Deviationsgleichung: Unterschied zwischen den Versionen
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und vereinfacht sich in einem [[Torsion|torsionsfreien Raum]]<ref>Hendrik van Hees: ''Physik und das Drumherum'', Abschnitt | und vereinfacht sich in einem [[Torsion (Algebra)|torsionsfreien Raum]]<ref>Hendrik van Hees: ''Physik und das Drumherum'', Abschnitt {{Webarchiv|url=http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node140.html |wayback=20130723164155 |text=Geraden |archiv-bot=2019-04-06 07:15:00 InternetArchiveBot }}</ref> zu | ||
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* <math>x^\alpha(\tau)</math> bezeichnet die Geodäte und <math>\textstyle \tfrac{\partial x^\alpha}{\partial \tau}</math> deren [[Tangentialvektor]]. | * <math>x^\alpha(\tau)</math> bezeichnet die Geodäte und <math>\textstyle \tfrac{\partial x^\alpha}{\partial \tau}</math> deren [[Tangentialvektor]]. | ||
* <math>\textstyle V^\alpha \mbox{d}p=\tfrac{\partial x^\alpha}{\partial p}\mathrm{d}p</math> ist der Abstandsvektor zweier benachbarter Geodäten und damit <math>\textstyle \tfrac{\partial x^\alpha}{\partial p}</math> die lineare Änderung des Abstandes zweier infinitesimal benachbarter Geodäten. | * <math>\textstyle V^\alpha \mbox{d}p=\tfrac{\partial x^\alpha}{\partial p}\mathrm{d}p</math> ist der Abstandsvektor zweier benachbarter Geodäten und damit <math>\textstyle \tfrac{\partial x^\alpha}{\partial p}</math> die lineare Änderung des Abstandes zweier [[infinitesimal]] benachbarter Geodäten. | ||
*<math>T_{\kappa\lambda}^\alpha</math> ist der [[Torsionstensor]] des Raumes, insbesondere ist <math>T_{\kappa\lambda}^\alpha A^\kappa B^\lambda</math> der Vektor, der das von <math>A</math> und <math>B</math> aufgespannte Parallelogramm schließt.<ref>Hendrik van Hees: ''Physik und das Drumherum'', Abschnitt | *<math>T_{\kappa\lambda}^\alpha</math> ist der [[Torsionstensor]] des Raumes, insbesondere ist <math>T_{\kappa\lambda}^\alpha A^\kappa B^\lambda</math> der Vektor, der das von <math>A</math> und <math>B</math> aufgespannte [[Parallelogramm]] schließt.<ref>Hendrik van Hees: ''Physik und das Drumherum'', Abschnitt {{Webarchiv|url=http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node132.html |wayback=20100505151706 |text=Torsion und Krümmung |archiv-bot=2019-04-06 07:15:00 InternetArchiveBot }}</ref> Dieser Vektor ist in torsionsfreien Räumen gleich Null. | ||
* <math>R^\alpha_{\mu\beta\nu}</math> ist der Riemannsche Krümmungstensor. | * <math>R^\alpha_{\mu\beta\nu}</math> ist der Riemannsche Krümmungstensor. | ||
* Außerdem wird die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet, die griechischen Indizes laufen von <math>0\dots 3</math> und <math>x^\alpha</math> sowie <math>V^\alpha</math> sind [[Tensor]]en 1. Stufe. | * Außerdem wird die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet, die griechischen Indizes laufen von <math>0\dots 3</math> und <math>x^\alpha</math> sowie <math>V^\alpha</math> sind [[Tensor]]en 1. Stufe. | ||
* <math>\textstyle \tfrac{\mathrm{D} V^\alpha}{\mathrm{D}\tau}</math> bezeichnet die [[Kovariante Ableitung]]. | * <math>\textstyle \tfrac{\mathrm{D} V^\alpha}{\mathrm{D}\tau}</math> bezeichnet die [[Kovariante Ableitung]]. | ||
Im flachen Raum wächst der Abstand zweier sich schneidenden Geodäten <math>x^\alpha(\tau,p_1)</math> und <math>x^\alpha(\tau,p_2)</math> proportional zu <math>\tau</math><ref>Geometrie der Raumzeit von Rainer Oloff, S. 141</ref>. Ist dies nicht der Fall, so ist dies ein Symptom für die Krümmung des Raumes und entspricht der obigen Gleichung bei nichtverschwindendem Krümmungstensor. | Im flachen Raum wächst der Abstand zweier sich schneidenden Geodäten <math>x^\alpha(\tau,p_1)</math> und <math>x^\alpha(\tau,p_2)</math> proportional zu <math>\tau</math><ref>Geometrie der Raumzeit von Rainer Oloff, S. 141</ref>. Ist dies nicht der Fall, so ist dies ein [[Symptom]] für die Krümmung des Raumes und entspricht der obigen Gleichung bei nichtverschwindendem Krümmungstensor. | ||
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Aktuelle Version vom 21. Februar 2022, 14:45 Uhr
Die Deviationsgleichung oder geodätische Abweichung ist eine Gleichung der Riemannschen Geometrie bzw. Allgemeinen Relativitätstheorie und beschreibt die Änderung des Abstandes zweier benachbarter Geodäten mit Hilfe des Riemannschen Krümmungstensors. Mittels dieser Gleichung kann festgestellt werden, ob und in welcher Art ein Raum gekrümmt ist, indem die Relativbeschleunigung zweier Probekörper auf benachbarten Geodäten gemessen wird. Wird keine Relativbeschleunigung zwischen zwei Geodäten gemessen, so ist der Raum flach. Die Relativbeschleunigung zwischen den Probekörpern rührt nur von der Krümmung des Raumes her, nicht von ihrer gegenseitigen gravitativen Anziehung, die bei einem realen Experiment noch zusätzlich wirken würde.
