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Die '''Cauchy-Relationen''' beschreiben [[Symmetrie (Physik)| | Die '''Cauchy-Relationen''' beschreiben [[Symmetrie (Physik)|Symmetrieeigenschaften]] des [[Hookesches Gesetz#Verallgemeinertes hookesches Gesetz|Elastizitätstensors]] eines Materials. | ||
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# fehlende Initialspannungen. | # fehlende Initialspannungen. | ||
==Einschränkungen== | == Einschränkungen == | ||
Eine strenge Gültigkeit der Cauchy-Relationen ist nicht zu erwarten, da insbesondere Punkt 4. nicht exakt erfüllt werden kann. Sogar bei tiefen Temperaturen werden die Cauchy-Relationen von keiner Substanz erfüllt. | Eine strenge Gültigkeit der Cauchy-Relationen ist nicht zu erwarten, da insbesondere Punkt 4. nicht exakt erfüllt werden kann. Sogar bei tiefen Temperaturen werden die Cauchy-Relationen von keiner Substanz erfüllt. | ||
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Die Abweichungen von den Cauchy-Relationen <math>g_{mn}</math> sind ein Tensor 2. Stufe mit neun Komponenten und lassen sich als | Die Abweichungen von den Cauchy-Relationen <math>g_{mn}</math> sind ein Tensor 2. Stufe mit neun Komponenten und lassen sich als | ||
:<math>c_{iijk} - c_{ijik} = g_{mn}(-1)^{m \cdot n(m-n)/2}</math> | :<math>c_{iijk} - c_{ijik} = g_{mn}(-1)^{m \cdot n(m-n)/2}</math> | ||
mit <math>m \neq i,j</math> sowie <math>n \neq i,k</math> und <math>m,n,i,j,k = 1,2,3</math> beschreiben. Die Transformation des Tensors liefert beim Wechsel des kartesischen | mit <math>m \neq i,j</math> sowie <math>n \neq i,k</math> und <math>m,n,i,j,k = 1,2,3</math> beschreiben. Die Transformation des Tensors liefert beim Wechsel des kartesischen Bezugssystems mit den Grundvektoren <math>e_{p}</math> direkt den Beweis dafür. So ist | ||
:<math>g'_{mn} = \sum_{p,q} a_{mp}a_{nq}g_{pq}</math> | :<math>g'_{mn} = \sum_{p,q} a_{mp}a_{nq}g_{pq}</math> | ||
mit <math>g'_{mn}</math> als Komponenten dieses Tensors in einem neuen Bezugssystem mit den Grundvektoren <math>e'_{m}</math>, die sich aus den Grundvektoren <math>e_{p}</math> anhand von | mit <math>g'_{mn}</math> als Komponenten dieses Tensors in einem neuen Bezugssystem mit den Grundvektoren <math>e'_{m}</math>, die sich aus den Grundvektoren <math>e_{p}</math> anhand von | ||
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Beispielsweise werden [[kristallin]]e Materialien mit [[Kubisches Kristallsystem|kubischer]] [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] und isotrope Substanzen (wie Glas) nur durch eine unabhängige Komponente <math>g</math> beschrieben. | Beispielsweise werden [[kristallin]]e Materialien mit [[Kubisches Kristallsystem|kubischer]] [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] und isotrope Substanzen (wie Glas) nur durch eine unabhängige Komponente <math>g</math> beschrieben. | ||
Bei Substanzen mit vorherrschender Ionen-, Metall-, [[Van-der-Waals-Kräfte|Van-der-Waals]]- und [[Wasserstoffbrückenbindung]]en ist der Querkontraktionskoeffizient <math>c_{iijj}</math> größer als der entsprechende Scherwiderstand <math>c_{ijij}</math> und somit <math>g_{mm} > 0</math>. Oft besitzen diese Substanzen Strukturen mit maximaler [[Packungsdichte (Kristallographie)|Packungsdichte]] der atomaren Bausteine. Gerichtete Bindungsanteile sprich [[kovalent]]e Bindungen oder eine beträchtliche richtungsabhängige Überlappung der [[Elektronenwolke]]n in Substanzen zeigen <math>g_{mm} < 0</math>. Beispiele hierfür sind [[Gerüstsilikate]], [[Magnesiumoxid]], [[Beryllium]], [[Aluminiumoxid]] ([[Korund]]), Gläser reich an [[Siliciumdioxid]] (je größer der