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Die '''Born-Landé-Gleichung''' (benannt nach [[Max Born]] und [[Alfred Landé]]), auch '''Madelung-Gleichung''' (nach [[Erwin Madelung]]), ist eine Erweiterung des [[elektrostatisch]]en [[Madelung-Konstante|Coulomb-Modells]] auf [[Ionenkristall]]e (also [[Salze]]) und erlaubt die Berechnung von [[Gitterenergie]]n. | Die '''Born-Landé-Gleichung''' (benannt nach [[Max Born]] und [[Alfred Landé]]), auch '''Madelung-Gleichung''' (nach [[Erwin Madelung]]), ist eine Erweiterung des [[elektrostatisch]]en [[Madelung-Konstante|Coulomb-Modells]] auf [[Ionenkristall]]e (also [[Salze]]) und erlaubt die Berechnung von [[Gitterenergie]]n. | ||
Das Coulomb-Modell geht von entgegengesetzten Punktladungen in regelmäßiger Anordnung aus, da Ionen gegen außen positiv oder negativ geladen sind. Bei genügend großer Annäherung treffen jedoch die Elektronenschalen der Ionen aufeinander, die sich aufgrund ihrer gleichen „Ladung“ abstoßen. Die Größe der Abstoßung hängt von der Elektronendichte der Ionen ab und wird mit dem [[Born-Exponent]]en | Das Coulomb-Modell geht von entgegengesetzten Punktladungen in regelmäßiger Anordnung aus, da Ionen gegen außen positiv oder negativ geladen sind. Bei genügend großer Annäherung treffen jedoch die Elektronenschalen der Ionen aufeinander, die sich aufgrund ihrer gleichen „Ladung“ abstoßen. Die Größe der Abstoßung hängt von der Elektronendichte der Ionen ab und wird mit dem [[Born-Exponent]]en <math>n</math> gemessen. Dieser wird experimentell aus der [[Kompressibilität]] der Ionenkristalle ermittelt, zur Berechnung können aber auch Durchschnittswerte verwendet werden. | ||
: <math> U_0 = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{N_\mathrm A \cdot A\cdot a \cdot b \cdot e^2}{d_0} \cdot \biggl(1-\frac{1}{n} \biggr)</math> | : <math> U_0 = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{N_\mathrm A \cdot A\cdot a \cdot b \cdot e^2}{d_0} \cdot \biggl(1-\frac{1}{n} \biggr)</math> | ||
Die Madelung-Konstante sollte mit | Die Madelung-Konstante sollte mit <math>A</math> statt mit <math>M</math> bezeichnet werden um eine Verwechselung mit der [[Molare Masse|Molaren Masse]] <math>M</math> auszuschließen. | ||
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* Umrechnung des Resultats auf Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunkts | * Umrechnung des Resultats auf Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunkts | ||
Je größer der kovalente Bindungsanteil wird, desto schlechter werden die Resultate mit der Wirklichkeit übereinstimmen. Dies kommt daher, dass Modell auf der Betrachtung reiner Ionen beruht. | |||
Je größer der kovalente Bindungsanteil wird, desto schlechter werden die Resultate mit der Wirklichkeit übereinstimmen. Dies kommt daher, dass das Modell auf der Betrachtung reiner Ionen beruht. | |||
== Beispiel == | == Beispiel == | ||
Es soll die | Es soll die Gitterenergie von Bariumoxid berechnet werden. Barium ist im Kristallgitter zweifach positiv geladen und die Oxidionen zweifach negativ. Die Beträge der Ionenladungen werden eingetragen: | ||
: <math> U_0 = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{N_\mathrm A \cdot A \cdot |+2| \cdot |-2| \cdot e^2}{d_0} \cdot \biggl(1-\frac{1}{n} \biggr)</math> | : <math> U_0 = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{N_\mathrm A \cdot A \cdot |+2| \cdot |-2| \cdot e^2}{d_0} \cdot \biggl(1-\frac{1}{n} \biggr)</math> | ||
