi_{n}}</math>) stellen ein nichtlineares System von <math>n</math> [[Differentialgleichungen]] zweiter Ordnung dar, welches für <math>n>1</math> analytisch nicht lösbar ist. | Die Bewegungsgleichungen für die [[generalisierte Koordinate|generalisierten Koordinaten]] (<math>{\varphi_{1}},...,{\varphi_{n}}</math>) stellen ein nichtlineares System von <math>n</math> [[Differentialgleichungen]] zweiter Ordnung dar, welches für <math>n>1</math> analytisch nicht lösbar ist. | ||
Es kann bei <math>2n</math> bekannten Nebenbedingungen, beispielsweise | Es kann bei <math>2n</math> bekannten Nebenbedingungen, beispielsweise den [[Anfangswertproblem|Startwerten]] | ||
<math>\left( \varphi_1(t=0),...,\varphi_n(t=0),\dot{\varphi}_1(t=0),...,\dot{\varphi}_n(t=0) \right)</math> | <math>\left( \varphi_1(t=0),...,\varphi_n(t=0),\dot{\varphi}_1(t=0),...,\dot{\varphi}_n(t=0) \right),</math> | ||
mittels [[ | mittels [[Liste numerischer Verfahren#Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen|numerischer Verfahren]] gelöst werden. Zwecks Vereinfachung der Bewegungsgleichungen können [[Kleinwinkelnäherung]]en vorgenommen werden. | ||
Für Stufen <math>n>1</math> entstehen chaotische Bewegungsmuster. Hier führen bereits geringfügige Änderungen der lokalen Koordinaten | Für Stufen <math>n>1</math> entstehen chaotische Bewegungsmuster. Hier führen bereits geringfügige Änderungen der lokalen Koordinaten oder ihrer zeitlichen Ableitungen zu deutlichen Änderungen im weiteren Bewegungsablauf. | ||
== Bewegungsgleichungen für ein- bis dreistufige Pendel == | == Bewegungsgleichungen für ein- bis dreistufige Pendel == | ||
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Ein Beispiel für ein Doppelpendel ist eine [[Glocke]] mit Klöppel. | Ein Beispiel für ein Doppelpendel ist eine [[Glocke]] mit Klöppel. | ||
=== | === Tripelpendel === | ||
Der Fall <math>n=3</math> stellt das ''' | Der Fall <math>n=3</math> stellt das '''Tripelpendel''' dar. | ||
Hier ergibt sich die kinetische Energie <math>T</math> zu: | Hier ergibt sich die kinetische Energie <math>T</math> zu: | ||
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<math>l_{3}\ddot{\varphi}_{3} + l_{2}\ddot{\varphi}_{2} \cos(\varphi_{2}-\varphi_{3}) + l_{1}\ddot{\varphi}_{1} \cos(\varphi_{1}-\varphi_{3}) - l_2 \dot{\varphi}_{2}^2 \sin(\varphi_{2}-\varphi_{3}) - l_1 \dot{\varphi}_{1}^2 \sin(\varphi_{1}-\varphi_{3}) + g \sin\varphi_3=0</math> | <math>l_{3}\ddot{\varphi}_{3} + l_{2}\ddot{\varphi}_{2} \cos(\varphi_{2}-\varphi_{3}) + l_{1}\ddot{\varphi}_{1} \cos(\varphi_{1}-\varphi_{3}) - l_2 \dot{\varphi}_{2}^2 \sin(\varphi_{2}-\varphi_{3}) - l_1 \dot{\varphi}_{1}^2 \sin(\varphi_{1}-\varphi_{3}) + g \sin\varphi_3=0</math> | ||
=== Simulation der [[ | === Simulation der [[Trajektorie (Physik)|Trajektorien]] === | ||
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Mathematisches pendel.gif|Simulation: <math>n=1</math> | |||
Mathematisches doppelpendel.gif|Simulation: <math>n=2</math> | |||
Mathematisches dreifachpendel.gif|Simulation: <math>n=3</math> | |||
</gallery> | </gallery> | ||
== Literatur == | == Literatur == | ||
*Georg Hamel: ''Theoretische Mechanik''. Springer, Berlin 1967. Berichtiger Reprint 1978, ISBN 3-540-03816-7 | * Georg Hamel: ''Theoretische Mechanik''. Springer, Berlin 1967. Berichtiger Reprint 1978, ISBN 3-540-03816-7 | ||
*Friedhelm Kuypers: ''Klassische Mechanik''. 5. Auflage. VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29269-1 | * Friedhelm Kuypers: ''Klassische Mechanik''. 5. Auflage. VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29269-1 | ||
*Landau / | * Landau / Lifschitz: ''Lehrbuch der theoretischen Physik. Band 1: Mechanik''. 14. Auflage. Deutsch, Thun 1997, ISBN 3-8171-1326-9 | ||
== Weblinks == | |||
* [http://blog.tinowagner.com/2008/04/02/doppelpendel/ Doppelpendel-Simulation in Java und Python] | |||
== Quellen == | == Quellen == | ||
*L. D. Landau, E. M. Lifschitz: ''Volume 1 of Course of Theoretical Physics''. 3rd Edition 1976, ISBN 0-7506-2896-0, §5, S. 11 f. ( | * L. D. Landau, E. M. Lifschitz: ''Volume 1 of Course of Theoretical Physics''. 3rd Edition 1976, ISBN 0-7506-2896-0, §5, S. 11 f. (englisch) | ||
*[http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels | * [http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels] (englisch) | ||
[[Kategorie:Pendel]] | [[Kategorie:Pendel]] | ||
[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]] | [[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]] | ||
Ein Multipendel ist ein Pendel, an dessen Arm weitere Pendel gehängt sind. Es entsteht ein unvorhersehbares Bewegungsmuster, welches bereits bei geringfügigen Störungen stark variiert. Es lassen sich chaotische Prozesse leicht simulieren, weshalb es sich zu einem beliebten Modell in der Chaostheorie entwickelt hat.
Das Modell des Multipendels
Die Bewegungsgleichungen für ein Multipendel
Mittels Trigonometrie erhält man:
...
Folglich können die kartesischen Koordinaten
Kinetische Energie
Somit ist die Lagrange-Funktion
Die Bewegungsgleichungen des Multipendels n-ter Stufe ergeben sich aus
bzw.
für
Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten (
Es kann bei
mittels numerischer Verfahren gelöst werden. Zwecks Vereinfachung der Bewegungsgleichungen können Kleinwinkelnäherungen vorgenommen werden.
Für Stufen
Für
Hier ergeben sich kinetische Energie
mit
Entsprechend ist die Bewegungsgleichung:
Mit der Kleinwinkelnäherung
Eine zweckmäßige Lösung der Bewegungsgleichung ist
sodass bei bekannten Startbedingungen für den Parameter
Das Pendel schwingt entsprechend harmonisch mit der Periode:
Der Fall
Hier ergeben sich kinetische Energie
Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:
und
Ein Beispiel für ein Doppelpendel ist eine Glocke mit Klöppel.
Der Fall
Hier ergibt sich die kinetische Energie
Für das Potential
Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:
und
und