Siliciumdioxid-Gehalt, desto kleiner <math>g</math>) und [[Lithiumfluorid]]. | Bei Substanzen mit vorherrschender Ionen-, Metall-, [[Van-der-Waals-Kräfte|Van-der-Waals]]- und [[Wasserstoffbrückenbindung]]en ist der Querkontraktionskoeffizient <math>c_{iijj}</math> größer als der entsprechende Scherwiderstand <math>c_{ijij}</math> und somit <math>g_{mm} > 0</math>. Oft besitzen diese Substanzen Strukturen mit maximaler [[Packungsdichte (Kristallographie)|Packungsdichte]] der atomaren Bausteine. Gerichtete Bindungsanteile sprich [[kovalent]]e Bindungen oder eine beträchtliche richtungsabhängige Überlappung der [[Elektronenwolke]]n in Substanzen zeigen <math>g_{mm} < 0</math>. Beispiele hierfür sind [[Gerüstsilikate]], [[Magnesiumoxid]], [[Beryllium]], [[Aluminiumoxid]] ([[Korund]]), Gläser reich an [[Siliciumdioxid]] (je größer der Siliciumdioxid-Gehalt, desto kleiner <math>g</math>) und [[Lithiumfluorid]]. | ||
[[Kovalent]]e Bindungen tragen zu höheren Scherwiderständen und zu niedrigen Querkontraktionskoeffizienten bei. Strukturell und chemisch verwandte Kristallarten und [[Strukturtyp#Isotypie| | [[Kovalent]]e Bindungen tragen zu höheren Scherwiderständen und zu niedrigen Querkontraktionskoeffizienten bei. Strukturell und chemisch verwandte Kristallarten und [[Strukturtyp#Isotypie|isotype]] Stoffreihen zeigen folgende Merkmale: | ||
# Durch die Substitution von Hauptgruppenelementen durch Nebengruppenelemente oder durch Bausteine mit geringerer Symmetrie innerhalb von Strukturen einer Substanz nimmt <math>g_{mm}</math> zu. Dies wird verursacht durch steigende Querkontraktionskoeffizienten und sinkende Scherwiderstände. | # Durch die Substitution von Hauptgruppenelementen durch Nebengruppenelemente oder durch Bausteine mit geringerer Symmetrie innerhalb von Strukturen einer Substanz nimmt <math>g_{mm}</math> zu. Dies wird verursacht durch steigende Querkontraktionskoeffizienten und sinkende Scherwiderstände. | ||
# Ist die Polarisierbarkeit der substituierten Bausteine größer, so nimmt <math>g_{mm}</math> leicht zu. | # Ist die Polarisierbarkeit der substituierten Bausteine größer, so nimmt <math>g_{mm}</math> leicht zu. | ||
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Festzuhalten ist noch die Tatsache, dass auch nur feine Unterschiede in der Struktur einiger Stoffe sich auf die <math>g</math>-Werte niederschlagen. Diese Werte dienen somit als Indikator für Strukturdifferenzen. | Festzuhalten ist noch die Tatsache, dass auch nur feine Unterschiede in der Struktur einiger Stoffe sich auf die <math>g</math>-Werte niederschlagen. Diese Werte dienen somit als Indikator für Strukturdifferenzen. | ||
==Literatur== | == Literatur == | ||
*G. Leibfried: ''Mechanische und thermische Eigenschaften der Kristalle.'' In: S. Flügge (Hrsg.): ''Handbuch der Physik.'' Band VII, 1. Auflage, Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1955. | *G. Leibfried: ''Mechanische und thermische Eigenschaften der Kristalle.'' In: S. Flügge (Hrsg.): ''Handbuch der Physik.'' Band VII, 1. Auflage, Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1955. | ||
*{{Literatur|Autor=S. Haussühl|Titel=Die Abweichungen von den Cauchy-Relationen|Sammelwerk=Physik der kondensierten Materie|Band=6|Nummer=3|Jahr=1967|Seiten= | *{{Literatur|Autor=S. Haussühl|Titel=Die Abweichungen von den Cauchy-Relationen|Sammelwerk=Physik der kondensierten Materie|Band=6|Nummer=3|Jahr=1967|Seiten=181–192|ISSN=0722-3277|DOI=10.1007/BF02422715}} | ||
[[Kategorie:Klassische Mechanik]] | [[Kategorie:Klassische Mechanik]] |
Die Cauchy-Relationen beschreiben Symmetrieeigenschaften des Elastizitätstensors eines Materials.