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: <math> U_0 = -\frac{1}{4 \pi (8{,}854\cdot 10^{-12}\;\mathrm\frac{As}{Vm})} \cdot \frac{6{,}022\cdot 10^{23}\;\frac{1}{\mathrm{mol}} \cdot 1{,}7475 \cdot 4 \cdot (1{,}602\cdot 10^{-19}\;\mathrm{As})^2}{290\cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}} \cdot \biggl(1-\frac{1}{n} \biggr)</math> | : <math> U_0 = -\frac{1}{4 \pi (8{,}854\cdot 10^{-12}\;\mathrm\frac{As}{Vm})} \cdot \frac{6{,}022\cdot 10^{23}\;\frac{1}{\mathrm{mol}} \cdot 1{,}7475 \cdot 4 \cdot (1{,}602\cdot 10^{-19}\;\mathrm{As})^2}{290\cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}} \cdot \biggl(1-\frac{1}{n} \biggr)</math> | ||
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: <math> U_0 = -\frac{1}{4 \pi (8{,}854\cdot 10^{-12}\;\mathrm\frac{As}{Vm})} \cdot \frac{6{,}022\cdot 10^{23}\;\frac{1}{\mathrm{mol}} \cdot 1{,}7475 \cdot 4 \cdot (1{,}602\cdot 10^{-19}\;\mathrm{As})^2}{290\cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}} \cdot \biggl(1-\frac{1}{9{,}5} \biggr)</math> | : <math> U_0 = -\frac{1}{4 \pi (8{,}854\cdot 10^{-12}\;\mathrm\frac{As}{Vm})} \cdot \frac{6{,}022\cdot 10^{23}\;\frac{1}{\mathrm{mol}} \cdot 1{,}7475 \cdot 4 \cdot (1{,}602\cdot 10^{-19}\;\mathrm{As})^2}{290\cdot 10^{-12}\;\mathrm{m}} \cdot \biggl(1-\frac{1}{9{,}5} \biggr)</math> | ||
Die Born-Landé-Gleichung (benannt nach Max Born und Alfred Landé), auch Madelung-Gleichung (nach Erwin Madelung), ist eine Erweiterung des elektrostatischen Coulomb-Modells auf Ionenkristalle (also Salze) und erlaubt die Berechnung von Gitterenergien.
Das Coulomb-Modell geht von entgegengesetzten Punktladungen in regelmäßiger Anordnung aus, da Ionen gegen außen positiv oder negativ geladen sind. Bei genügend großer Annäherung treffen jedoch die Elektronenschalen der Ionen aufeinander, die sich aufgrund ihrer gleichen „Ladung“ abstoßen. Die Größe der Abstoßung hängt von der Elektronendichte der Ionen ab und wird mit dem Born-Exponenten $ n $ gemessen. Dieser wird experimentell aus der Kompressibilität der Ionenkristalle ermittelt, zur Berechnung können aber auch Durchschnittswerte verwendet werden.
Die Madelung-Konstante sollte mit $ A $ statt mit $ M $ bezeichnet werden um eine Verwechselung mit der Molaren Masse $ M $ auszuschließen.
| Symbol | Name | Einheit |
|---|---|---|
| $ U_{0} $ | Gitterenergie | J/mol |
| $ N_{\mathrm {A} } $ | Avogadro-Konstante = 6,022141·1023 mol−1 | 1/mol |
| $ A $ | Madelungkonstante des Gittertyps | dimensionslos |
| $ a $ | Anzahl Elementarladungen des Kations | dimensionslos |
| $ b $ | Anzahl Elementarladungen des Anions | dimensionslos |
| $ e $ | Elementarladung = 1,602176·10−19 C | C |
| $ \varepsilon _{0} $ | Permittivität des Vakuums = 8,854185·10−12 C2·(J·m)−1 | C / (V·m) = C² / (J·m) |
| $ d_{0} $ | Ionenabstand im Gleichgewicht (aus Röntgenbeugungsexperimenten oder genähert als Summe der Ionenradien) | m |
| $ n $ | Born-Exponent | dimensionslos |
Weitere Verfeinerungen beruhen auf Einbezug der Temperatur:
Je größer der kovalente Bindungsanteil wird, desto schlechter werden die Resultate mit der Wirklichkeit übereinstimmen. Dies kommt daher, dass das Modell auf der Betrachtung reiner Ionen beruht.
Es soll die Gitterenergie von Bariumoxid berechnet werden. Barium ist im Kristallgitter zweifach positiv geladen und die Oxidionen zweifach negativ. Die Beträge der Ionenladungen werden eingetragen:
Bariumoxid kristallisiert im NaCl-Typ. Dessen Madelungkonstante ist 1,7475. Außerdem setzen wir den Zahlenwert der Avogadro-Konstante, der Permittivität und der Elementarladung ein:
Den Gleichgewichtsabstand zwischen den Ionen ermitteln wir aus der Summe der Ionenradien. Dieser beträgt:
$ n $ ist der Mittelwert aus dem Born-Exponent des Kations und des Anions:
Die Einheiten kürzen sich zu Voltamperesekunden (Energie, Joule) pro mol: