Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. September 2019, 19:13 Uhr

Die beiden Zustandsgleichungen nach Murnaghan und nach Birch (benannt nach Francis Murnaghan und Albert Francis Birch) beschreiben die Beziehung zwischen dem Volumen $$ V $$ eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Druck $$ p $$ .

Zustandsgleichung nach Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Murnaghan lautet:

p={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{K_{0}'}-1\right]

\Leftrightarrow V=V_{0}\cdot \left[{\frac {K_{0}'}{K_{0}}}p+1\right]^{-{\frac {1}{K_{0}'}}}

mit

dem Volumen $V_{0}$ des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa
dem Kompressionsmodul $K_{0}$ bei einem Druck von 0 GPa:

K_{0}=-V\left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} }

der ersten Ableitung $K_{0}'$ des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa:

K_{0}'=\left.{\frac {\partial K}{\partial p}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} }

.

Man erhält diese Zustandsgleichung, wenn man Murnaghans folgende Annahmen integriert:

der Kompressionsmodul eines Festkörpers nimmt linear zu mit dem auf ihn wirkenden Druck:

K(p)=K_{0}+p\,K_{0}'

die Größe $K_{0}'$ hängt nicht vom Druck ab.

Zustandsgleichung nach Birch(-Murnaghan)

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck $$ p $$ und der freien Energie $$ F $$ besteht:

p=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T}

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

F=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\epsilon ^{n}

Hier sind

$a_{n}$ druckabhängige Koeffizienten
$\epsilon ^{n}$ ist die Eulersche Dehnung.

\epsilon ={\frac {1}{2}}\left[1-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}\right]

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man die Zustandsgleichung nach Birch:

p={\frac {3}{2}}K_{0}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {7}{3}}}-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {5}{3}}}\right]\left[1+{\frac {3}{4}}\left(K_{0}'-4\right)\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]\right]

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)

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-Die '''Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan''' beschreibt die Beziehung zwischen dem Volumen ''V'' eines [[Festkörper]]s und des auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Drucks ''p''. Diese [[Zustandsgleichung]] ist von zwei Parametern abhängig, dem [[Kompressionsmodul]] bei einem Druck von 0&nbsp;GPa <math>K_0</math>, und der ersten Ableitung des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0&nbsp;GPa, <math>K_0'</math>.  Diese sind wie folgt definiert:
+Die beiden '''Zustandsgleichungen nach Murnaghan und nach Birch''' (benannt nach [[Francis Murnaghan (Mathematiker)|Francis Murnaghan]] und [[Albert Francis Birch]]) beschreiben die Beziehung zwischen dem Volumen <math>V</math> eines [[Festkörper]]s und dem auf ihn wirkenden äußeren [[hydrostatischer Druck|hydrostatischen Druck]] <math>p</math>.
-:<math> K_0 = V \left.\frac{\partial p}{\partial V}\right|_{p = 0\,\mathrm{GPa}}</math>
+== Zustandsgleichung nach Murnaghan ==
+Die [[Zustandsgleichung]] nach Murnaghan lautet:
-:<math> K_0' = \left.\frac{\partial K}{\partial p}\right|_{p = 0\,\mathrm{GPa}}</math>
+:<math>p = \frac{K_0}{K_0'} \left[ \left( \frac{V_0}{V} \right) ^{K_0'} - 1 \right]</math>
+:<math>\Leftrightarrow V = V_0 \cdot \left[ \frac{K_0'}{K_0} p + 1 \right]^{-\frac 1 {K_0'}}</math>
-Murnaghan ging davon aus, dass der Kompressionsmodul eines Festkörpers <math>K_0</math> linear mit dem auf ihn wirkenden Druck zunimmt. Eine weitere wichtige Annahme ist, dass die Größe <math>K_0'</math> druckunabhängig ist.
+mit
+* dem Volumen <math>V_0</math> des Festkörpers bei einem Druck von 0&nbsp;G[[Pascal (Einheit)|Pa]]
+* dem [[Kompressionsmodul]] <math>K_0</math> bei einem Druck von 0&nbsp;GPa:
-:<math> K(p)= K_0 + pK_0'</math>
+::<math>K_0 = -V \left.\frac{\partial p}{\partial V}\right|_{p = 0 \, \mathrm{GPa}}</math>
+* der ersten Ableitung <math>K_0'</math> des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0&nbsp;GPa:
+::<math>K_0' = \left.\frac{\partial K}{\partial p}\right|_{p = 0 \, \mathrm{GPa}}</math>.
-Nach Integration erhält man die Zustandsgleichung nach Murnaghan
+Man erhält diese Zustandsgleichung, wenn man Murnaghans folgende Annahmen integriert:
+* der Kompressionsmodul eines Festkörpers nimmt linear zu mit dem auf ihn wirkenden Druck:
+::<math>K(p)= K_0 + p \, K_0'</math>
+* die Größe <math>K_0'</math> hängt nicht vom Druck ab.
-:<math> p = \frac{K_0}{K_0'}\left[\left(\frac{V_0}{V}\right)^{K_0'} - 1\right]</math>
+== Zustandsgleichung nach Birch(-Murnaghan) ==
+Einen anderen Weg, das Verhalten von [[kondensierte Materie|kondensierter Materie]] unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den [[Maxwell-Relationen]] ein Zusammenhang zwischen dem Druck <math>p</math> und der [[freie Energie|freien Energie]] <math>F</math> besteht:
-bzw.
+:<math>p = \left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)_T</math>
-:<math> \frac{V}{V_0} = \left[\frac{K_0'}{K_0}p+1\right]^{-\frac{1}{K_0'}}</math>
+Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als [[Reihenentwicklung]] dar:
-wobei <math>V_0</math> das Volumen des Festkörpers bei einem Druck von 0&nbsp;GPa ist.
+:<math>F = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \epsilon^n</math>
-Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den [[Maxwell-Relationen]] ein Zusammenhang zwischen dem Druck ''p'' und der freien Energie ''F'' besteht:
+Hier sind
+* <math>a_n</math> druckabhängige Koeffizienten
+* <math>\epsilon^n</math> ist die [[Eulersche Dehnung]].
-:<math> p = \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T</math>
+:<math>\epsilon = \frac{1}{2} \left[ 1 - \left( \frac V {V_0} \right)^{-\frac 2 3} \right]</math>
-Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:
+Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man die Zustandsgleichung nach Birch:
-:<math> F =  \sum_{n=1}^{\infty} a_n\epsilon^n</math>
+:<math>p = \frac{3}{2} K_0 \left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{7}{3}} - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]\left[1 + \frac{3}{4}\left(K_0' - 4\right)\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right]\right]</math>
-Hier sind <math>a_n</math> druckabhängige Koeffizienten, <math>\epsilon^n</math> ist die sog. Eulersche Dehnung.
+Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als ''Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan'' zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.
-:<math> \epsilon = \frac{1}{2}\left[1 - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}\right]</math>
-Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man dann die Zustandsgleichung nach Birch:
-:<math> p = \frac{3}{2} K_0 \left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{7}{3}} - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]\left[1 + \frac{3}{4}\left(K_0' - 4\right)\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right]\right]</math>
-Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.
 == Literatur ==
 * F. Birch: ''Finite elastic strains of cubic crystals'', Phys. Rev. 71, 809 (1947)
 * B. Buras and L. Gerward: ''Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure'', Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)