Die Cauchy-Relationen geben häufig näherungsweise vorhandene Symmetrieeigenschaften des Elastizitätstensor wieder:
mit $ i\neq j,k $. Dabei ist der Elastizitätstensor $ c_{ijkl} $ ist folgendermaßen über ein verallgemeinertes Hookesches Gesetz definiert, das Spannungen (Spannungstensor $ \sigma _{ij} $) mit Verformungen (Verzerrungstensor $ \varepsilon _{ij} $) verknüpft:
mit $ i,j,k,l=1,2,3 $. Allgemein ist der Elastizitätstensor ein Tensor 4. Stufe mit 81 Komponenten. Durch die Cauchy-Relationen kann die Anzahl zu bestimmenden Komponenten reduziert werden. Nach der (Kristall-)Gittertheorie haben die Cauchy-Relationen Gültigkeit, wenn folgende Voraussetzungen mehr oder weniger (siehe Einschränkungen) erfüllt sind:
Eine strenge Gültigkeit der Cauchy-Relationen ist nicht zu erwarten, da insbesondere Punkt 4. nicht exakt erfüllt werden kann. Sogar bei tiefen Temperaturen werden die Cauchy-Relationen von keiner Substanz erfüllt.
Die Abweichungen von den Cauchy-Relationen $ g_{mn} $ sind ein Tensor 2. Stufe mit neun Komponenten und lassen sich als
mit $ m\neq i,j $ sowie $ n\neq i,k $ und $ m,n,i,j,k=1,2,3 $ beschreiben. Die Transformation des Tensors liefert beim Wechsel des kartesischen Bezugssystems mit den Grundvektoren $ e_{p} $ direkt den Beweis dafür. So ist
mit $ g'_{mn} $ als Komponenten dieses Tensors in einem neuen Bezugssystem mit den Grundvektoren $ e'_{m} $, die sich aus den Grundvektoren $ e_{p} $ anhand von
ergeben. Daraus folgen physikalisch wichtige Invarianzeigenschaften aus den Abweichungen der Cauchy-Relationen. Die Komponenten $ g_{mm} $ mit $ m=1,2,3 $ verhalten sich z. B. invariant gegenüber einer Drehung des kartesischen Bezugssystems um die Achse $ e_{m} $. $ g_{mm} $ ist daher eine charakteristische Größe der Ebene, die senkrecht auf $ e_{m} $ steht. Folglich finden die Bindungsmerkmale der atomaren Bausteine einer homogenen und quasihomogenen Substanz Ausdruck in der skalaren Invariante $ G=g_{11}+g_{22}+g_{33} $.
Beispielsweise werden kristalline Materialien mit kubischer Symmetrie und isotrope Substanzen (wie Glas) nur durch eine unabhängige Komponente $ g $ beschrieben. Bei Substanzen mit vorherrschender Ionen-, Metall-, Van-der-Waals- und Wasserstoffbrückenbindungen ist der Querkontraktionskoeffizient $ c_{iijj} $ größer als der entsprechende Scherwiderstand $ c_{ijij} $ und somit $ g_{mm}>0 $. Oft besitzen diese Substanzen Strukturen mit maximaler Packungsdichte der atomaren Bausteine. Gerichtete Bindungsanteile sprich kovalente Bindungen oder eine beträchtliche richtungsabhängige Überlappung der Elektronenwolken in Substanzen zeigen $ g_{mm}<0 $. Beispiele hierfür sind Gerüstsilikate, Magnesiumoxid, Beryllium, Aluminiumoxid (Korund), Gläser reich an Siliciumdioxid (je größer der Siliciumdioxid-Gehalt, desto kleiner $ g $) und Lithiumfluorid. Kovalente Bindungen tragen zu höheren Scherwiderständen und zu niedrigen Querkontraktionskoeffizienten bei. Strukturell und chemisch verwandte Kristallarten und isotype Stoffreihen zeigen folgende Merkmale:
Festzuhalten ist noch die Tatsache, dass auch nur feine Unterschiede in der Struktur einiger Stoffe sich auf die $ g $-Werte niederschlagen. Diese Werte dienen somit als Indikator für Strukturdifferenzen.