Formulierung der Gleichung
Die mathematische Formulierung der Deviationsgleichung lautet:
- $ {\frac {\mathrm {D} ^{2}V^{\alpha }}{\mathrm {D} \tau ^{2}}}={\frac {\partial x^{\beta }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}V^{\nu }R_{\,\,\mu \beta \nu }^{\alpha }+{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} \tau }}\left(T_{\kappa \lambda }^{\alpha }{\frac {\partial x^{\kappa }}{\partial \tau }}V^{\lambda }\right) $
und vereinfacht sich in einem torsionsfreien Raum[1] zu
- $ {\frac {\mathrm {D} ^{2}V^{\alpha }}{\mathrm {D} \tau ^{2}}}={\frac {\partial x^{\beta }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}V^{\nu }R_{\,\,\mu \beta \nu }^{\alpha } $
Die Symbole in den Gleichungen bedeuten dabei folgendes:
- $ x^{\alpha }(\tau ) $ bezeichnet die Geodäte und $ \textstyle {\tfrac {\partial x^{\alpha }}{\partial \tau }} $ deren Tangentialvektor.
- $ \textstyle V^{\alpha }{\mbox{d}}p={\tfrac {\partial x^{\alpha }}{\partial p}}\mathrm {d} p $ ist der Abstandsvektor zweier benachbarter Geodäten und damit $ \textstyle {\tfrac {\partial x^{\alpha }}{\partial p}} $ die lineare Änderung des Abstandes zweier infinitesimal benachbarter Geodäten.
- $ T_{\kappa \lambda }^{\alpha } $ ist der Torsionstensor des Raumes, insbesondere ist $ T_{\kappa \lambda }^{\alpha }A^{\kappa }B^{\lambda } $ der Vektor, der das von $ A $ und $ B $ aufgespannte Parallelogramm schließt.[2] Dieser Vektor ist in torsionsfreien Räumen gleich Null.
- $ R_{\mu \beta \nu }^{\alpha } $ ist der Riemannsche Krümmungstensor.
- Außerdem wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, die griechischen Indizes laufen von $ 0\dots 3 $ und $ x^{\alpha } $ sowie $ V^{\alpha } $ sind Tensoren 1. Stufe.
- $ \textstyle {\tfrac {\mathrm {D} V^{\alpha }}{\mathrm {D} \tau }} $ bezeichnet die Kovariante Ableitung.
Im flachen Raum wächst der Abstand zweier sich schneidenden Geodäten $ x^{\alpha }(\tau ,p_{1}) $ und $ x^{\alpha }(\tau ,p_{2}) $ proportional zu $ \tau $[3]. Ist dies nicht der Fall, so ist dies ein Symptom für die Krümmung des Raumes und entspricht der obigen Gleichung bei nichtverschwindendem Krümmungstensor.
Literatur
- Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Wiley-VCH, 1991, ISBN 3-326-00083-9
Einzelnachweise
- ↑ Hendrik van Hees: Physik und das Drumherum, Abschnitt Geraden (Memento des Originals vom 23. Juli 2013 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.
- ↑ Hendrik van Hees: Physik und das Drumherum, Abschnitt Torsion und Krümmung (Memento des Originals vom 5. Mai 2010 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.
- ↑ Geometrie der Raumzeit von Rainer Oloff, S. 141
